ISRAEL MO 2025
Ngày 1:
Bài 1:
Cho $n$ là một số nguyên dương, $n$ chữ cái $A$ hoặc $B$ hoặc $C$ được viết xung quanh một hình tròn. Biết rằng sau khi viết $n$ chữ cái lên, theo chiều kim đồng hồ thì dãy chữ cái $AB$ xuất hiện $100$ lần, dãy chữ cái $BA$ xuất hiện $99$ lần và dãy chữ cái $BC$ xuất hiện $17$ lần. Hỏi dây chữ cái $CB$ xuất hiện bao nhiêu lần?
Bài 2:
Cho hình thoi $ABCD$. Lấy thêm $8$ điểm $ X_1,X_2,Y_1,Y_2,Z_1,Z_2,W_1,W_2$ sao cho tứ giác $AX_1BX_2,BY_1CY_2,CZ_1DZ_2,DW_1AW_2$ là hình vuông.
Chứng minh rằng $8$ điểm lấy thêm nằm trên hai đường thẳng.
Bài 3:
Bình viết lên bảng một số gồm $2024$ chữ số $1$. Sau đó, Liên viết thêm một số khác gồm $2024$ chữ số vào bên phải số Bình đã viết, sao cho số trên bảng trở thành một số chính phương. Hỏi Liên có thể viết số nào?
Bài 4:
Cho một chiếc bàn hình chữ nhật kích thước $100\times \sqrt{3}$. Hỏi cần ít nhất bao nhiêu khăn trải bàn hình tròn có bán kính bằng 1 để phủ kín hoàn toàn chiếc bàn? Biết rằng các khăn trải bàn được phép chồng lên nhau và vượt ra ngoài mép bàn.
Bài 5:
Có $2024$ con cá sống trên một dòng sông. Giữa hai con cá bất kỳ có thể tồn tại quan hệ bạn bè. Hỏi liệu có thể xảy ra trường hợp sao cho với bất kỳ $1012$ con cá nào, luôn tồn tại đúng một con cá khác làm bạn với toàn bộ $1012$ con cá đó hay không?
Bài 6:
Cho a,b,c là các số thực không âm thỏa mãn $ab+bc+ca+abc=4$.
Chứng minh rằng:
$$\sqrt{\frac{ab + ac + 1}{a + 2}} + \sqrt{\frac{ab + bc + 1}{b + 2}} + \sqrt{\frac{ac + bc + 1}{c + 2}} \le 3.$$
Bài 7:
Với mỗi số nguyên dương $n$, đặt $A_n$ là số các bộ số nguyên $(a;b;c;d)$ thỏa mãn điều kiện $0\le b\le d\le n;c+d>n$ và $bc=ad+1$. Đặt $\alpha_n = \sum_{(a, b, c, d) \in A_n} \frac{1}{ab + cd}.$
Tìm tất cả các số thực $t$ sao cho $\alpha_n>t$ với mọi số nguyên dương $n$.