Chủ đề này có 5 trả lời

[nmlinh16]

Trong nhiều trò chơi điện tử, đòn đánh chí mạng thường được vận hành theo cơ chế phân phối giả ngẫu nhiên (pseudo random distribution) như sau.

Cho trước hai số thực $a,b \in [0,1]$. Ban đầu, nhân vật có giá trị đệm là $a$. Mỗi khi nhân vật tấn công, sinh một số ngẫu nhiên $p \in [0,1]$.

• Nếu $p$ lớn hơn giá trị đệm thì đòn đánh không chí mạng và cộng thêm $b$ vào giá trị đệm.
• Nếu $p$ nhỏ hơn hoặc bằng giá trị đệm thì đòn đánh có chí mạng, và đưa giá trị đệm về $a$.

Câu hỏi: Tính tỉ lệ chí mạng theo $a$ và $b$.

 

[poset]

Gọi một vòng lặp là quá trình bắt đầu từ trạng thái giá trị đệm là $a$, nhân vật ra đòn cho đến khi chí mạng. Độ dài của vòng lặp là số lần ra đòn. Mỗi lần ra đòn sẽ thuộc duy nhất một vòng lặp nào đó. Vòng lặp có độ dài là $n$ nếu nhân vật không ra được đòn chí mạng cho đến khi giá trị đệm là $a+nb$.
Với $n$ thỏa $a+nb<1$, xác xuất để một vòng lặp có độ dài là $n$ là $(a+nb)\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$
Với $n$ nhỏ nhất thỏa $a+nb\geq1$, xác xuất để một vòng lặp có độ dài là $n$ là $\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$ (lần đánh cuối chắc chắn chí mạng).
Không có vòng lặp có độ dài lớn hơn nữa.
Xác xuất một đòn đánh trong vòng lặp có độ dài $n$ là chí mạng là $\frac{1}{n}$.
Vậy tỉ lệ chí mạng là $\sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{a+mb}{m}\prod_{k=0}^{m-1}(1-a-kb)\right)+\frac{1}{n}\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$ với $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa $a+nb\geq1$.
 

[perfectstrong]

Gọi một vòng lặp là quá trình bắt đầu từ trạng thái giá trị đệm là $a$, nhân vật ra đòn cho đến khi chí mạng. Độ dài của vòng lặp là số lần ra đòn. Mỗi lần ra đòn sẽ thuộc duy nhất một vòng lặp nào đó. Vòng lặp có độ dài là $n$ nếu nhân vật không ra được đòn chí mạng cho đến khi giá trị đệm là $a+nb$.
Với $n$ thỏa $a+nb<1$, xác xuất để một vòng lặp có độ dài là $n$ là $(a+nb)\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$
Với $n$ nhỏ nhất thỏa $a+nb\geq1$, xác xuất để một vòng lặp có độ dài là $n$ là $\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$ (lần đánh cuối chắc chắn chí mạng).
Không có vòng lặp có độ dài lớn hơn nữa.
Xác xuất một đòn đánh trong vòng lặp có độ dài $n$ là chí mạng là $\frac{1}{n}$.
Vậy tỉ lệ chí mạng là $\sum_{m=1}^{n-1}\left(\frac{a+mb}{m}\prod_{k=0}^{m-1}(1-a-kb)\right)+\frac{1}{n}\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$ với $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa $a+nb\geq1$.
 

Cho mình hỏi chỗ bôi đỏ: tại sao lại có xác suất $\frac{1}{n}$ một đòn đánh chí mạng trong vòng lặp độ dài $n$? Đòn cuối cùng trong vòng lặp luôn là chí mạng mà?
 

[poset]

Cho mình hỏi chỗ bôi đỏ: tại sao lại có xác suất $\frac{1}{n}$ một đòn đánh chí mạng trong vòng lặp độ dài $n$? Đòn cuối cùng trong vòng lặp luôn là chí mạng mà?
 

Ý là chọn ngẫu nhiên một đòn đánh trong một vòng lặp độ dài $n$ thì xác xuất nó là đòn chí mạng (tức đòn cuối cùng) là $\frac{1}{n}$. Hoặc cũng có thể nghĩ như tỉ lệ là $\frac{1}{n}$.

[perfectstrong]

Ý là chọn ngẫu nhiên một đòn đánh trong một vòng lặp độ dài $n$ thì xác xuất nó là đòn chí mạng (tức đòn cuối cùng) là $\frac{1}{n}$. Hoặc cũng có thể nghĩ như tỉ lệ là $\frac{1}{n}$.

Đấy là nếu chọn ngẫu nhiên (uniformly) trong $n$ đòn bất kỳ. Nhưng định nghĩa của một vòng lặp là từ đòn thứ $i$ đến đòn thứ $i+n$ sao cho đòn $i-1$ là đòn chí mạng (nếu $i>1$ hoặc chưa từng đánh nếu $i=1$), đòn $i+n$ là đòn chí mạng, và đòn $i+k$ không chí mạng với mọi $k=\overline{0,n-1}$. Vậy thì đâu thể chọn ngẫu nhiên trong một vòng lặp?

[poset]

Lời giải

Xem lại thì đúng là sai thật, nhưng không phải do cái trên.
Kết quả phải là $\frac{1}{\sum_{m=1}^{n-1}\left (m(a+mb)\prod_{k=0}^{m-1}(1-a-kb)\right )+n\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)}$ với $n$ là số nguyên dương nhỏ nhất thỏa $a+nb\geq1$.
Xét $N$ cú đánh liên tiếp $h_1,h_2,...,h_N$ với $N$ rất lớn. Chia $N$ cú đánh đó ra thành $M$ vòng lặp $L_1,L_2,...,L_M$, số cú đánh còn dư ra bị chặn bởi $2n$ cố định theo $a,b$ nên có thể bỏ qua. Khi đó ta có $M$ đòn kết liễu trong $N$ cú đánh.
Lập luận tương tự như bài phía trên:
Số vòng lặp có độ dài $m$ với $m<n$ có giá trị khoảng $M(a+mb)\prod_{k=0}^{m-1}(1-a-kb)$.
Số vòng lặp có độ dài $n$ có giá trị khoảng $M\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)$.
Vì tổng độ dài các vòng lặp bằng $N$ nên $\left (\sum_{m=1}^{n-1}\left (m(a+mb)\prod_{k=0}^{m-1}(1-a-kb)\right )+n\prod_{m=0}^{n-1}(1-a-mb)\right )M\approx N$ và ta có kết quả trên.
Ờ... vậy bài của mình phía trên sai ở đâu?
Ta muốn tính $P(h\in K)$, cụ thể $h$ là đòn đánh chọn ngẫu nhiên còn $K$ là tập các đòn chí mạng. Gọi $L_h$ là vòng lặp chứa $h$, ta có $P(h\in K)=\sum_{m=1}P(h\in K,|L_h|=m)=\sum_{m=1}P(h\in K||L_h|=m)P(|L_h|=m)$. Bài phía trên đã vô tình giả sử $P(|L_h|=m)=P(|L_h|=m|h\in K)$ nên sai, tức mình chỉ đang tính xác xuất một đòn CHÍ MẠNG ngẫu nhiên có độ dài vòng lặp chứa nó bằng $m$ chứ không phải xác xuất một đòn BẤT KỲ ngẫu nhiên có độ dài vòng lặp chứa nó bằng $m$. Còn $P(h\in K||L_h|=m)$ thì đúng bằng $\frac{1}{m}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi poset: 05-09-2024 - 18:04