Chủ đề này có 3 trả lời

[MHN]

The 85th William Lowell Putman Mathematical Competition 2024

Session A

A1: Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho tồn tại các số nguyên dương $a;b;c$ thỏa mãn:

$$2a^n+3b^n=4c^n$$

A2: Với đa thức thực $p$ nào thì tồn tại đa thức thực $q$ sao cho:

$$p(p(x))-x=(p(x)-x)^2q(x)$$

với mọi số thực $x?$

A3: Gọi $S$ là tập hợp các song ánh

$$T:\begin{Bmatrix} 1;2;3\end{Bmatrix}\times \begin{Bmatrix}1;2;...;2024\end{Bmatrix}\to \begin{Bmatrix} 1;2;...;6072\end{Bmatrix}$$

sao cho: $T(1;j)<T(2;j)<T(3;j)$ với mọi $j\in \begin{Bmatrix} 1;2;...;2024\end{Bmatrix}$ và $T(i;j)<T(i;j+1)$ với mọi $i\in \begin{Bmatrix}1;2;3\end{Bmatrix}$ và $j\in \begin{Bmatrix}1;2;3;...;2023\end{Bmatrix}$. Có tồn tại $a;c\in \begin{Bmatrix}1;2;3\end{Bmatrix}$ và $b;d\in \begin{Bmatrix}1;2;3;...;2024\end{Bmatrix}$ sao cho số phần tử $T$ trong $S$ với $T(a;b)<T(c;d)$ là có tỉ số nhỏ nhất tại $\frac{1}{3}$ và lớn nhất tại $\frac{2}{3}?$

A4: Tìm tất cả các số nguyên tố $p< 5$ sao cho tồn tại một số nguyên $a$ và một số nguyên $r$ thỏa mãn: $1\leq r\leq p-1$, với tính chất sau: dãy $1;a;a^2;...;a^{p-5}$ có thể được sắp xếp lại để tạo thành một chuỗi $b_0;b_1;b_2;...;b_{p-5}$ sao cho $b_n-b_{n-1}-r$ chia hết cho $p$ với $1\leq n\leq p-5$

A5: Xét một đường tròn $\Omega$ có bán kính $9$ tâm tại gốc tọa độ $(0;0)$ và một đĩa tròn $\Delta$ có bán kính $1$ và tâm tại $(r;0)$ với $0\leq r\leq 8$. Hai điểm $P$ và $Q$ được chọn ngẫu nhiên và độc lập trên đường tròn $\Omega$. Giá trị nào của $r$ để xác suất cho dây cung $\overline{PQ}$ cắt đĩa tròn $\Delta$ là nhỏ nhất?

A6: Cho dãy số $c_1;c_2;...$ được xác định bởi:

$$\frac{1-3x-\sqrt{1-14x+9x^2}}{4}=\sum_{k=0}^{\infty}c_kx^k$$

với $x$ đủ nhỏ. Với một số nguyên dương $n$, gọi $A$ là ma trận $n\times n$ với phần tử ở hàng $i$ và cột $j$ là $c_{i+j-1}$. Tìm định thức của ma trận $A$.

 

 

Nguồn: https://www.facebook...e/p/1TsuTTRy36/

 

 

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2024 - 14:41

[MHN]

The 85th William Lowell Putman Mathematical Competition 2024

Session B

B1: Cho $n$ và $k$ là các số nguyên dương. Ô vuông ở hàng thứ $i$ và cột thứ $j$ của một lưới $n\times n$ chứa số $i+j-k$. Với những giá trị nào của $n$ và $k$ thì có thể chọn $n$ ô vuông từ lưới, không có hai ô nào cùng hàng hoặc cùng cột, sao cho các số chứa trong các ô được chọn chính xác là $1;2;...;n$?

B2: Hai tứ giác lồi được gọi là đối tác nếu chúng có ba đỉnh chung và chúng có thể được đặt tên là $ABCD$ và $ABCE$ sao cho $E$ là ảnh đối xứng của $D$ qua đường trung trực của đường chéo $AC$. Tồn tại không một dãy vô hạn các tứ giác lồi sao cho mỗi tứ giác là đối tác của tứ giác kế tiếp và không có hai phần tử nào trong dãy là bằng nhau?

 1.png   8.05K   0 Số lần tải

B3: Gọi $r_n$ là nghiệm dương nhỏ thứ $n$ của phương trình $\tan x=x$, trong đó đối số của hàm $\tan$ tính bằng $radian$. Chứng minh rằng:

$$0<r_{n+1}-r_n-\pi <\frac{1}{(n^2+n)\pi}$$

B4: Cho $n$ là một số nguyên dương. Đặt $a_{n;0}=$. Với mỗi $k\geq 0$, chọn một số nguyên $m_{n;k}$ một cách ngẫu nhiên đều từ tập hợp $\begin{Bmatrix}1;...;n\end{Bmatrix}$, và đặt:

$$\left\{\begin{matrix} a_{n;k}+1& \text{nếu}& m_{n;k}>a_{n;k} \\ a_{n;k}& \text{nếu}& m_{n;k}=a_{n;k} \\ a_{n;k}-1& \text{nếu}& m_{n;k}< a_{n;k} \end{matrix}\right.$$

Gọi $E(n)$ là giá trị kỳ vọng của $a_{n;n}$. Tìm $\lim_{n\to \infty}\frac{E(n)}{n}.$

B5: Cho $k$ và $m$ là các số nguyên dương. Với một số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số các dãy số nguyên $x_1,...,x_k;y_1,...,y_m;z$ thỏa mãn $1\leq x_1\leq ...\leq x_k\leq z\leq n$ và $1\leq y_1\leq ...\leq y_m\leq z\leq n$. Chứng minh rằng $f(n)$ có thể biểu diễn dưới dạng một đa thức bậc $n$ với các hệ số không âm.

B6: Với một số thực $a$, cho $F_a(x)=\sum_{n\geq 1} n^ae^{2n}x^{n^2}$ với $0\geq x<1$. Tìm một số thực $c$ sao cho:

$$\lim_{x\to 1^-}F_a(x)e^{-1/(1-x)}=0\forall a<c$$

$$\text{và} \lim_{x\to 1^-}F_a(x)e^{-1/(1-x)}=\infty \forall a>c$$

 

Nguồn: https://www.facebook...e/p/1TsuTTRy36/

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 11-12-2024 - 14:45

[ZoroMaths]

Cái này là chọn 1 trong 2 à, hay là thi 2 ngày như Olympic

[MHN]

Cái này là chọn 1 trong 2 à, hay là thi 2 ngày như Olympic

Thông tin thêm có thể đọc trên mạng, ví dụ như ở đây họ đã giới thiệu rất rõ về kì thi này rồi bạn nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 10-12-2024 - 19:40