Chủ đề này có 3 trả lời

[Lemonjuice]

Em có một dự đoán như sau nhưng không biết có đúng hay không, mong anh chị giúp đỡ em ạ:

 

Cho $F/K$ là một mở rộng trường hữu hạn, cho $L_{1}$ và $L_{2}$ là các trường con của $F$ sao cho $L_{1}$ và $L_{2}$ đều chứa $K$.

CMR: $\text{lcm}([L_{1} : K],[L_{2} : K]) = [L_{1}L_{2} : K]$, biết $L_{1}L_{2}$ là trường sinh bởi 2 trường $L_{1}$ và $L_{2}$, và $\text{lcm}(a,b)$ là bội chung nhỏ nhất của hai số tự nhiên $a$ với $b$, và $[M :N]$ là ký hiệu cho bậc của mở rộng trường $M/N$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vutuanhien: 09-09-2024 - 19:44

[nmlinh16]

Phản ví dụ: $K = \mathbb{Q}$, $F = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}, \omega]$ (với $\omega = \frac{1 + \sqrt{-3}}{2}$ là căn bậc ba nguyên thủy của $1$), $L_1 = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}]$ và $L_2 = \mathbb{Q}[\sqrt[3]{2}\omega]$. Khi đó $[L_1:K] = [L_2:K] = 3$ nhưng $L_1L_2 = F$ và $[F:K] = 6$.

[Lemonjuice]

Em cảm ơn anh về phản ví dụ cho dự đoán của em ạ.

 

Dự đoán trên của em xuất phát từ sự tò mò là liệu có công thức tổng quát nào cho bậc mở rộng trường [L1L2:K] không, và một câu hỏi khác yếu hơn là điều kiện đủ để đẳng thức [L1:K][L2:K]=[L1L2:K] là gì. Em thắc mắc không biết liệu các nhà toán học trả lời những câu hỏi này chưa ạ ?

 

**Vì máy tính em một lần nữa không thể nào sử dụng được trình soạn thảo Latex của diễn đàn nên em đành phải gõ chay các ký hiệu toán, mong các anh chị quản trị viên chỉnh sửa lại bài viết bằng Latex giúp em ạ. Em xin cảm ơn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lemonjuice: 23-09-2024 - 21:32

[vutuanhien]

Em cảm ơn anh về phản ví dụ cho dự đoán của em ạ.

 

Dự đoán trên của em xuất phát từ sự tò mò là liệu có công thức tổng quát nào cho bậc mở rộng trường [L1L2:K] không, và một câu hỏi khác yếu hơn là điều kiện đủ để đẳng thức [L1:K][L2:K]=[L1L2:K] là gì. Em thắc mắc không biết liệu các nhà toán học trả lời những câu hỏi này chưa ạ ?

 

**Vì máy tính em một lần nữa không thể nào sử dụng được trình soạn thảo Latex của diễn đàn nên em đành phải gõ chay các ký hiệu toán, mong các anh chị quản trị viên chỉnh sửa lại bài viết bằng Latex giúp em ạ. Em xin cảm ơn.

Nếu $L_{1}/K$ và $L_{2}/K$ là linearly disjoint thì sẽ có đẳng thức trên. Trường hợp đặc biệt, nếu $L_{1}/K$ và $L_{2}/K$ đều là mở rộng Galois thì chỉ cần $L_{1}\cap L_{2}=K$ là đủ.

 

Trong phản ví dụ trên, $L_{2}/K$ không phải một mở rộng Galois vì không chuẩn tắc. Do đó ta không có đẳng thức yêu cầu dù $L_{1}\cap L_{2}=K$.