Chủ đề này có 2 trả lời

[Pi1576]

Tìm x,y thỏa $x^2+y^2+1\vdots 2xy+1$ . e k nhớ rõ là có đk x,y thuộc N hay là thuộc Z, mong mọi người giúp đỡ với ạ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 13-05-2024 - 23:30
Tiêu đề & Bài viết

[Pi1576]

Tìm x,y thỏa $x^2+y^2+1$$\vdots$$2xy+1$ . e k nhớ rõ là có đk x,y thuộc N hay là thuộc Z, mong mọi người giúp đỡ với ạ

Có lẽ thuộc N ạ

[Chuongn1312]

Cố định $k = \frac{x^2 + y^2 + 1}{2xy + 1} \in \mathbb{N^*}$ và xét tập $S = \{(x,y) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} | k = \frac{x^2 + y^2 +1}{2xy + 1}$. 

Vì $S$ là tập các cặp số tự nhiên nên tồn tại $(x_0,y_0) \in S$ sao cho $x_0 + y_0$ nhỏ nhất và $x_0 \ge y_0$. 

Ta xét phương trình $\frac{x^2 + y_0^2 + 1}{2xy_0 + 1} = k \Leftrightarrow x^2 - 2ky_0x + y_0^2 - k + 1 = 0$. 

Theo cách chọn $y_0$ thì phương trình trên có một nghiệm $x_0$ nên nó cũng có nghiệm $x_1$ và thỏa mãn $x_0 + x_1 = 2ky_0, x_0x_1 = y_0^2 - k + 1$. 

Ta có $x_1 \in \mathbb{Z}$ và $x_1 \ge 0$, vì nếu không $x_1 < 0$ thì $x_1^2 - 2ky_0x_1 + y_0^2 - k + 1 \ge x_1^2 +2k + y_0^2 - k + 1 > 0$ (Mâu thuẫn). 

Suy ra $(x_1,y_0) \in S$ và do đó $x_1 + y_0 \ge x_0 + y_0 \Rightarrow x_1 \ge x_0 \Rightarrow y_0^2 \ge y_0^2 - k + 1 = x_0x_1 \ge x_0^2 \Rightarrow y_0 \ge x_0$. 

Mà theo cách chọn thì $x_0 \ge y_0$ nên dấu bằng ở các đánh giá trên xảy ra kéo theo $k = 1$. Do đó $x = y$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Chuongn1312: 14-05-2024 - 20:53