Chủ đề này có 4 trả lời

[bangbang1412]

Chứng minh kì diệu của Andrew Wiles

Fermat nổi tiếng với tuyên bố rằng ông đã tìm ra "một chứng minh thực sự kỳ diệu" cho Định lý Cuối cùng của mình, nhưng lề sách trong bản sao của tác phẩm Arithmetica của Diophantus không đủ chỗ để chứa nó. Dù chứng minh đó (nếu từng tồn tại) đã bị mất, trong hơn hai thập kỷ qua và đã giúp ông nhận giải thưởng Abel. Theo lời trích dẫn từ giải thưởng, Wiles xứng đáng được vinh danh "vì chứng minh đầy ấn tượng của Định lý Cuối cùng của Fermat thông qua giả thuyết modularity đối với các đường cong elliptic bán ổn định, mở ra một kỷ nguyên mới trong lý thuyết số".

Ít ai có thể không bị cuốn hút bởi sức hấp dẫn của Định lý Cuối cùng của Fermat, một câu đố bắt nguồn từ toán học Hy Lạp cổ đại, đơn giản đến mức một người mới học (như cậu bé $10$ tuổi Andrew Wiles khi dạo qua kệ sách tại thư viện công cộng địa phương) cũng có thể hiểu và đánh giá cao, nhưng lại thách thức nỗ lực của những bộ óc xuất sắc nhất trong hơn ba thế kỷ. Qua lịch sử dài của nó, định lý này đã trở thành đối tượng của những giải thưởng giá trị như giải Wolfskehl và, quan trọng hơn, đã thúc đẩy một loạt khám phá cơ bản: phương pháp hạ vô hạn của Fermat, lý thuyết ideal của Kummer, giả thuyết ABC, cách tiếp cận của Frey đối với các phương trình Diophantine bậc ba, giả thuyết của Serre về biểu diễn Galois mod p, v.v.

Ngay cả khi không có mối liên hệ tình cờ với Định lý Cuối cùng của Fermat, định lý modular của Wiles cũng là một tuyên bố cơ bản về các đường cong elliptic (như được minh chứng, chẳng hạn, qua vai trò quan trọng của nó trong chứng minh Định lý 2 trong bài viết của Karl Rubin được đề cập trong số đặc biệt của Notices of the AMS). Đây cũng là trung tâm của “chương trình Langlands”, công trình đồ sộ và đầy tham vọng với những kết quả và giả thuyết đã chi phối cái nhìn của các nhà lý thuyết số về thế giới. Chương trình này được mô tả như một “thuyết thống nhất lớn” của toán học.

Từ một góc nhìn Na Uy, nó kết nối các đối tượng xuất hiện trong tác phẩm của Niels Hendrik Abel, chẳng hạn như các đường cong elliptic, các tích phân abel và các biểu diễn Galois liên quan của chúng, với (thường là vô hạn chiều) các biểu diễn tuyến tính của các nhóm biến đổi liên tục, lĩnh vực nghiên cứu được tiên phong bởi Sophus Lie. Báo cáo này tập trung vào vai trò của Định lý Wiles và “chứng minh kỳ diệu” của nó trong chương trình Langlands, nhằm minh họa cho cụm từ kết thúc trong lời trích dẫn từ giải thưởng: cách chứng minh của Wiles đã mở ra “một kỷ nguyên mới trong lý thuyết số” và tiếp tục có tác động sâu sắc, lâu dài đến toán học.

Chuyến “tham quan cho người mới bắt đầu” của chúng tôi về chương trình Langlands chỉ mang đến một cái nhìn phiến diện và chắc chắn là thiên lệch về bức tranh toàn cảnh, phản ánh những hạn chế của tác giả cũng như giới hạn cố hữu của cách tiếp cận dành cho độc giả phổ thông. Chúng tôi sẽ giới thiệu chương trình Langlands bằng cách bắt đầu với một thảo luận về các phương trình Diophantine: trong khuôn khổ bài viết này, chúng là các phương trình có dạng
\begin{equation}
\mathcal{X}: \ \ \ \ P(x_1,...,x_{n+1})= 0
\end{equation} trong đó $P$ là một đa thức theo các biến $x_1,...,x_{n+1}$ với hệ số nguyên (đôi khi hữu tỷ). Người ta có thể khảo sát tập hợp kí hiệu bởi $\mathcal{X}(F)$, của các nghiệm của $(1)$ với hệ số trong bất kì vành $F$ nào. Như chúng ta sẽ thấy, chủ đề này thu hút sự quan tâm chủ yếu nhờ vào những cách thức sâu sắc và tinh tế mà biểu hiện của các tập nghiệm khác nhau có thể cộng hưởng lẫn nhau, ngay cả khi những tập $\mathcal{X}(\mathbb{Z})$ và $\mathcal{X}(\mathbb{Q})$ gồm các nghiệm nguyên và hữu tỷ là mối bận tâm trước nhất của chúng ta. Ví dụ cho các phương trình Diophantine bao gồm phương trình Fermat $x^d+y^d=z^d$ và phương trình Brahmagupta-Pell $x^2-Dy^2=1$ với $D >0$ cũng như các phương trình đường cong elliptic có dạng $y^2=x^3+ax+b$, trong đó $a$ và $b$ là các tham số hữu tỷ, các nghiệm $(x,y)$ với toạ độ hữu tỷ là đối tượng được quan tâm trong trường hợp sau.

Có thể hữu ích khi tiếp cận một phương trình Diophantine bằng cách đầu tiên nghiên cứu các nghiệm của nó trên các vành đơn giản, chẳng hạn như các trường đầy đủ gồm các số thực hoặc số phức. Tập hợp
\begin{equation}
\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} := \left \{0, 1, \dots, n - 1 \right \}
\end{equation} các số dư sau khi chia cho một số nguyên $n \geq 2$, cùng với các phép toán tự nhiên của nó như phép cộng, phép trừ và phép nhân, là một tập hợp các số đặc biệt đơn giản, có lực lượng hữu hạn. Nếu $n = p$ là một số nguyên tố, vành này thậm chí còn là một trường: nó được trang bị thêm phép chia cho các phần tử khác 0, giống như các tập hợp quen thuộc hơn của số hữu tỉ, số thực và số phức.

Việc $\mathbb{F}_p := \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ là một trường là một đặc điểm đại số của số nguyên tố, và đặc điểm này là cơ sở cho hầu hết các thuật toán kiểm tra tính nguyên tố và phân tích thành thừa số hiệu quả hiện nay.

Một trong những đóng góp lớn của Évariste Galois, bên cạnh lý thuyết cùng tên đóng vai trò quan trọng trong công trình của Wiles, là phát hiện ra một trường có lực lượng $p^r$ với bất kỳ lũy thừa nguyên tố $p^r$ nào. Trường này, ký hiệu là $\mathbb{F}_{p^r}$ và đôi khi được gọi là trường Galois với $p^r$ phần tử, thậm chí là duy nhất chính xác tới đẳng cấu.

