Cho \(x,y\geq{0}\) và \(x+y=2\sqrt{3}\).
Tìm min của \(\left(1+{x}^{4}\right)\left(1+{y}^{4}\right)\)
Tìm GTLN của \(\left(1+{x}^{4}\right)\left(1+{y}^{4}\right)\)
Bắt đầu bởi Frac funct, 28-10-2024 - 14:26
#2
Đã gửi 02-11-2024 - 11:18
Mình gửi đáp án. Thực ra mình đã nghĩ nó từ lâu rồi nhưng tại muốn làm nó hoành tráng 1 xíu nên tập tành code Latex hehe=)))) (và kq code 1 tuần mới xong). Mời bạn xem qua
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ZoroMaths: 02-11-2024 - 11:20
My magic is never giving up!
#3
Đã gửi 02-11-2024 - 11:22
\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{vietnam}
\begin{document}
Lời giải by ZoroMaths
Ta có: \\
\phantom{delta}\((x^4+1)(y^4+1)\)\\
\phantom{beta}\(=x^4y^4+x^4+y^4+1\)\\
\phantom{beta}\(=(x^2+y^2)^2+(x^2y^2-1)^2\)\\
\phantom{beta}=\left [ (x+y)^2-2xy \right ]^2+(x^2y^2-1)^2\\
&\text{Mà:}\\
\phantom{beta}$x+y=2\sqrt{3}\\
\Rightarrow\left [ (x+y)^2-2xy \right ]^2+(x^2y^2-1)^2\\
=\left [ (2\sqrt{3})^2-2xy \right ]^2+(x^2y^2-1)^2\\
=\left ( 12-2xy \right )^2+(x^2y^2-1)^2\\
\phantom{beta}Đặt: \text{xy=z}\\
\phantom{beta}Ta có: \(xy\leq(x+y)^2=12\\
\text{xy\in[0;12]}\\
\Rightarrow\left ( 12-2z \right )^2+(z^2-1)^2\\
\(=z^4+2z^2-48z+145\)\\
\(=(z-3)(z^3+3z^2+11z-15)+100\)\\
\(=(z-3)(z-1)\left [ (z+2)^2+11 \right ]+100\)\\
\text{Để \((x^4+1)(y^4+1)\) đạt giá trị Min}\\
\text{\Rightarrow\((z-3)(z-1)\left [ (z+2)^2+11 \right ]Min}\)\\
\Rightarrow\((z-3)(z-1)\)
\text{Đạt Min}\\
\Leftrightarrow\(z^2-4z+3\)
\text{Đạt Min}\\
\((a=1; b=-4; c=3)\)\\
\Leftrightarrow\(z=\frac{-b}{2a}\)\\
\Leftrightarrow\(z=2(TM)\)\\
\Leftrightarrow\(xy=2\)\\
\Leftrightarrow\(x=\frac{2}{y}\)\\
\text{Thay \(x=\frac{2}{y}\) vào \(x+y=2\sqrt{3}\)}\\
\Leftrightarrow\(\frac{2}{y}+y=2\sqrt{3}\)\\
Do \(y\geq0\)\\
\Rightarrow\(y^2-2\sqrt{3}y+2=0\)\\
\Leftrightarrow\left \{ {y\ =\ 1+\sqrt{3} \atop {y\ =\sqrt{3}-1 \right\\
Từ đó ta có:\\
\text{TH 1:}
\left \{ {y\ =\ 1+\sqrt{3} \atop {x\ =\sqrt{3}-1 \right\\
\text{TH 2:}
\left \{ {y\ =\ 1+\sqrt{3} \atop {x\ =\sqrt{3}-1 \right\\
Thay z=2 vào \((z-3)(z-1)\left [ (z+2)^2+11 \right ]+100\)\\
\Leftrightarrow\((z-3)(z-1)\left [ (z+2)^2+11 \right ]+100=73\)
Vậy Min \((x^4+1)(y^4+1)=73\) khi \\
(x;y)=(\sqrt{3}-1;1+\sqrt{3})\) và hoán vị.
\end{document}
File gửi kèm
My magic is never giving up!
#4
Đã gửi 02-11-2024 - 11:28
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh