Chủ đề này có 24 trả lời

[nguyenhuybao06]

Chào mọi người.

 

Ngày hôm qua mình có tình cờ đọc được một số bài trong Topic VMF's Marathon Hình học Olympic và mình cảm thấy đây là một topic thú vị, tuy nhiên bài được gửi gần đây nhất đã là vào tháng 1 năm 2018, tức là topic này đã bị drop được hơn 6 năm. Ở trong post lần này của mình, mình xin được phép đăng lời giải của bài 201 và xin được phép tiếp nối topic Marathon nhằm giữ gìn di sản của những bậc tiền bối. Lời giải này được mình và Nguyễn Anh Tài hoàn thành. Dành cho ai quan tâm về topic Marathon cũ thì mình sẽ dẫn link ở đây. 

 

Về bài toán 201, anh trihoctoan đã đăng vào tháng 1 năm 2018.

 Bài 201: (Sưu tầm từ Luis Gonzalez) 

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ có ba đường cao $AD,BE,CF$  .Gọi $l_1,l_2,l_3$ lần lượt là các đường thẳng qua $D,E,F$ và vuông góc với $OD,OE,OF$ .Gọi $X$ là giao điểm của $l_2,l_3$.Tương tự có $Y,Z $.Chứng minh rằng :$DX,EY,FZ$ đồng quy trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.

 

Mình xin được đính kèm file lời giải trong post này và đăng bài 202 ở đây. 

 

Bài 202. Cho $\triangle ABC$ nhọn có $(I)$ là đường tròn nội tiếp. $(I)$ tiếp xúc với $BC,$ $CA,$ $AB$ lần lượt tại $D,$ $E,$ $F.$ Gọi $X,$ $Y,$ $Z$ lần lượt là trung điểm $EF,$ $FD,$ $DE.$ Gọi $K_A$ là giao điểm $BZ$ với $CY.$ $DK_A$ cắt $(I)$ tại $T_A.$ Các điểm $K_B,$ $T_B,$ $K_C,$ $T_C$ được định nghĩa tương tự. Gọi $O_A$ là tâm $(T_AXIK_A),$ các điểm $O_B,$ $O_C$ được định nghĩa tương tự. Chứng minh rằng các điểm $O_A,$ $O_B,$ $O_C$ thẳng hàng. 

 

Cảm ơn mọi người đã quan tâm. Chúc mọi người một ngày tốt lành!

P/s. Mọi người vẫn có thể gửi bài mới dù bài cũ vẫn chưa được giải nhé. 

 

File gửi kèm

•  Bài_201_VMF (1).pdf   162.72K   107 Số lần tải

[nguyenhuybao06]

Vì bài 199 còn unsolved nên mình sẽ giải thử.

Bài toán 199. Cho tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, trực tâm $H$. $OH$ cắt $(O)$ tại $E, F$. $AH$ cắt $BC$ tại $D$. dựng các hình thang cân $ACBB'$ và $ABCC'$ với $BB' || AC, CC'|| AB$. $BC$ cắt $B'C'$ tại $X$. Chứng minh $E, F, X, D$ đồng viên.

 

Trước tiên, ta phát biểu bổ đề sau. 

Bổ đề. Cho tam giác $ABC,$ $O$ là đường tròn đi qua $B$ và $C,$ cắt $AC, AB$ lần lượt tại $E$ và $F.$ $BE$ giao $CF$ tại $K,$ $AK$ cắt $(EOF)$ tại $L,$ khi đó $OL, CB, FE$ đồng quy.