Với một phương trình Diophantine $\mathcal{X}$ như trong $(1)$, bất biến cơ bản nhất của tập hợp
\begin{equation}
\mathcal{X}(\mathbb{F}_{p^r}) \coloneqq \left \{(x_1,...,x_{n+1}) \in \mathbb{F}_{p^r} \ \text{such that} \ P(x_1,...,x_{n+1}) = 0 \right \}
\end{equation} của các nghiệm trên $\mathbb{F}_{p^r}$ chắc chắn là lực lượng
\begin{equation}
N_{p^r} \coloneqq \# \mathcal{X}(\mathbb{F}_{p^r}).
\end{equation} Những quy luật nào (nếu có) thoả mãn bởi dãy số
\begin{equation}
N_p, N_{p^2},N_{p^3},...,N_{p^r},...?
\end{equation} Dãy này có thể được gói vào trong các chuỗi sinh như
\begin{equation}
\sum_{r=1}^{\infty}N_{p^r}T^r \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ \sum_{r=1}^{\infty}\frac{N_{p^r}}{r}T^r.
\end{equation} Vì lý do kĩ thuật, tốt nhất là ta xét hàm mũ của chuỗi thứ hai:
\begin{equation}
\zeta_p(\mathcal{X};T) \coloneqq \exp \left( \sum_{r=1}^{\infty}\frac{N_{p^r}}{r}T^r \right).
\end{equation} Chuỗi luỹ thừa theo $T$ này được gọi là hàm zeta của $\mathcal{X}$ trên $\mathbb{F}_p$. Nó có các hệ số nguyên và thoả mãn các tính chất đáng chú ý sau:

• Nó là một hàm hữu tỷ theo $T$:\begin{equation} \zeta_p(\mathcal{X};T) = \frac{Q(T)}{R(T)},\end{equation} trong đó $Q(T)$ và $R(T)$ là các đa thức theo $T$ với bậc (hầu hết ngoại trừ một số hữu hạn) độc lập với $p$ và được xác định bởi hình dạng - tôpô phức - của tập $\mathcal{X}(\mathbb{C})$ các nghiệm phức.
• Các nghiệm phản xạ của $Q(T)$ và $R(T)$ là các số phức với chuẩn $p^{i/2}$ với $i$ là một số nguyên trong khoảng $0 \leq i \leq 2n$.

Phát biểu đầu tiên - tính hữu tỷ của hàm zeta, được chứng minh bởi Bernard Dwork vào đầu những năm $1960$ - là một phần chủ chốt của các giả thuyết Weil, mà sự hình thành vào những năm $1940$ đã khơi mào một cuộc cách mạng trong hình học số học, thúc đẩy sự phát triển của đối đồng điều étale bởi Grothendieck và trường phái của ông. Phát biểu thứ hai, khẳng định rằng hàm phức $\zeta_p(\mathcal{X};p^{-s})$ có các nghiệm nằm trên đường thẳng thực $\mathfrak{R}(s) = i/2$ với $i$ như trên, được biết đến là giả thuyết Riemann cho các hàm zeta của các phương trình diophantine trên các trường hữu hạn. Nó đã được chứng minh bởi Pierre Deligne vào năm $1974$ và là một trong những thành tựu chính cho việc ông ấy được trao giải Abel năm năm $2013$.

Việc hành vi tiệm cận của $N_p$ có thể dẫn đến những hiểu biết sâu sắc về biểu hiện của các phương trình Diophantine liên quan là một trong những ý tưởng then chốt đằng sau giả thuyết Birch và Swinnerton-Dyer.

Hiểu được các quy luật thoả mãn bởi các hàm
\begin{equation}
p \mapsto N_p \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ p \mapsto \zeta_p(\mathcal{X};T)
\end{equation} với số nguyên tố $p$ thay đổi cũng sẽ đóng vai trò câu hỏi động lực cho chương trình Langlands.

Hóa ra, việc gói gọn các hàm zeta trên tất cả các trường hữu hạn thành một hàm duy nhất của biến phức $s$ bằng cách lấy tích vô hạn lại rất hữu ích
\begin{equation}
\zeta(\mathcal{X};s) = \prod_p \zeta_p(\mathcal{X};p^{-s})
\end{equation} với $p$ chạy trên tất cả các số nguyên tố. Trong trường hợp phương trình Diophantine không tầm thường đơn giản nhất $x=0$, có tập nghiệm trên $\mathbb{F}_{p^r}$ bao gồm đúng một điểm, ta có $N_{p^r}=1$ với mọi $p$ và do đó
\begin{equation}
\zeta_p(x=0;T) = \exp \left(\sum_{r \geq 1}\frac{T^r}{r} \right) = (1-T)^{-1}.
\end{equation} Theo đó
\begin{align}
\zeta(x=0;s) & = \prod_p \left(1 - \frac{1}{p} \right)^{-1} \\
& = \prod_p \left(1 + \frac{1}{p^s} + \frac{1}{p^{2s}} + \frac{1}{p^{3s}} + \cdots \right) \\
& = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s} = \zeta(s).
\end{align} Do đó, hàm zeta của ngay cả phương trình Diophantine khiêm tốn nhất cũng là một đối tượng trung tâm của toán học: hàm zeta Riemann nổi tiếng, gắn liền với một số câu hỏi sâu sắc nhất liên quan đến sự phân bố của các số nguyên tố. Trong hồi kí vĩ đại năm $1860$ của mình, Riemann đã chứng minh rằng, mặc dù $(13)$ và $(14)$ chỉ hội tụ tuyệt đối trên nửa mặt phẳng bên phải $\mathfrak{R}(s)>0$, hàm $\zeta(s)$ thác triển thành một hàm phân hình theo $s \in \mathbb{C}$ (với một cực đơn duy nhất tại $s=1$) và sở hữu một phương trình hàm tao nhã liên hệ các giá trị của nó tại $s$ và $1-s$. Các hàm zeta của các phương trình tuyến tính $\mathcal{X}$ theo $n+1$ biên chỉ là phép dịch đi của hàm zeta Riemann, do $N_{p^r}$ bằng $p^{nr}$, và do đó $\zeta(\mathcal{X};s) = \zeta(s-n)$.

Chuyển sang các phương trình bậc hai, phương trình bậc hai một biến tổng quát có dạng $ax^2+bx+c=0$ và biểu hiện của nó bị kiểm soát bởi biệt thức
\begin{equation}
\Delta \coloneqq b^2-4ac.
\end{equation} Sự thật đại số thuần tuý vẫn đúng trên các trường hữu hạn và, với các số nguyên tố $p \nmid 2a\Delta$, ta có
\begin{equation}
N_p = \begin{cases}
0 & \text{nếu} \ \Delta \ \text{không là bình phương modulo} \ p, \\
2 & \text{nếu} \ \Delta \ \text{là bình phương modulo} \ p.
\end{cases}
\end{equation} A priori, tiêu chuẩn cho việc liệu $N_p=2$ hay $0$ - liệu số nguyên $\Delta$ là hay không là bình phương thặng dư modulo $p$ - dường như là một điều kiện tinh tế cho số nguyên tố $p$. Để có một cảm giác tốt hơn về điều kiện này, xét ví dụ phương trình $x^2-x-1=0$, theo đó $\Delta = 5$. Tính toán rằng liệu $5$ là một bình phương hay không modulo $p$ cho một số ít các số nguyên tố $p \leq 101$ dẫn tới danh sách sau
\begin{equation}
N_p = \begin{cases}
2 & \text{với} \ p=11,19,29,31,41,59,61,71,79,89,101,... \\
0 & \text{với} \ p =2,3,7,13,17,23,37,43,47,53,67,73,83,...
\end{cases}
\end{equation} Một quy luật rõ ràng hiện ra từ thử nghiệm này: việc liệu $N_p = 0$ hay $2$ dường như chỉ phụ thuộc vào chữ số bên phải sau cùng của $p$, tức là vào số dư của $p$ modulo $10$. Ta được dẫn đến suy đoán rằng
\begin{equation}
N_p = \begin{cases}
2 & \text{nếu} \ p \equiv 1,4 \ (\textnormal{mod} \ 5), \\
0 & \text{nếu} \ p \equiv 2,3 \ (\textnormal{mod} \ 5),
\end{cases}
\end{equation} một công thức biểu diễn một sự cải thiện đáng kể so với $(16)$, cho phép một sự tính toán hiệu quả hơn nhiều cho $N_p$. Suy đoán trong $(18)$ thực tế là một hệ quả của luật thuận nghịch bình phương nổi tiếng của Gauss:

Định lý

Với mọi phương trình $ax^2+bx+c$ với $\Delta \coloneqq b^2-4ac$, giá trị của hàm $p \mapsto N_p$ (với $p \nmid a\Delta$) chỉ phụ thuộc vào lớp thặng dư của $p$ modulo $4\Delta$, và do đó tuần hoàn với độ dài tuần hoàn chia hết cho $4\left |\Delta \right|$.

Quy luật lặp lại thoả mãn bởi các số $N_p$ khi $p$ thay đổi tạo điều kiện thuận lợi cho thao trên các hàm zeta của các phương trình bậc hai. Ví dụ, hàm zeta của $\mathcal{X}: x^2-x-1=0$ bằng với
\begin{equation}
\zeta(\mathcal{X};s) = \zeta(s) \times \Bigg\{\bigg(1 - \frac{1}{2^s} - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} \bigg) + \bigg(\frac{1}{6^s} - \frac{1}{7^s} - \frac{1}{8^s} + \frac{1}{9^s} \bigg) + \bigg(\frac{1}{11^s} - \frac{1}{12^s} - \frac{1}{13^s} + \frac{1}{14^s} \bigg) + \cdots \Bigg\}.
\end{equation} Chuỗi xuất hiện phía bên phải là một ví dụ nguyên mẫu của $L$-chuỗi Dirichlet. Các $L$-chuỗi này, là những tác nhân chính trong chứng minh định lý Dirichlet về vô số số nguyên tố theo cấp số cộng, có nhiều tính chất giải tích giống như hàm zeta Riemann: một thác triển giải tích ra toàn bộ mặt phẳng phức và một phương trình hàm liên hệ các giá trị của chúng tại $s$ và $1-s$. Chúng cũng được kì vọng sẽ thoả mãn một giả thuyết Riemann mà mở rộng phát biểu ban đầu của Riemann và cũng sâu sắc và khó nắm bắt như vậy.

Đó là một thực tế (không hoàn toàn tầm thường) rằng hàm zeta của phương trình bậc hai tổng quát theo $n$ biến
\begin{equation}
\sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_i x_j + \sum_{i=1}^n b_i x_i + c = 0
\end{equation} bao gồm các thành phần cơ bản giống nhau – chuỗi Dirichlet – như trong trường hợp một biến. Điều này có nghĩa là các phương trình diophantine bậc hai trong bất kỳ số lượng biến nào đều được hiểu rõ, ít nhất là đối với các hàm zeta của chúng.

Câu chuyện trở nên phức tạp khi xét đến các phương trình bậc cao hơn. Xét, ví dụ, phương trình bậc ba $x^3 - x - 1$ với biệt thức $\Delta = -23$. Với tất cả $p \neq 23$, phương trình bậc ba này không có nghiệm bội trên $\mathbb{F}_{p^r}$ và do đó $N_p = 0,1$ hoặc $3$. Một biểu thức đơn giản cho $N_p$ trongtruwowfng hợp này được cho bởi định lý sau đây của Hecke:

Định lý

Các khẳng định sau đúng với mọi số nguyên tố $p\neq 23$:

• Nếu $p$ không là một bình phương modulo $23$ thì $N_p=1$.
• Nếu $p$ là một bình phương modulo $23$ thì \begin{equation} N_p = \begin{cases} 0 & \text{nếu} \ p = 2a^2+ab+3b^2, \\ 3 & \text{nếu} \ p = a^2+ab+6b^2, \end{cases} \end{equation} với $a,b \in \mathbb{Z}$ nào đó.

Định lý của Hecke suy ra rằng
\begin{equation}
\zeta(x^3-x-1;s) = \zeta(s) \times \sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s},
\end{equation} với chuỗi sinh
\begin{equation}
F(q) \coloneqq \sum_{n=1}^{\infty} a_n q^n = q-q^2-q^3+q^6 +q^8-q^{13}-q^{16}+q^{23}+ \cdots
\end{equation} được cho bởi công thức cụ thể
\begin{equation}
F(q) = \frac{1}{2}\left( \sum_{a,b \in \mathbb{Z}} q^{a^2+ab+6b^2} - q^{2a^2+ab+3b^2}\right).
\end{equation} Hàm số $f(z) = F(e^{2\pi i z})$ phát sinh khi đặt $q= e^{2\pi i z}$ trong $(24)$ là một ví dụ nguyên mẫu của một dạng modular: cụ thể là, nó thoả mãn luật biến đổi
\begin{equation}
f\bigg( \frac{az+b}{cz+d}\bigg) = (cz+d)f(z), \ \ \ \ \begin{cases}
a,b,c,z\in \mathbb{Z} \ \ ad-bc=1, \\
23\mid c, \ \big(\frac{a}{23}\big) = 1,
\end{cases}
\end{equation} dưới cái được gọi là các phép thế modular có dạng $z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}$. Tính chất này suy ra từ công thức tổng Poisson áp dụng cho biểu thức trong $(24)$. Cảm ơn $(25)$, hàm zeta của $\mathcal{X}$ có thể được thao tác dễ dàng như các hàm zeta của Riemann và Dirichlet. Thật vậy, Hecke chứng minh rằng $L$-chuỗi $\sum_{n=1}^{\infty} a_n n^{-s}$ gắn với một dạng modular $\sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{2\pi i n z}$ sở hữu các tính chất giải tích rất tương tự, điển hình là thác triển giải tích và một phương trình hàm kiểu Riemann.

Chuỗi sinh $F(q)$ cũng có thể được biểu thị như một tích vô hạn:
\begin{equation}
\frac{1}{2}\left( \sum_{a,b \in \mathbb{Z}} q^{a^2+ab+6b^2} - q^{2a^2+ab+3b^2}\right) = q \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)(1-q^{23n}).
\end{equation} Một vài số hạng đầu tiên của đẳng thức các chuỗi luỹ thừa này có thể dễ dàng được xác minh bởi tính toán trực tiếp nhưng chứng minh của nó là vô cùng không tầm thường và không trực tiếp. Nó khai thác tình huống mà không gian các hàm chỉnh hình theo $z$ thoả mãn luật biến đổi $(25)$ cùng với một số tính chất tăng trưởng phù hợp là mọt không gian vector phức một chiều mà cũng chứa tích vô hạn ở trên. Thật vậy, tích trên bằng với $\eta(q)\eta(q^{23})$, trong đó
\begin{equation}
\eta(q) = q^{1/24}\prod_{n=1}^{\infty}(1-q^n)
\end{equation} là hàm eta Dedekind có đạo hàm logarit (sau khi xem $\eta$ như một hàm của $z$ thông qua phép đổi biến $q=2^{\pi i z}$) được cho bởi
\begin{align}
\frac{\eta'(z)}{\eta(z)} & =-\pi i \left( \frac{-1}{12} + 2\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{d \mid n} d \right) e^{2\pi i n z} \right) \\
& = \frac{i}{4\pi}\sum_{m = -\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{1}{(mz+n)^2},
\end{align} trong đó số hạng đính kèm với $(m,n)=(0,0)$ bị loại trừ trong tổng cuối cùng. Hàm eta Dedekind cũng được liên kết với chuỗi sinh cho hàm phân hoạch $p(n)$ mô tả số cách theo đó $n$ có thể được biểu diễn như một tổng của các số nguyên dương thông qua đẳng thức
\begin{equation}
\eta^{-1}(q) = q^{-1/24}\sum_{n=0}^{\infty} p(n)q^n,
\end{equation} đóng vai chính cùng với Jeremy Irons và DevPatel trong một bộ phim gần đây về cuộc đời của Srinivasa Ramanujan.

Bình luận về "tính hiệu quả không hợp lí và tính phổ biến của các dạng modular", Martin Eichler có lần từng viết: "có năm phép toán số học sơ cấp: cộng, trừ, nhân, chia,... và các dạng modular." Các phương trình $(26,(29)$ và $(30)$ chỉ là một số ít của rất nhiều các đẳng thức kì diệu tồn tại, giống như các chủng loại kì lạ của hoa dại thơm hoặc hoa con, trong cái mà Roger Godement gọi là "khu vườn của những thú vui modular".

Ví dụ trên, và rất nhiều ví dụ khác cùng loại, được mô tả trong chuyên khảo thú vị của Jean-Pierre Serre, đề cập đến các chủ đề cũng được đề cập trong bài giảng của Serre tại lễ trao giải Abel đầu tiên năm $2003$.

Hecke đã có thể suy ra rằng tất cả các đa thức bậc ba một biến là modular, tức là, các hệ số của các hàm zeta của chúng tuân theo những quy luật giống như của $(24)$ và $(25)$. Thành tựu của Wiles là mở rộng kết quả này ra cho một lớp rộng hơn các phương trình Diophantine bậc ba hai biến trên các số hữu tỷ: các phương trình đường cong elliptic, mà có thể được đưa về dạng
\begin{equation}
y^2 = x^3+ax + b
\end{equation} sau một phép đổi biến thích hợp và không suy biến, một điều kiện tương đương với khẳng định rằng biệt thức $\Delta \coloneqq -16(4a^3+27b^2)$ khác không.

Để minh hoạ định lý của Wiles với một ví dụ tường minh, xét phương trình
\begin{equation}
E: y^2 = x^3 - x
\end{equation} với biệt thức $\Delta = 64$. Sau khi đặt
\begin{equation}
\zeta(E;s) = \zeta(s-1) \times (a_1+a_2 2^{-s} + a_3 3^{-s} + a_4 4^{-s} + \cdots )^{-1},
\end{equation} chuỗi sinh liên kết đẳng thức sau, gợi nhớ tới $(24)$ và $(26)$,
\begin{align}
F(q) & = \sum a_n q^n \notag \\
& = q - 2q^5 - 3q^9 + 6q^{13} + 2q^{17} - q^{25} + \cdots \\
& = \sum_{a,b} a \cdot q^{a^2+b^2} \\
& = q \prod_{n=1}^{\infty}(1-q^{4n})^2(1-q^{8n})^2
\end{align} ở đó tổng trong $(35)$ chạy trên $(a,b) \in \mathbb{Z}^2$ mà số nguyên Gauss $a+bi$ đồng dư $1$ modulo $(1+i)^3$. (Đẳng thức này suy ra từ nghiên cứu của Deuring về các hàm zeta của các đường cong elliptic với phép nhân phức, và có thể đã được biết đến từ trước đó.) Một lần nữa, hàm chỉnh hình $f(z) \coloneqq F(e^{2\pi i z})$ là một dạng modular, thoả mãn một luật biến đổi hơi khác một chút
\begin{equation}
f\bigg( \frac{az+b}{cz+d}\bigg) = (cz+d)^2f(z), \ \ \ \ \begin{cases}
a,b,c,z\in \mathbb{Z} \ \ ad-bc=1, \\
32\mid c.
\end{cases}
\end{equation} Lưu ý rằng luỹ thừa $2$ xuất hiện trong công thức này. Vì nó, hàm $f(z)$ được gọi là một dạng modular với trọng $2$ và mức $32$. Các dạng modular của $(25)$ gắn với các phương trình bậc ba một biến có trọng $1$ nhưng mặt khác, sự song song của $(35)$ và $(36)$ với $(24)$ và $(26)$ là đáng kinh ngạc. Giả thuyết ban đầu của Shimura-Taniyama và Weil khẳng định cùng quy luật đó cho tất cả các đường cong elliptic:

Giả thuyết. Gọi $E$ là một đường cong elliptic bất kì. Khi đó, \begin{equation}
\zeta(E;s) = \zeta(s-1) \times \left(\sum_{n=1}^{\infty}a_n n^{-s} \right)^{-1},\end{equation} trong đó $f_E(z) \coloneqq \sum a_n e^{2\pi i n z}$ là một dạng modular với trọng $2$.

Giả thuyết này thực ra cụ thể hơn và dự đoán rằng mức của $f_E$ - tức là, số nguyên xuất hiện trong tính chất biến đổi của $f_E$, như các số nguyên $23$ và $32$ lần lượt xuất hiện trong $(25)$ và $(37)$ - bằng với conductor số học của $E$. Conductor này, chỉ chia hết cho các số nguyên tố mà phương trình của $E$ trở thành suy biến modulo $p$, là một phép đo độ phức tạp số học của $E$ và có thể được tính toán tường minh từ một phương trình của $E$ bằng một thuật toán của Tate. Một đường cong elliptic được gọi là bán ổn định nếu conductor số học của nó là một số nguyên không có bình phương. Lớp các đường cong elliptic này chứa các đường cong có dạng
\begin{equation}
y^2 = x(x-a)(x-b),
\end{equation} với $\gcd(a,b) = 1$ và $16 \mid b$. Các đường cong elip nổi tiếng nhất trong lớp này là những đường cong cuối cùng không tồn tại: "các đường cong Frey" $y^2 = x(x-a^p)(x+b^p)$ phát sinh từ các nghiệm giả định của phương trình Fermat $a^p+b^p = c^p$, sự không tồn tại của chúng đã được xác lập trước đó trong một bài báo mang tính bước ngoặt của Kenneth Ribet, dưới giả định về tính modular của chúng. Chứng minh của giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil cho các đường cong elliptic bán ổn định đã mang lại của Andrew Wiles giải Abel:

Định lý

Gọi $E$ là một đường cong elliptic bán ổn định. Khi đó $E$ thoả mãn giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil.

