Đến nội dung

Hình ảnh

$\sum \sqrt{a+b}\ge 2+abc.$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1
nguyenhuybao06

nguyenhuybao06

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 94 Bài viết

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $\sum a^2=1.$ Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{a+b}\ge 2+abc.$$

Làm chặt hơn một chút...

Cho các số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn $\sum a^2=1.$ Chứng minh rằng $$\sum \sqrt{a+b}\ge 2+2abc.$$

P/s: Hệ số của $abc$ tốt nhất cho bài này mà mình tìm được là $\sqrt{4+\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{3}+7\right)}-2.$

Bạn nào tìm được hệ số chặt hơn có thể gửi lên đây để mọi người cùng giải nhé! 


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 14-05-2024 - 00:54

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.


#2
dinhvu

dinhvu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Ta có $(\sum \sqrt{a+b})^2=2\sum a+2\sum \sqrt{(a+b)(b+c)}\geq 2(a+b+c)+2(a+b+c+\sum \sqrt{ab})$
$=4(a+b+c)+2\sum \sqrt{ab}(a^2+b^2+c^2)\ge 4+18abc \ge 4a^2b^2c^2+4+8abc\ge (2abc+2)^2$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 14-05-2024 - 01:24


#3
dinhvu

dinhvu

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 101 Bài viết

Hệ số tốt nhất khi cho $a=b=c$ nhưng mình chưa cminh đc   :wub:


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dinhvu: 14-05-2024 - 01:17


#4
tomeps

tomeps

    Binh nhất

  • Thành viên mới
  • 29 Bài viết

P/s: Hệ số của $abc$ tốt nhất cho bài này mà mình tìm được là $\sqrt{4+\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{3}+7\right)}-2.$
Bạn nào tìm được hệ số chặt hơn có thể gửi lên đây để mọi người cùng giải nhé!

Cho mình hỏi với, làm cách nào để bạn tìm ra hệ số này thế? Và làm cách nào để vận dụng hệ số này vào bài toán? Mình chưa biết phần này, mong bạn chỉ giáo.

"Tôi sẽ không đi khom."





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh