Bất đẳng thức Cosi là một trong những bất đẳng thức quan trọng trong toán học, được áp dụng rộng rãi trong đại số, hình học và giải tích. Để chứng minh bất đẳng thức này, ngoài các phương pháp phổ biến như hình học vectơ, phương pháp chuẩn hóa, phương pháp tối ưu ...... Những cách tiếp cận đa dạng này không chỉ khẳng định tính đúng đắn mà còn làm sáng tỏ các khía cạnh ý nghĩa của bất đẳng thức. Bài viết này giới thiệu một cách chứng minh có thể bạn chưa biết
Giả sử ${a_1},{a_2},...,{a_n}$ là các số thực bất kì và ${b_1},{b_2},...,{b_n}$ là các số thực dương. Khi đó, ta luôn có:
\[\frac{a_1^2}{b_1^2} + \frac{a_2^2}{b_2^2} + … + \frac{a_n^2}{b_n^2} \ge \frac{(a_1 + a_2 + … + a_n)^2}{b_1 + b_2 + … + b_n}\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \[\frac{a_1^2}{b_1^2} = \frac{a_2^2}{b_2^2} = … = \frac{a_n^2}{b_n^2}\]
Chứng Minh
Theo chứng minh ở trên, n = 2 thì bất đẳng thức luôn đúng.
Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số. Chứng minh điều này như sau:
\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \]
\[ \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n} + n\sqrt [n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]
\[ \ge 2n\sqrt [2n] {x_{n + 1}x_{n + 2}…x_{2n}} \]
Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.
Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n-1 số như sau:
Theo bất đẳng thức cosi cho n số:
\[ x_1+ x_2 + …, + x_n \ge n\sqrt [n] {x_1x_2…x_n}\]
\[ x_n = \frac {s}{n – 1}, s =x_1 + x_2 + …, + x_n \]
=> \[ s \ge (n – 1) \sqrt [n – 1] {x_1x_2…x_{n – 1}} \]
Đây chính là bđt Cosi (n-1) số. Như vậy ta có dpcm.
Cách chứng minh này không chỉ làm rõ thêm ý nghĩa của bất đẳng thức mà còn giúp hiểu sâu hơn về mối liên hệ giữa các phương pháp toán học.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hsmath: 10-01-2025 - 19:12
