Chủ đề này có 1 trả lời

[randompotato]

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p=a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố và $p-5$ chia hết cho $8$. Giả sử $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn $ax^{2}-by^{2}$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng hai số $x$ và $y$ chia hết cho $p$

[MHN]

Lời giải

Cho $a,b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $p=a^{2}+b^{2}$ là số nguyên tố và $p-5$ chia hết cho $8$. Giả sử $x,y$ là các số nguyên thỏa mãn $ax^{2}-by^{2}$ chia hết cho $p$. Chứng minh rằng hai số $x$ và $y$ chia hết cho $p$

(Rias Gremony) Đặt $P=8k+5$ , $k$ thuộc $N$

Ta có $(ax^{2})^{4k+2}-(by^{2})^{4k+2}$ chia hết cho $ax^{2}-by^{2}$

Suy ra $a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}$ chia hết cho $P$

Lại có $a^{4k+2}.x^{8k+4}-b^{4k+2}.y^{8k+4}=(a^{4k+2}+b^{4k+2}).x^{8k+4}-b^{4k+2}(x^{8k+4}+y^{8k+4})$

Mà $a^{4k+2}+b^{4k+2}=(a^{2})^{2k+1}+(b^{2})^{2k+1}$ chia hết cho $a^{2}+b^{2}=P$ và $b<P$

Do đó $x^{8k+4}+y^{8k+4}$ chia hết cho $P$ (1)

Trường hợp $1$ : Nếu có $1$ trong $2$ số $x,y$ chia hết cho $P$ thì từ (1) suy ra số còn lại cũng chia hết cho $P$

Trường hợp $2$ : Nếu không có số nào chia hết cho $P$

Thì theo định lý Fermat ta có :

$x^{8k+4}$ và $y^{8k+4}$ chia cho $P$ cùng dư $1$ nên

$x^{8k+4}+y^{8k+4}$ chia $P$ dư $2$ ( trái với (1))

Suy ra ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 10-01-2025 - 00:02