$0\leq a,b,c\leq 2, a+b+c=3$.
Tìm Min $P=\sum \sqrt{ab(b+c+1)}$
Lời giải dinhvu, 04-06-2024 - 07:41
$P^2=(\sum \sqrt{ab(4-a)})^2=4\sum ab-\sum a^2b+2\sum \sqrt{ab^2c(4-a)(4-b)}\\ \Rightarrow P^2 \geq 4\sum ab-\sum a^2b\\$
Mà có $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0 \Rightarrow 12\leq abc+4\sum a\leq 8+2\sum ab\\ \Rightarrow \sum ab \geq 2$
và $\sum a^2b \leq \sum a^2b +abc \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$(bổ đề quen thuộc)
Vậy $P^2 \ge 4$ hay $P \ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi a=2,b=1,c=0
#3
Đã gửi 03-06-2024 - 21:27
Yuhri
-
- Thành viên mới
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
/\
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Yuhri: 03-06-2024 - 21:45
#4
Đã gửi 04-06-2024 - 07:41
dinhvu
-
- Thành viên
-
- 114 Bài viết
Trung sĩ
✓ Lời giải
$P^2=(\sum \sqrt{ab(4-a)})^2=4\sum ab-\sum a^2b+2\sum \sqrt{ab^2c(4-a)(4-b)}\\ \Rightarrow P^2 \geq 4\sum ab-\sum a^2b\\$
Mà có $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0 \Rightarrow 12\leq abc+4\sum a\leq 8+2\sum ab\\ \Rightarrow \sum ab \geq 2$
và $\sum a^2b \leq \sum a^2b +abc \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$(bổ đề quen thuộc)
Vậy $P^2 \ge 4$ hay $P \ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi a=2,b=1,c=0
#5
Đã gửi 04-06-2024 - 10:53
Yuhri
-
- Thành viên mới
-
- 16 Bài viết
Binh nhì
$P^2=(\sum \sqrt{ab(4-a)})^2=4\sum ab-\sum a^2b+2\sum \sqrt{ab^2c(4-a)(4-b)}\\ \Rightarrow P^2 \geq 4\sum ab-\sum a^2b\\$
Mà có $(a-2)(b-2)(c-2)\leq 0 \Rightarrow 12\leq abc+4\sum a\leq 8+2\sum ab\\ \Rightarrow \sum ab \geq 2$
và $\sum a^2b \leq \sum a^2b +abc \leq \frac{4}{27}(a+b+c)^3=4$(bổ đề quen thuộc)
Vậy $P^2 \ge 4$ hay $P \ge 2$
Dấu bằng xảy ra khi a=2,b=1,c=0
bổ đề như nào vậy ạ
#7
Đã gửi 10-06-2024 - 16:01
redlovesmaths
-
- Thành viên mới
-
- 4 Bài viết
Lính mới
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: bất đẳng thức
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