Chứng minh. Gọi $L'$ là điểm Miquel của tứ giác toàn phần $AFKE.BC.$

Bằng cộng góc thuần túy ta chỉ ra được $L'$ nằm trên $(EFO)$ và $(BOC).$ Do đó $EF, CB, OL'$ đồng quy tại điểm $T.$

Gọi $(AEF)$ cắt $(ABC)$ tại $H$ thì theo tính chất quen thuộc ta có $A, H, T$ thẳng hàng. Do đó $\widehat{AL'O}=90^\circ.$ 

Gọi $AK$ cắt $EF$ tại $S,$ ta có $(TS,FE)=-1.$ Gọi $L'K$ cắt $EF$ tại $S'$ thì ta có $(TS',FE)=-1.$ (Theo tính chất hàng điều hòa phân giác).

Do đó $S'$ trùng $S$ nên $L'$ trùng $L$ hay ta có $A, K, L$ thẳng hàng hay ta có điều phải chứng minh. 

 

Quay trở lại bài toán. Gọi $BB'$ cắt $CC'$ tại $J,$ $JX$ cắt $BB'CC'$ tại $K,$ $B'C, BC', OK$ đồng quy tại $G.$

Vì tam giác $ABC$ đối xứng với tam giác $JCB$ qua trung điểm $BC$ nên tâm $(JBC)$ cũng đối xứng với $O$ qua trung điểm $BC.$ Do đó $HKBC$ nội tiếp mà $HK$ là đường kính của $(JBC)$ nên $\widehat{HKJ}=90^\circ.$ Mà theo bổ đề trên ta có $\widehat{OKJ}=90^\circ.$

Gọi $OH$ cắt $BC$ tại $I,$ khi đó ta chỉ cần chứng minh hệ thức $IH.IK=IF.IE$ với $E, F$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(ABC)$ và $K$ là giao của đường thẳng Euler trong tam giác $ABC$ với $(HBC).$ Đây là một hệ thức không khó chứng minh. 

Edit 1. Mọi người có thể xem hình ở đây. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 03-09-2024 - 23:09

[MHN]

Bài 203) Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $G;H;I$ lần lượt là tâm đường tròn $Euler$ của $\Delta CDE;\Delta ABC;\Delta AEF$. Gọi $K;L;M$ là hình chiếu của $G;H;I$ lên $AD;BE;CF$. Chứng minh rằng đường trung trục của $AK;EL;CM$ đồng quy.

 1.png   41.38K   6 Số lần tải

P/s: Bài 202 khó vẽ hình thật, đề không nói rõ nên hơi khó mò 

 1.png   49.97K   6 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 04-09-2024 - 14:44

[HuyCubing]

Lời giải bài 202 (phần chứng minh $T_aXIK_a$ mình tốn khá nhiều thời gian  ).

 

File gửi kèm

•  202.pdf   497.73K   53 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HuyCubing: 04-09-2024 - 20:32

[Kng]

Bài toán 204. Cho tam giác $ABC$ nhọn và không cân nội tiếp đường tròn $(O).$ $M$ là trung điểm của cạnh $AB.$ $C'$ là điểm đối tâm với $C$ trong đường tròn $(O).$ Đường thẳng $CM$ cắt $AC'$ và $BC'$ lần lượt tại $K$ và $L.$ $E$ là điểm sao cho $EK$ và $EL$ lần lượt song song với $AC$ và $BC.$ $AB$ cắt $EL$ và $EK$ lần lượt tại $V$ và $U.$ Chứng minh rằng $(EUV)$ tiếp xúc $(O).$ 

[nonamebroy]

đề sai bạn ơi

File gửi kèm

•  àwsgfwrgwrg.jpg   57.9K   1 Số lần tải

[Kng]

đề sai bạn ơi

Bạn xem lại hình vẽ của bạn nhé 

[nonamebroy]

Bạn xem lại hình vẽ của bạn nhé 

chỗ nào vậy bạn

[Kng]

chỗ nào vậy bạn

Bạn cứ vẽ lại hình đi 

[nonamebroy]

Bạn cứ vẽ lại hình đi 

thôi bạn post đi, mình lười quá

[Kng]

thôi bạn post đi, mình lười quá

File gửi kèm

•  geogebra-export.png   56.6K   2 Số lần tải

[MHN]

$AB>AC\Rightarrow \text{thỏa mãn}$  1.png   24.4K   2 Số lần tải

$AB<AC\Rightarrow \text{không thỏa mãn}$  1.png   25.14K   1 Số lần tải

Kng Ta có nên sửa đề???????

