Chủ đề này có 1 trả lời

[nhathuyyp5c]

Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c+2=abc$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{a+1}{a^2+2}+\frac{b+1}{b^2+2}+\frac{c+1}{c^2+2}$$

[tomeps]

Giả thuyết đặc biệt cho phép chúng ta đổi biến:

$$a=\frac{x+y}{z},b=\frac{y+z}{x},c=\frac{z+x}{y}$$

Từ đó,

$$P=\sum\frac{x(x+y+z)}{(y+z)^2+2x^2}$$

Chuẩn hóa $x+y+z=3$, ta cần tìm GTLN của: $$P=\sum\frac{3x}{(y+z)^2+2x^2}=\sum\frac{x}{x^2-2x+3}$$

Ta lại chứng minh được:

$$\frac{x}{x^2-2x+3}-\frac{1}{2}x=\frac{-x(x-1)^2}{x^2-2x+3}\leq 0$$

Do đó $\frac{x}{x^2-2x+3} \leq \frac{1}{2}x$, và vì vậy:

$$P=\sum\frac{x}{x^2-2x+3}\leq \frac{1}{2}(x+y+z)=\frac{3}{2}.$$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z$.