Giả thiết bán ổn định trong định lý của Weiles về sau đã được loại bỏ bởi Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond và Richard Taylor vào khoảng năm $1999$.

Tác giả: Henri Darmon.

Bài viết gốc: Andrew Wiles' Marvelous Proof.

Dịch bởi: Phạm Khoa Bằng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-01-2025 - 23:09

[bangbang1412]

 Screenshot 2025-01-01 at 15-23-36 notices.pdf.png   194.27K   4 Số lần tải

Wiles trình bày bài giảng đầu tiên của mình tại Princeton về cách tiếp cận của ông ấy với giả thuyết modular đầu năm $1994$.

 

Để mở đầu cho việc mô tả một số ý tưởng quan trọng trong chứng minh của nó, trước tiên chúng ta phải cố gắng giải thích tại sao định lý Wiles lại chiếm một vị trí trung tâm như vậy trong toán học. Chương trình Langlands đặt nó vào một bối cảnh lớn hơn bằng cách đưa ra một khái quát rộng lớn về ý nghĩa của một phương trình Diophantine “liên quan đến một dạng modular”. Điều quan trọng là xem các dạng modular gắn liền với các phương trình bậc ba hoặc các đường cong elliptic, như trong $(24)$ hoặc $(34)$, như các vector trong một số biểu diễn vô hạn chiều bất khả quy của nhóm tôpô compact địa phương
\begin{equation}
    \mathbf{GL}_2(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}}) = \prod_p' \mathbf{GL}_2(\mathbb{Q}_p) \times \mathbf{GL}_2(\mathbb{R}),
    \end{equation} ở đó $\prod_p'$ kí hiệu tích trực tiếp hạn chế trên tất cả các số nguyên tố, bao gồm các phần tử $(\gamma_p)_p$ mà thành phần thứ $p$ $\gamma_p$ thuộc vào nhóm con compact cực đại $\mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}_p)$ với tất cả ngoại trừ một số hữu hạn $p$. Sự thay đổi trọng tâm từ các dạng modular sang các biểu diễn tự đẳng cấu mà chúng bao sinh ra có tính quyết định. Langlands đã chỉ ra làm thế nào để gắn một $L$-hàm với mọi biểu diễn tự đẳng cấu bất khả quy của $G(\mathbb{A}_{\mathbb{Q}})$ với một nhóm đại số quy gọn bất kì $G$, mà các nhóm ma trận $\mathbf{GL}_n$ và các nhóm đại số kiểu Lie tổng quát hơn là các ví dụ nguyên mẫu. Điều này mở rộng đáng kể khái niệm về ý nghĩa của “modular”: một phương trình Diophantine bây giờ được nói là có tính chất này nếu hàm zeta của nó có thể được biểu thị theo các $L$-hàm Langlands
gắn với các biểu diễn tự đẳng cấu. Một trong những mục tiêu cơ bản trong chương trình Langlands là thiết lập thêm các trường hợp của giả thuyết sau:

 

Giả thuyết. Tất cả phương trình Diophantine là modular theo nghĩa trên.

 

Giả thuyết này có thể được xem như một sự tổng quát hoá ngoài tầm với của luật thuận nghịch bình phương và làm nền tảng cho các luật thuận nghịch không abel mà nằm tại tâm của thành tựu của Andrew Wiles.

Trước chứng minh của Wiles, các lớp tổng quát sau của các phương trình Diophantine đã được biết là modular:

• Các phương trình bậc hai, bởi luật thuận nghịch bình phương của Gauss.
• Các phương trình bậc ba một biến, bởi công trình của Hecke và Maass.
• Các phương trình bậc bốn một biến.

Trường hợp cuối cùng này đáng được bình luận thêm, vì nó chưa được thảo luận trước đó và đóng vai trò quan trọng trong chứng minh của Wiles. Tính modular của các phương trình bậc bốn được thiết lập từ công trình tiên phong của Langlands và Tunnell. Mặc dù việc mô tả phương pháp của họ nằm ngoài phạm vi của bài viết này, cần nhấn mạnh rằng Langlands và Tunnell đã sử dụng một cách thiết yếu tính giải được bằng căn thức của phương trình bậc bốn tổng quát, với nhóm đối xứng cơ bản nằm trong nhóm hoán vị $S_4$ trên $4$ phần tử. Các mở rộng khả giải được xây dựng từ một chuỗi các mở rộng abel, thuộc phạm vi của lý thuyết trường các lớp được phát triển vào thế kỷ $19$ và nửa đầu thế kỷ $20$. Mặt khác, tính modular của phương trình tổng quát bậc lớn hơn $4$ trong một biến, vốn không thể giải bằng căn thức, dường như vượt ra ngoài khả năng của các kỹ thuật sẵn có trong "thời kỳ trước Wiles". Người đọc kiên nhẫn đến cuối bài luận này sẽ được tiết lộ một phần về cách kiến thức của chúng ta về tính modular của phương trình bậc năm tổng quát đã tiến bộ vượt bậc sau bước đột phá của Wiles.

Trước chứng minh của Wiles, tính modular cũng chưa được biết đến đối với bất kỳ lớp phương trình tổng quát nào (bậc $> 2$, chẳng hạn) trong hơn một biến; đặc biệt, nó chỉ được xác minh đối với một số hữu hạn đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ (tính đến phép đẳng cấu trên $\overline{\mathbb{Q}}$), bao gồm cả các đường cong elliptic trên $\mathbb{Q}$ với phép nhân phức, trong đó đường cong elliptic ở $(31)$ là một ví dụ. Định lý modular của Wiles đã khẳng định các giả thuyết Langlands trong trường thử quan trọng của các đường cong elliptic, vốn có vẻ (và thực tế là) những phương trình Diophantine rất đặc biệt nhưng đã cung cấp một môi trường phong phú cho các nghiên cứu số học, cả trong lý thuyết lẫn ứng dụng (ví dụ: mật mã và lý thuyết mã hóa).

Quay lại chủ đề chính của bài viết này, chứng minh của Wiles cũng quan trọng vì đã giới thiệu một cách tiếp cận mang tính cách mạng mới, mở ra những cánh cửa lớn cho nhiều đột phá tiếp theo trong chương trình Langlands.

Để mở rộng ý này, chúng ta cần giới thiệu một \textit{nhân tố quan trọng} khác trong chứng minh của Wiles: các biểu diễn Galois. Gọi $G_{\mathbb{Q}} = \operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ là nhóm Galois tuyệt đối của $\mathbb{Q}$, tức là, nhóm các tự đẳng cấu của trường tất cả các số đại số. Nó là một nhóm hầu hữu hạn, được trang bị một tôpô tự nhiên mà các nhóm con $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/L)$ với $R$ chạy trên các mở rộng hữu hạn của $\mathbb{Q}$ cấu thành một cơ sở cho các nhóm con mở. Theo chân quan điểm ban đầu được chính Galois đưa ra, nhóm $G_{\mathbb{Q}}$ tác động tự nhiên như các hoán vị trên các nghiệm của các đa thức với hệ số hữu tỷ. Cho trước một tập hữu hạn $S$ gồm các nguyên tố, ta có thể chỉ xét các đa thức đơn khởi với hệ số nguyên có biệt thức chỉ chia hết cho các số nguyên tố $\ell \in S$ (cuối cùng sau một phép đổi biến). Nhóm tôpô $G_{\mathbb{Q}}$ tác động trên các nghiệm của các đa thức như vậy thông qua một thương, kí hiệu bởi $G_{\mathbb{Q},S}$: nhóm tự đẳng cấu của mở rộng đại số cực đại không rẽ nhánh bến ngoài $S$, có thể được xem như nhóm đối xứng của các đa tạp không chiều trên $\mathbb{Q}$ có "rút gọn không suy biến bên ngoài $S$".