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 11-09-2024 - 22:44

[dinhvu]

 

$AB>AC\Rightarrow \text{thỏa mãn}$ 1.png

$AB<AC\Rightarrow \text{không thỏa mãn}$ 1.png

Kng Ý kiến của bạn như thế nào, mình đã vẽ giống dữ kiện của đề???

 

chắc sửa lại đề là đc, mình nghĩ vậy

[MHN]

Bài 205) Cho $2$ hình bình hành $ABCD$ và $AECF$ có chung đường chéo $AC$ trong đó $E;F$ nằm trong $ABCD$. Chứng minh rằng $(AEB);(BFC);(CED);(ADF)$ giao nhau tại một điểm.

 1.png   27.75K   1 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 07-09-2024 - 22:49

[nonamebroy]

@Kng có lẽ bạn chưa xét hết các TH hoặc ghi sai đề giờ chỉ cần sửa đề là đc

[nguyenhuybao06]

Bài 205. Gọi $(AEB)$ giao $(BFC)$ tại điểm thứ 2 là $G.$ 

Ta có $\widehat{EGC}=\widehat{CFB}-\widehat{EAB}=\widehat{CFB}-\widehat{CAB}-\widehat{ACF}=\widehat{ABF}=\widehat{EDC}.$ 

Do đó $ECGD$ nội tiếp, phần còn lại khá dễ dàng. 

File gửi kèm

•  geogebra-export.png   52.84K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenhuybao06: 08-09-2024 - 09:45

[MHN]

Bài 205)

 1.jpg   120.95K   1 Số lần tải

 2.jpg   82.55K   0 Số lần tải

 3.jpg   54.87K   0 Số lần tải

 4.jpg   81.98K   0 Số lần tải

 5.jpg   42.31K   0 Số lần tải

 6.jpg   59.17K   0 Số lần tải

 7.jpg   54.93K   0 Số lần tải

 8.jpg   53.8K   0 Số lần tải

[MHN]

Bài 206) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB, C$ là điểm di động trên $(O)$ không trùng $A$ và $B$. Các tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ cắt nhau tại $N$. Giao điểm khác $A$ của $AN$ với $(O)$ là $D$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ di động trên một đường cố định khi điểm $C$ di động trên $(O)$.

 1.jpg.png   15.33K   0 Số lần tải

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 22-09-2024 - 22:54

[MHN]

Bài 206) Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB, C$ là điểm di động trên $(O)$ không trùng $A$ và $B$. Các tiếp tuyến tại $B, C$ của $(O)$ cắt nhau tại $N$. Giao điểm khác $A$ của $AN$ với $(O)$ là $D$. Tiếp tuyến của $(O)$ tại $D$ cắt $CN$ tại $P$. Chứng minh rằng $P$ di động trên một đường cố định khi điểm $C$ di động trên $(O)$.

 Hình ĐA.jpg   54.18K   0 Số lần tải

P/s:Lười đánh $\LaTeX$ quá

[nguyenhuybao06]

Bài 207. (Nhật Đình) Cho tam giác $ABC$ có $(I)$ là đường tròn nội tiếp, tiếp xúc $BC$ tại $D.$ $(I_a)$ là đường tròn bàng tiếp góc $A$ của tam giác $ABC,$ gọi tiếp điểm của tiếp tuyến chung $(I_a)$ với $(ABC)$ trên $(ABC)$ là $P$ và $Q.$ $E$ là đối xứng của $D$ qua $IP,$ $F$ là đối xứng của $D$ qua $IQ.$ Chứng minh rằng $(AEF)$ tiếp xúc $(ABC).$