Chủ đề này có 1 trả lời

[MHN]

CHINA MO 2025

Ngày 1:

Bài 1:

Cho $\alpha > 1$ là số vô tỉ và $L$ là số nguyên thỏa mãn $L > \frac{\alpha^2}{\alpha-1}.$ Dãy số $\left( x_n \right)$ được định nghĩa như sau: $x_1 > L$ và với mỗi số nguyên dương $n$, $x_{n+1}=\left\{\begin{matrix}\left \lfloor \alpha x_n\right \rfloor (x_n\leq L) \\ \left \lfloor \dfrac{x_n}{\alpha}\right \rfloor (x_n>L)\end{matrix}\right.$

Chứng minh rằng:

1) Dãy số $(x_n)$ tuần hoàn kể từ số hạng nào đó.

2) Chu kì cơ bản (chu kì nhỏ nhất) của dãy số $(x_n)$ là một số nguyên dương lẻ không phụ thuộc vào $\alpha$.

Bài 2:

Cho tam giác $ABC$ có đường tròn nội tiếp $(I)$. Lần lượt gọi trung điểm của các đoạn thẳng $AI, AC, CI$ là $L, M, N$.

Điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $AM$ sao cho $BC = BD$. Đường tròn nội tiếp của tam giác $ABD$ tiếp xúc với $AD$ và $BD$ lần lượt tại $E$ và $F$. Gọi $J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$, đường thẳng $MN$ và $JL$ lần lượt cắt lại đường tròn ngoại tiếp tam giác $JMD$ lần thứ hai tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng ba đường thẳng $PQ, LN, EF$ đồng quy.

Bài 3:

Cho $n$ số nguyên dương $a_1 > a_2 > ... > a_n > 1$. Đặt $M = \mathrm{lcm}(a_1, a_2, ..., a_n)$. Với mỗi tập con hữu hạn phần tử $X$ khác rỗng của $N^*$, đặt $f(X)=\min_{1\leq i\leq n}\sum_{x\in X}\begin{Bmatrix}\dfrac{x}{a_i} \end{Bmatrix}.$

Tập $X$ được gọi là nhỏ nhất nếu với mỗi tập con thực sự $Y$ của $X$ ta đều có $f(Y) < f(X)$. Giả sử $X$ là tập nhỏ nhất và $f(X) ≥ \frac{2}{pn}$. Chứng minh rằng số phần tử của $X$ không vượt quá $f(X).M$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 30-11-2024 - 14:37

[MHN]

Ngày 2:

Bài 4:

Khoảng cách phân số giữa hai điểm $(x_1;y_1)$ và $(x_2;y_2)$ được định nghĩa bởi công thức $\sqrt{||x_1-x_2||^2+||y_1+y_2||^2}$ trong đó $||x||$ biểu thị khoảng cách giữa $x$ và số nguyên gần nhất. Hãy tìm giá trị lớn nhất của số thực $r$ sao cho tồn tại bốn điểm trên mặt phẳng mà khoảng cách phân số giữa các cặp điểm đôi một đều không nhỏ hơn $r$.

Bài 5:

Cho $p$ là số nguyên tố và $f$ là một song ánh từ $\begin{Bmatrix} 0;1;2;...;p-1\end{Bmatrix}$ tới chính nó. Giả sử với các số nguyên $a;b\in \begin{Bmatrix} 0;1;2;...;p-1\end{Bmatrix}$ thỏa mãn $a^2-b$ chia hết cho $p$ thì $|f(a)-f(b)|\leq 2024$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên tố $p$ sao cho tồn tại $f$ và cũng có vô số số nguyên tố $p$ sao cho không tồn tại $f$ như vậy.

Bài 6:

Cho $n$ số thực $a_1;a_2;...;a_n$​ thỏa mãn: $\sum_{i=1}^{n}a_i=n;\sum_{i=1}^{n}a_i^2=2n;\sum_{i=1}^{n}a_i^3=3n$

1) Tìm số thực (hằng số) $C$ lớn nhất sao cho với mọi $n\geq 4$ ta đều có $\max \begin{Bmatrix} a_1;a_2;...;a_n\end{Bmatrix}-\min \begin{Bmatrix} a_1;a_2;...;a_n\end{Bmatrix}\geq C.$

2) Chứng minh rằng tồn tại số thực dương $C_2$​ không phụ thuộc vào $a_1;a_2;...;a_n$​ sao cho $\max \begin{Bmatrix} a_1;a_2;...;a_n\end{Bmatrix}-\min \begin{Bmatrix} a_1;a_2;...a_n\end{Bmatrix}\geq C+C_2n^{\frac{-3}{2}}$

, với $C$ là hằng số được định nghĩa trong câu trên.