Ngoài các biểu diễn hoán vị của $G_{\mathbb{Q}}$ (nhóm Galois của trường số hữu tỷ), vốn rất quan trọng trong cách xây dựng lý thuyết ban đầu của Galois, giờ đây ngày càng quan trọng để nghiên cứu các biểu diễn tuyến tính (liên tục)
\begin{equation}
    \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow GL_n(L)
\end{equation} của nhóm Galois này, trong đó $L$ là một trường đầy đủ, như các trường $\mathbb{R}$ và $\mathbb{C}$ các số thực và phức, trường hữu hạn $\mathbb{F}_{\ell^r}$ được trang bị tôpô rời rạc, hoặc một mở rộng hữu hạn $L \subset \overline{\mathbb{Q}}_{\ell}$ của trường $\mathbb{Q}_{\ell}$ các số $\ell$-adic.

Các biểu diễn Galois là một chủ đề quan trọng trong công trình của Abel và vẫn giữ vai trò trung tâm trong thời hiện đại. Nhiều nhà toán học lỗi lạc trong thế kỉ $20$ đã đóng góp vào việc nghiên cứu chúng, bao gồm ba người từng đoạt giải Abel: Jean-Pierre Serre, John Tate và Pierre Deligne. Có vẻ như làm việc trên các biểu diễn Galois là một điều kiện tiên quyết để một nhà lý thuyết số đại số giành được giải Abel!

Như các phương trình Diophantine, các biểu diễn Galois cũng dẫn đến các hàm zeta tương tự. Cụ thể hơn, nhóm $G_{\mathbb{Q},S}$ chứa, với mỗi số nguyên tố $p \notin S$, một phần tử đặc biệt gọi là phần tử Frobenius tại $p$, kí hiệu bởi $\sigma_p$. Nói một cách chặt chẽ hơn, phần tử này là chỉ được định nghĩa chính xác tới một phép liên hợp trong $G_{\mathbb{Q},S}$ nhưng thế là đủ để làm dãy số học
\begin{equation}
    N_{p^r}(\varrho) \coloneqq \textnormal{Trace}(\varrho(\sigma_p^r))
\end{equation} xác định tốt. Hàm zeta $\zeta(\varrho;s)$ gói thông tin từ dãy này theo cách giống hệt như trong định nghĩa của $\zeta(\mathcal{X};s)$.

Ví dụ, nếu $\mathcal{X}$ được gắn với một đa thức $P$ bậc $d$ theo một biến, tác động của $G_{\mathbb{Q},S}$ trên các nghiệm của $P$ dẫn đến một biểu diễn hoán vị $d$ chiều
\begin{equation}
    \varrho_{\mathcal{X}} \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_d(\mathbb{Q})
\end{equation} và $\zeta(\mathcal{X},s) = \zeta(\varrho_X,s)$.

Mối liên hệ này đi sâu hơn nhiều, mở rộng đến các phương trình Diophantine trong $n+1$ biến đối với $n \geq 0$. Tầm nhìn vĩ đại ở cội nguồn của các giả thuyết Weil là việc hàm zeta $\zeta(\mathcal{X};s)$ có thể được biểu diễn thông qua các hàm zeta của các biểu diễn Galois xuất hiện trong đối đồng điều étale của $\mathcal{X}$. Đây là một lý thuyết đồng điều với hệ số $\ell$-adic, liên kết với $\mathcal{X}$ một họ
\begin{equation*}
    \left \{ H^i_{et}(\mathcal{X}_{/ \overline{\mathbb{Q}}}, \mathbb{Q}_{\ell}) \right \}_{0 \leq i \leq 2n}
\end{equation*} các $\mathbb{Q}_{\ell}$ không gian vector hữu hạn chiều được trang bị một tác động tuyến tính của $G_{\mathbb{Q},S}$. (Ở đây, $S$ là tập các số nguyên tố $q$ bao gồm $\ell$ và các số nguyên tố mà phương trình của $\mathcal{X}$ trở nên suy biến sau khi được rút gọn modulo $q$.) Các biểu diễn này tổng quát hoá mở rộng $\varrho_{\mathcal{X}}$ trong $(43)$, trong chừng mực rằng cái sau được thực hiện bằng tác động của $G_{\mathbb{Q},S}$ trên $H^0_{et}(\mathcal{X}_{/\overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Q}_{\ell})$ sau khi mở rộng hệ số từ $\mathbb{Q}$ lên $\mathbb{Q}_{\ell}$.

Định lý

    Nếu $\mathcal{X}$ là một phương trình Diophantine có rút gọn tốt bên ngoài $S$, tồn tại các biểu diễn Galois $\varrho_1$ và $\varrho_2$ của $G_{\mathbb{Q},S}$ sao cho
    \begin{equation}
        \zeta(\mathcal{X};s) = \zeta(\varrho_1;s)/\zeta(\varrho_2;s).
    \end{equation}

Các biểu diễn $\varrho_1$ và $\varrho_2$ xuất hiện trong $\oplus H^i_{et}(\mathcal{X}_{/ \overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Q}_{\ell})$, trong đó tổng trực tiếp lần lượt chạy trên các giá trị lẻ và chẵn của $0 \leq i \leq 2n$ cho $\varrho_1$ và $\varrho_2$. Chính tắc hơn, luôn có các biểu diễn bất khả quy $\varrho_1,...,\varrho_t$ của $G_{\mathbb{Q},S}$ và các số nguyên $d_1,...,d_t$ sao cho
\begin{equation}
    \zeta(\mathcal{X};s) = \prod_{i=1}^t\zeta(\varrho_i;s)^{d_i},
\end{equation} xuất phát từ các phân rã (phân giản đơn của) của $H^i_{et}(\mathcal{X}_{/ \overline{\mathbb{Q}}},\mathbb{Q}_{\ell})$ thành một tổng của các biểu diễn bất khả quy. Các $\zeta(\varrho_i;s)$ có thể được xem như các "thành phần nguyên tử" của $\zeta(\mathcal{X};s)$, và tiết lộ nhiều “cấu trúc ẩn” trong phương trình nền. Phân rã của $\zeta(\mathcal{X};s)$ thành một tích của các $\zeta(\varrho_i;s)$ khác nhau không khác gì sự phân tích một hàm sóng thành các chuyển động điều hoà đơn của nó.

