Chủ đề này có 1 trả lời

[randompotato]

Tìm $n\in\mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất để $\dfrac{(n+1)(4n+3)}{3}$ là số chính phương

[MHN]

Tìm $n\in\mathbb{N}^{*}$ nhỏ nhất để $\dfrac{(n+1)(4n+3)}{3}$ là số chính phương

Đặt $\frac{(n+1)(4n+1)}{3}=k^\Leftrightarrow (n+1)(4n+3)=3k^2$ ta có $(n+1;4n+3)=1$ và $4n+3$ không là số chính phương $\Rightarrow \begin{cases}n+1=a^2\\ 4n+3=3b^2\end{cases}(a;b\in \mathbb{N}$

$\Rightarrow 4a^2-3b^2=1\Leftrightarrow (2a-1)(2a+1)=3b^2$ với $(2n+1;2n-1)=1$

TH1: $\begin{cases}2a-1=3x^2\\ 2a+1=y^2\end{cases}\Rightarrow y^2:3$ dư $2$(Loại)

TH2: $\begin{cases}2a-1=x^2\\ 2a+1=3y^2\end{cases}\Rightarrow 3y^2-x^2=2$

Xét $x$ chẵn $\Rightarrow y$ chẵn$\Rightarrow 3y^2-x^2\vdots 4$ mà $2\not \vdots 4\Rightarrow$ (Loại)

Xét $x$ lẻ $\Rightarrow x\not \vdots 3;n+1=a^2;2a-1=x^2\Rightarrow n\min\Leftrightarrow a\min\Rightarrow x\min\Rightarrow x=5\Rightarrow a=13;n=168$

Thử lại thỏa mãn. Vậy $n\min=168$