Chủ đề này có 3 trả lời

[Trang792003]

5. Tìm độ đo Lebesgue của các tập sau:

a) $A = \{(x, y) \in R^2 | 0 \le x \le 1, 1 \le y \le 2\}$

b) $B = \{(x, y) \in R^2 | 0 \le x \le 1, y = 0\}$

c) $C = \{(x, y) \in R^2 | y = 0 \}$

 

6. Cho $A$ là một tập không đo được con $[0, 1] \times [0, 1]$, và $B = \{(x, 0) \in R^2 | x \in A\}$.

Hỏi:

a) $B$ có đo được không?

b) $B$ có thể là tập đóng không?

Mọi người hướng dẫn e với ạ. E cảm ơn nhiều ạ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 08-05-2024 - 21:03
Tiêu đề & Bài viết

[Konstante]

5.

a) $l^{\otimes 2}(A) = (1-0)*(2-1) = 1$

b) $l^{\otimes 2}(B) = 1*0 = 0$

c) $l^{\otimes 2}(C) = \lim\limits_{n \to \infty} l^{\otimes 2}([-n,n]\times \left\{0\right\}) = 0$

 

6.

a) Xét ánh xạ $f \colon x \mapsto \begin{pmatrix} x \\ 0 \end{pmatrix}$, thì $f$ là liên tục. Vì $A = f^{-1}\left(B\right)$ và $A$ không đo được nên $B$ không đo được.

b) $B$ không thể là tập đóng, vì nếu nó là tập đóng thì nó phải đo được (vì $B^{\complement} \in \mathcal{O}\left(\mathbb{R}^2 \right)$, do đó $B^{\complement} \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^2 \right)$, kéo theo $B \in \mathcal{B}\left(\mathbb{R}^2 \right)$).

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Konstante: 09-05-2024 - 06:01

[Hoang Long Le]

Bài 6 đặt câu hỏi không đúng, có lẽ đúng phải là $A$ là tập con không đo được của $[0,1]$. Tất nhiên lúc này $B$ vẫn đo được vì $B$ là tập con của tập có độ đo 0 mà cụ thể ở đây là $\mathbb{R}\times \{0\}$.

Còn về tính đóng thì $B$ không phải tập đóng, nếu không $A$ cũng sẽ là tập đóng, mâu thuẫn với tính không đo được.

[Konstante]

Đúng vậy, tập $B$ là đo được. Lập luận sử dụng hàm liên tục của mình là sai lầm, lập luận đó chỉ đúng trong trường hợp các tập Borel.