Một biểu diễn Galois được gọi là modular nếu hàm zeta của nó có thể biểu diễn theo các chuỗi sinh được gắn với các dạng modular và các biểu diễn tự đẳng cấu, và được gọi là hình học nếu nó được sinh ra từ một nhóm đối đồng điều \'etale của một phương trình Diphantine như trên. "Giả thuyết chính của chương trình Langlands" bây giờ có thể được sửa thành như sau:

 

Giả thuyết. Tất cả các biểu diễn Galois hình học của $G_{\mathbb{Q},S}$ là modular.

 

Cho một biểu diễn Galois
\begin{equation}
    \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}_{\ell})
\end{equation} với hệ số $\ell$-adic, ta có thể xét biểu diễn mod $\ell$ tương ứng
\begin{equation}
    \overline{\varrho} \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_{\ell}).
\end{equation} Việc chuyển từ $\varrho$ sang $\overline{\varrho}$ tương ứng với việc thay thế các đại lượng $N_{p^r}(\varrho) \in \mathbb{Z}_{\ell}$ với các phép rút gọn mod $\ell$ của chúng, khi $p^r$ chạy trên tất cả các luỹ thừa nguyên tố. Một phép chuyển như vậy có vẻ khá gượng ép đối với các dãy $N_{p^r}$ - tại sao lại nghiên cứu số lượng các nghiệm của một phương trình Diophantine trên các trường hữu hạn khác nhau, lấy theo modulo $\ell$? - nếu người ta không biết trước rằng các phép đếm này phát sinh từ các biểu diễn Galois $\ell$-adic với hệ số trong $\mathbb{Z}_{\ell}$. Có một khái niệm tương ứng cho việc $\overline{\varrho}$ là modular có nghĩa là như thế nào, cụ thể là, khi các dữ liệu $N_{p^r}(\overline{\varrho})$  đồng nhất, nói một cách rất lỏng lẻo, với phép rút gọn mod $\ell$ của các dữ liệu tương tự sinh ra từ một biểu diễn tự đẳng cấu. Giờ chúng ta có thể phát biểu định lý nâng modular nổi tiếng của Wiles, nằm ở trung tâm chiến lược của ông ấy:

Định lý

    Gọi
    \begin{equation}
       \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}_{\ell})
    \end{equation} là một biểu diễn Galois hình học bất khả quy thoả mãn một số điều kiện kĩ thuật (bao gồm, phần lớn, hạn chế của $\varrho$ xuống nhóm con $G_{\mathbb{Q}_{\ell}}$ của $G_{\mathbb{Q},S}$). Nếu $\overline{\varrho}$ là modular thì $\varrho$ cũng vậy.

Kết quả tuyệt vời này hoàn toàn mới mẻ vào thời điểm đó: chưa từng có điều gì tương tự được chứng minh trước đây! Kể từ đó, các “định lý nâng modular” đã phát triển mạnh mẽ, và việc nghiên cứu chúng trong các bối cảnh ngày càng tổng quát và tinh vi hơn đã tạo ra một ngành nghiên cứu riêng, đồng thời dẫn đến hàng loạt tiến bộ cơ bản trong chương trình Langlands.

Trước tiên, hãy giải thích cách Wiles tự mình vận dụng định lý nâng modular ban đầu của ông để chứng minh giả thuyết Shimura-Taniyama-Weil cho các đường cong elliptic bán ổn định. Cho trước một đường cong elliptic như vậy, xét các nhóm
\begin{equation}
    E[3^n] \coloneqq \left \{P \in E(\overline{\mathbb{Q}}): 3^n P = 0 \right \} \ \ \ \ \text{và} \ \ \ \ T_3(E) \coloneqq  \varprojlim E[3^n],
\end{equation} giới hạn ngược được lấy theo phép nhân bởi $3$. Các nhóm $E[3^n]$ và $T_3(E)$ lần lượt là các module tự do với hạng $2$ trên $(\mathbb{Z}/3^n\mathbb{Z})$ và $\mathbb{Z}_3$ và được trang bị các tác động tuyến tính liên tục của $G_{\mathbb{Q},S}$, với $S$ là tập các số nguyên tố chứa $3$ và các số nguyên tố là ước của conductor của $E$. Ta thu được các biểu diễn Galois liên kết:
\begin{equation}
    \begin{split}
        \overline{\varrho}_{E,3} \colon G_{\mathbb{Q},S} & \longrightarrow \operatorname{Aut}(E[3]) \simeq \mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_3) \\
        \varrho_{E,3} \colon G_{\mathbb{Q},S} & \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{Z}_3).
    \end{split}
\end{equation} Định lý của Langlands và Tunnell về tính modular của phương trình bậc bốn tổng quát dẫn đến kết luận rằng $\overline{\varrho}_{E,3}$ là modular. Điều này dựa trên hoàn cảnh hạnh phúc rằng
\begin{equation}
    \mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_3)/\left <\pm 1 \right > \simeq S_4
\end{equation} và, do đó, rằng $E[3]$ về bản chất có cùng nhóm đối xứng với phương trình bậc bốn tổng quát. Đẳng cấu trong $(51)$ có thể thu được bằng cách xét tác động của $\mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_3)$ lên tập $\left \{0,1,2,\infty \right \}$ gồm các điểm trên đường thẳng xạ ảnh trên $\mathbb{F}_3$.

Nếu $E$ là bán ổn định, Wiles có thể kiểm tra rằng cả $\varrho_{E,3}$ và $\overline{\varrho}_{E,3}$ thoả mãn điều kiện cần thiết để áp dụng định lý nâng modular, ít nhất là khi $\overline{\varrho}_{E,3}$ bất khả quy. Khi đó ta suy ra rằng $\varrho_{E,3}$ là modular và do đó $E$ cũng vậy, do $\zeta(E;s)$ và $\zeta(\varrho_{E,3};s)$ là như nhau.

Hãy lưu ý vai trò then chốt của kết quả Langlands-Tunnell trong chiến lược trên. Đây là một minh chứng đầy ấn tượng về sự thống nhất và tính liên tục lịch sử của toán học: việc giải phương trình bậc bốn tổng quát bằng căn, một trong những kỳ công vĩ đại của các nhà đại số học thời Phục hưng Ý, chính là yếu tố đã cho phép Langlands, Tunnell và Wiles chứng minh các kết quả về tính modular của họ hơn năm thế kỷ sau đó.

