Chủ đề này có 2 trả lời

[Giabao209]

chứng minh phương trình:

$2d^3 + (1 + m + n)d^2 - mn = 0$ luôn có 1 nghiệm dương duy nhất, (với $m,n$ là 2 số thực dương)

[nhancccp]

Mong bạn xem lại đề ạ

Nếu cho $m=n=5$ thì phương trình đã cho trở thành $2d^3+11d^2-25=0\Leftrightarrow (d+5)(d^2+2d-5)=0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} d=-5 \\ d=\frac{-1 \pm \sqrt{41}}{4} \end{array}\right.$

Và phương trình này có đến ba nghiệm trong đó chỉ có một nghiệm dương 

Nếu áp dụng công thức cardano:$\Delta=b^2-3ac=(m+n+1)^2>0;k=\frac{9ab-2b^3-27a^2d}{2\sqrt{|\Delta|^3}}=\frac{108mn-2(m+n+1)^3}{2\sqrt{(m+n+1)^3}}$

Và nếu muốn phương trình trên có nghiệm duy nhất thì $|k|>1$,điều này không đúng $\forall m,n>0$

[perfectstrong]

Và nếu muốn phương trình trên có nghiệm duy nhất thì $|k|>1$,điều này không đúng $\forall m,n>0$

Đề chỉ yêu cầu chứng minh có một nghiệm dương duy nhất, chứ không phải nghiệm duy nhất và nghiệm đó dương.

 

Có thể chứng minh có không quá 1 nghiệm dương như sau:

Giả sử hàm số $f(d)=2d^3+(1+m+n)d^2-mn$ có hai nghiệm dương phân biệt. Ta gọi hai nghiệm đó là $d_1, d_2$. Không mất tính tổng quát, ta giả sử $d_1 > d_2$.

Dễ thấy $d_1^3 > d_2^3$ và $d_1^2 > d_2^2 \Rightarrow f(d_1) > f(d_2) = 0$: vô lý vì $f(d_1)=0$.

Vậy hàm $f$ không thể có quá 1 nghiệm dương.

Giờ chỉ cần chứng minh $f$ có ít nhất một nghiệm dương là hoàn thiện.

 

Có lẽ THCS chưa có định lý giá trị trung bình, chứ THPT thì có thể nói là $f$ là hàm liên tục trên $\mathbb R$, mà $f(0) < 0$ và $f(d) \rightarrow +\infty$ khi $d \rightarrow \infty$ nên tồn tại $d_0 > 0$ để $f(d_0) = 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-05-2024 - 17:35