Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm Max và Min $K= a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1
suhaoswag

suhaoswag

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 9 Bài viết

Cho các số thực không âm a, b, c t/m a+b+c=3

Tìm max min của K= $a^{2}+b^{2}+c^{2}+abc$

Cảm ơn mn nhiều.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi suhaoswag: 14-05-2024 - 22:02


#2
nguyenhuybao06

nguyenhuybao06

    Hạ sĩ

  • Hái lộc VMF 2024
  • 94 Bài viết
Max. Ta có $$a^2+b^2+c^2+abc\leq a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2=9.$$ 
Đẳng thức xảy ra tại $(a,b,c)=(0,0,3) $ và hoán vị. Vậy $max K=9.$ 
Min. Áp dụng bất đẳng thức Schur ta có $$a^2+b^2+c^2+abc\geq a^2+b^2+c^2+\frac{(a+b+c)(2ab+2bc+2ca-a^2-b^2-c^2)}{9}$$$$=\frac{2a^2+2b^2+2c^2+2ab+2bc+2ca}{3}\geq\frac{4}{9}(a+b+c)^2=4.$$
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$. Vậy $min K=4.$ 
 

Ngài có thể trói cơ thể tôi, buộc tay tôi, điều khiển hành động của tôi: ngài mạnh nhất, và xã hội cho ngài thêm quyền lực; nhưng với ý chí của tôi, thưa ngài, ngài không thể làm gì được.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh