Chủ đề này có 5 trả lời

[randompotato]

Cho 2 số tự nhiên $y>x$ thỏa mãn $(2y-1)^{2}=(2y-x)(6y+x)$. Chứng minh $2y-x$ là số chính phương.

[MHN]

Cho 2 số tự nhiên $y>x$ thỏa mãn $(2y-1)^{2}=(2y-x)(6y+x)$. Chứng minh $2y-x$ là số chính phương.

Ta có; $(2y-1)^2$ là số chính phương lẻ $\Rightarrow x$ lẻ

Giả sử $(2y-x;6y+x)=d(d\in \mathbb{N};d$ lẻ$)$

$\Rightarrow \begin{cases}2y-x\vdots d\\ 6y+x\vdots d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}2y-x+6y+x\vdots d\\ 3(2y-x)-(6y+x)\vdots d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}8y\vdots d\Rightarrow y\vdots d\\ -4x\vdots d\Rightarrow x\vdots d\end{cases}$

GT $\Rightarrow (2y-1)^2\vdots d^2\Rightarrow 2y-1\vdots d;y\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\Leftrightarrow (2y-x;6y+x)=1$

Vậy $2y-x;6y+x$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 12-01-2025 - 17:00

[HOANGANHVU342011]

Ta có; $(2y-1)^2$ là số chính phương lẻ $\Rightarrow x$ lẻ

Giả sử $(2y-x;6y+x)=d(d\in \mathbb{N};d$ lẻ$)$

$\Rightarrow \begin{cases}2y-x\vdots d\\ 6y+x\vdots d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}2y-x+6y+x\vdots d\\ 3(2y-x)-(6y+x)\vdots d\end{cases}\Rightarrow \begin{cases}8y\vdots d\Rightarrow y\vdots d\\ -4x\vdots d\Rightarrow x\vdots d\end{cases}$

GT $\Rightarrow (2y-1)^2\vdots d\Rightarrow 2y-1\vdots;y\vdots d\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1\Leftrightarrow (2y-x;6y+x)=1$

Vậy $2y-x;6y+x$ là số chính phương.

Ta chưa chứng minh d là số nguyên tố thì bạn không thể nói $(2y-1)^2\vdots d\Rightarrow 2y-1\vdots d$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HOANGANHVU342011: 12-01-2025 - 16:10

[HOANGANHVU342011]

Ta có; $(2y-1)^2$ là số chính phương lẻ $\Rightarrow x$ lẻ

Giả sử $(2y-x;6y+x)=d(d\in \mathbb{N};d$ lẻ$)$

$\Rightarrow \begin{cases}2y-x\vdots d\\ 6y+x\vdots d\end{cases}\Rightarrow 2y-x+6y+x\vdots d\Rightarrow 8y\vdots d\Rightarrow y\vdots d$

Từ giả thiết $\Rightarrow (2y-1)^2\vdots d^2$

Do đó: $\begin{cases}2y-1\vdots d\\ y\vdots d\end{cases}$

Suy ra 1 chia hết cho d hay d=1 

Mặt khác (2y-x;6y+x)=d

Do đó (2y-x;6y+x)=1

Vậy $2y-x;6y+x$ là số chính phương.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HOANGANHVU342011: 12-01-2025 - 16:57

[MHN]

Ta chưa chứng minh d là số nguyên tố thì bạn không thể nói $(2y-1)^2\vdots d\Rightarrow 2y-1\vdots d$

Mình đánh thiếu $d^2$, FIXED, bài bạn giống y đúc bài mình(Như một khuôn đúc ra),  chỉ cần đợi mình sửa là được.

HOANGANHVU342011 Nếu không biết đánh $\LaTeX$ thì bạn có thể vào đây để đánh rồi copy sang:https://editor.codecogs.com/home

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MHN: 12-01-2025 - 22:27

[HOANGANHVU342011]

Mình đánh thiếu $d^2$, FIXED, bài bạn giống y đúc bài mình(Như một khuôn đúc ra),  chỉ cần đợi mình sửa là được.

tại mình không biết gõ nên mới copy bài bạn.SORRY