Chủ đề này có 3 trả lời

[Huyen027557]

Cho C là một phạm trù bất kỳ. Một cấu xạ f đi từ A tới B được gọi là:

1. Có nghịch đảo trái nếu có cấu xạ g từ B tới A sao cho gf bằng cấu xạ đồng nhất của A.

2. Có nghịch đảo phải nếu fg bằng cấu xạ đồng nhất của B.

3. Đẳng xạ nếu f  có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải.

4. Đơn xạ nếu f giản ước trái được, nghĩa là fg=fh thì g=h.

5. Toàn xạ nếu f giản ước phải được, nghĩa là gf=hf thì gh.

6. Song xạ nếu f vừa là đơn xạ, vừa là toàn xạ. 

Phát biểu: "Mọi đẳng xạ đều là song xạ, nhưng một song xạ không nhất thiết là đẳng xạ"

Mọi người cho mình xin ví dụ cho vế sau với, mình tìm nhiều nguồn rồi mà không thấy. Cảm ơn mọi người rất nhiều ạ.

[nmlinh16]

Trong phạm trù các vành có đơn vị (cấu xạ là đồng cấu vành bảo toàn phần tử đơn vị), phép nhúng $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ là một song cấu nhưng không phải một đẳng cấu.

Thật vậy, dễ thấy đây là một đơn cấu. Để chỉ ra rằng nó là toàn cấu, giả sử ta có một vành $A$ và các đồng cấu vành $f,g: \mathbb{Q} \to A$ sao cho $f|_{\mathbb{Z}} = g|_{\mathbb{Z}}$. Với $n$ là số nguyên khác $0$, ta có $$f(\tfrac{1}{n})f(n) = f(n)f(\tfrac{1}{n}) = f(1) = 1_A,$$ nên $f(n)$ khả nghịch và nghịch đảo của nó là $f(n)^{-1} = f(\tfrac{1}{n})$. Tương tự, $g(n)$ khả nghịch và nghịch đảo của nó là $g(\tfrac{1}{n})$. Mà $f(n) = g(n)$ nên $f(\tfrac{1}{n}) = g(\tfrac{1}{n})$. Do đó, với mọi số hữu tỉ $x = \tfrac{m}{n}$, ta có $$f(\tfrac{m}{n}) = f(m)f(\tfrac{1}{n}) = g(m)g(\tfrac{1}{n}) = g(\tfrac{m}{n}),$$  hay $f=g$.

Cuối cùng, $\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$ không phải là đẳng cấu vì không có cấu xạ nào đi từ $\mathbb{Q}$ vào $\mathbb{Z}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nmlinh16: 07-05-2024 - 08:15

[Huyen027557]

Cảm ơn bạn rất nhiều, ví dụ rất hay và nó giúp mình biết thêm nhiều kiến thức mới. Mình có thể hỏi thêm chổ $f(n)=g(n)$ thì $f\left( {\frac{1}{n}} \right) = g\left( {\frac{1}{n}} \right)$, có thể giải thích bằng cách dưới đây được không?

${\left( {f{{\left( n \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 1}} = {\left( {g{{\left( n \right)}^{ - 1}}} \right)^{ - 1}}$ tương đương với $f{\left( {\frac{1}{n}} \right)^{ - 1}} = g{\left( {\frac{1}{n}} \right)^{ - 1}}$ lấy nghịch đảo một lần nữa ta được $f\left( {\frac{1}{n}} \right) = g\left( {\frac{1}{n}} \right)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-05-2024 - 03:20
LaTeX

[vutuanhien]

Một ví dụ khác là xét phạm trù các không gian topo. Một song xạ trong phạm trù này là một ánh xạ liên tục đồng thời là song ánh, còn đẳng cấu trong phạm trù này là một phép đồng phôi. Nếu ta xét ánh xạ đồng nhất $\text{id}: \mathbb{R}\to \mathbb{R}$, với topo bên vế trái là topo rời rạc, còn topo bên vế phải là topo thông thường, thì $\text{id}$ là liên tục và song ánh nhưng không phải đồng phôi.