Sau khi đã thiết lập tính modular của tất cả các đường cong elliptic $E$ mà $\overline{\varrho}_{E,3}$ bất khả quy, Wiles xử lý các đường cong khác bằng cách áp dụng định lý nâng modular của mình cho số nguyên tố $\ell=5$ thay vì $\ell = 3$. Biểu diễn Galois $\overline{\varrho}_{E,3}$ luôn bất khả quy trong bối cảnh này vì không đường cong elliptic nào trên $\mathbb{Q}$ có thể có một nhóm con hữu tỷ với bậc $15$. Tuy nhiên, thoạt nhìn thì cách tiếp cận từ việc khai thác $\ell = 5$ dường như vô vọng vì ta không biết trước rằng biểu diễn Galois $E[5]$ có là modular không, vì lý do tương tự như phương trình bậc năm tổng quát
không thể giải được bằng căn thức. (thật vậy, nhóm đối xứng $\mathbf{SL}_2(\mathbb{F}_5)$ là một phủ bậc hai của nhóm thay phiên $A_5$ trên $5$ kí tự và do đó liên quan mật thiết tới nhóm đối xứng cơ sở của phương trình bậc năm tổng quát.) Để thu được tính modular của $E[5]$, Wiles xây dựng một đường cong elliptic bán ổn định phụ $E'$ thoả mãn
\begin{equation}
    \overline{\varrho}_{E',5} = \overline{\varrho}_{E,5}, \ \ \ \ \overline{\varrho}_{E',3} \ \text{bất khả quy}.
\end{equation} Lập luận trong khổ trước kéo theo việc $E'$ là modular, do đó $E'[5] = E[5]$ cũng modular, đặt $E$ trong phạm vi tấn công của định lý nâng modular với $\ell = 5$. Đoạn kết đẹp trong chứng minh của Wiles, được biết đến với tên gọi “chiến lược hoán đổi $3-5$”, ban đầu có thể được xem như một mẹo ứng biến. Tuy nhiên, kể từ đó, lập luận hoán đổi số nguyên tố này đã trở thành một phần vững chắc trong lĩnh vực và nhiều biến thể của nó đã được khai thác để đạt được những kết quả ngoạn mục trong việc chứng minh các tính modular mới.

Định lý nâng modular của Wiles tiết lộ rằng “tính modular có tính lây lan” và thường có thể được truyền từ biểu diễn Galois $\ell$-adic sang dạng rút gọn mod $\ell$ của nó. Chính nguyên lý đơn giản này đã giải thích tác động to lớn của định lý nâng modular và các biến thể đã được chứng minh kể từ đó đối với lĩnh vực này.

Thật vậy, tính modular của các đường cong elliptic chỉ là ứng dụng ngoạn mục đầu tiên trong một chuỗi các kết quả mang tính đột phá dựa trên ý tưởng mà Wiles đã giới thiệu. Kể từ năm $1994$, lĩnh vực này đã bước vào một kỷ nguyên hoàng kim thực sự, trong đó các vấn đề mở trước đây dường như hoàn toàn ngoài tầm với đã lần lượt được giải quyết.

Trong số những phát triển này, chúng ta hãy đề cập đến một số dưới đây:

• Giả thuyết Artin hai chiều, được đưa ra lần đầu năm $1923$, liên quan đến tính modular của tất cả các biểu diễn Galois lẻ, hai chiều \begin{equation} \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{C}).\end{equation} Ảnh của một biểu diễn như vậy modulo các ma trận vô hướng đẳng cấu với một trong các nhóm sau: một nhóm dihedral, $A_4$, $S_4$ hoặc $A_5$. Nhờ vào các công trình trước đây của Hecke, Langlands và Tunnell, chỉ còn trường hợp ảnh xạ ảnh $A_5$ là cần được giải quyết. Trong bối cảnh này, nhiều trường hợp mới của phỏng đoán Artin hai chiều đã được chứng minh vào khoảng năm $2003$ bởi Kevin Buzzard, Mark Dickinson, Nick Shepherd-Barron và Richard Taylor. Công trình của họ bắt đầu từ tính modular của tất cả các biểu diễn Galois mod $5$ phát sinh từ các đường cong elliptic.
• Giả thuyết Serre, được đưa ra lần đầu năm $1987$, khẳng định tính modular của tất cả các biểu diễn Galois hai chiều, lẻ \begin{equation} \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\mathbb{F}_{p^r}), \end{equation} với hệ số trong một trường hữu hạn. Kết quả này đã được Chandrasekhar Khare và Jean-Pierre Wintenberger chứng minh vào năm 2008, sử dụng một mở rộng rực rỡ của “kỹ thuật hoán đổi $3-5$”, trong đó hầu như tất cả các số nguyên tố đều được sử dụng. (Xem báo cáo của Khare trong Notices of the AMS được đề cập ở trên.) Kết quả này cũng kéo theo việc chứng minh phỏng đoán Artin hai chiều trong trường hợp tổng quát.
•  Giả thuyết Fontaine-Mazur hai chiều liên quan đến tính modular của các biểu diễn Galois $p$-adic hai chiều, lẻ \begin{equation} \varrho \colon G_{\mathbb{Q},S} \longrightarrow \mathbf{GL}_2(\overline{\mathbb{Q}}_p) \end{equation} thoả mãn một số điều kiện kĩ thuật nhất định ứng với hạn chế của chúng xuống nhóm Galois của $\mathbb{Q}_p$, đã được chứng minh trong rất nhiều trường hợp như một hệ quả của công trình của Pierre Colmez, Matthew Emerton và Mark Kisin.
• Giả thuyết Sato–Tate, liên quan đến phân bố của các số $N_p(E)$ đối với một đường cong elliptic $E$ khi số nguyên tố $p$ thay đổi, được biết là sẽ được chứng minh nếu tính modular của tất cả các biểu diễn Galois của lũy thừa đối xứng gắn với $E$ được xác lập. Phần lớn phỏng đoán này đã được chứng minh vào khoảng năm $2006$ bởi Laurent Clozel, Michael Harris, Nick Shepherd-Barron và Richard Taylor.
• Người ta cũng có thể hiểu ý nghĩa của việc các phương trình Diophantine trên các trường số tổng quát hơn có tính modular. Tính modular của các đường cong elliptic trên tất cả các trường bậc hai thực đã được chứng minh rất gần đây bởi Nuno Freitas, Bao Le Hung và Samir Siksek. Họ đã kết hợp các định lý nâng modular ngày càng tổng quát và mạnh mẽ hơn hiện có với một nghiên cứu tỉ mỉ về các đường cong elliptic có thể, trên lý thuyết, nằm ngoài phạm vi áp dụng của các định lý nâng này.
• Một trong những phát triển ngoạn mục gần đây dựa trên các ý tưởng của Wiles là chứng minh, bởi Laurent Clozel và Jack Thorne, về tính modular của một số lũy thừa đối xứng của các biểu diễn Galois gắn với các dạng modular chỉnh hình. Công trình này được mô tả trong bài viết của Thorne đăng trên Notices of the AMS đã được đề cập trước đó.

Những kết quả này chỉ là một ví dụ về tác động biến đổi của các định lý nâng modular. Chương trình Langlands vẫn là một lĩnh vực sôi động, với nhiều bí ẩn hấp dẫn chưa được khám phá. Thật khó để dự đoán nơi những bước đột phá tiếp theo sẽ đến, nhưng chắc chắn chúng sẽ tiếp tục khai thác di sản phong phú từ chứng minh tuyệt vời của Andrew Wiles.

 

Tác giả: Henri Darmon.

Bài viết gốc: Andrew Wiles' Marvelous Proof.

Dịch bởi: Phạm Khoa Bằng.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 01-01-2025 - 22:02

[nonamebroy]

File đầy đủ các bạn có thể tải về phiên bản tiếng anh nhé

https://www.fshare.v...le/7DZJIOJE57CU

[ThichHocToan2025]

File đầy đủ các bạn có thể tải về phiên bản tiếng anh nhé

https://www.fshare.v...le/7DZJIOJE57CU

link bị hỏng rồi, admin có thể cho em xin lại không ạ?

[MHN]

link bị hỏng rồi, admin có thể cho em xin lại không ạ?

Andrew Wiles’s Marvelous Proof.pdf