Chủ đề này cũng là mục tiêu nghiên cứu chính của thầy mình gần 10 năm nay- tạm gọi là Ziegler's program cho polytope 4 chiều. Ông ấy bắt đầu từ năm 1996- tìm cách phân lớp tất cả các đa diện trong không gian 4 chiều thông qua việc biểu diễn bằng biểu đồ các f-vectors mình sẽ nói ở các bài dứơi đây. Đến nay công việc vẫn chưa hòan tất và có vẻ khó hòan tất, mặc dù thời hạn ông ấy tự đặt ra - là 2006 sắp đến rồi. 2006 là đủ 100 năm kể từ khi Steinitz đưa ra biểu đồ hệ thống tòan bộ các đa diện 3 chiều. Tài liệu và thông tin mới về các thành quả nghiên cứu cho đến nay, thầy mình đều đã đem trình bày ở ICM 2002 tại Trung Quốc, MSRI 2003, và cái PCMI 2004 vừa rồi. Các bạn có hứng tìm hiểu có thể lên arxiv.org để tìm hoặc vào thẳng website của thầy mình để load xuống, ở đây
------------
Giới thiệu chung:
1. Polytope là cái gì?
Polytope là tên gọi tổng quát của tất cả các đa diện lồi trong không gian n chiều, n -1. Ví dụ trong không gian 2 chiều thì các Polytope chính là các đa giác, trong không gian 3 chiều thì là các đa diện 3 chiều. Ngày nay khái niệm Polytope đựơc hiểu luôn thành convex polytope tức là các đa diện lồi. Trong tòan bộ chủ đề này tớ cũng chỉ nói đến các đa diện lồi. Định nghĩa cụ thể của một Polytope bất kỳ như sau:
a) Một Polytope P thuộc R^n = là một bao lồi (convex hull ) của một số hữu hạn các điểm trong không gian R^n. Tức là P = conv(S) = { ai.xi | ai = 1, ai 0 i, n 1 } với S R^(n.d). Cách định nghĩa này gọi là V-description, Polytope đựơc định nghĩa theo kiểu này đựơc gọi là V-Polytope.
Cách dưới đây là một cách định nghĩa khác cho P, gọi là H-description:
b) P = P(A,z) = { x R^n | Ax z } với A R^(n.m)
Giải nghĩa cho dễ hiểu thì thế này cách định nghĩa V-polytope nói rằng: một bao lồi 2 chiều của một tập hợp S là một hình đa giác, trong đó 1 số điểm của S là các đỉnh, số còn lại nằm bên trong đa giác tạo bởi các đỉnh kia. Các đỉnh này chính là các phần tử của bao lồi của S, viết là conv(S).
Còn cách định nghĩa H-Polytope nói rằng: một polytope 2 chiều là phần giao của ít nhất 3 nửa mặt phẳng sao cho hình được tạo ra là một đa giác. Ví dụ hình vuông đơn vị có trung điểm là tâm gốc tọa độ (0,0) là phần giao của 4 nửa mặt phẳng x -1, y -1, x 1, y 1.
2. Thế nào là một mặt (face) của một Polytope:
Định nghĩa tổng quát của Polytope dẫn đến một vấn đề đơn giản: với đa diện 3 chiều chúng ta gọi các thành phần của nó là : đỉnh, cạnh, mặt. Vậy với đa diện 4 chiều chúng ta gọi các thành phần của nó là đỉnh, cạnh, mặt, nhưng các thành phần 3 chiều của nó gọi là gì? Người ta gọi nó là các mặt 3 chiều, và tổng hợp lại cách gọi các thành phần của một đa diện n chiều như sau:
Các đỉnh thì gọi là mặt 0 chiều- hay 0-faces, các cạnh là mặt 1 chiều- tức là 1-faces..., cho tới (n-1)-faces. Để ký hiệu nó cho gọn, người ta gọi chúng lần lượt là các f0, f1, f2, ..., fn-1 (hay còn gọi là các f- vectors của một Polytope n chiều).
3. Hệ thức Euler cho đa diện 3 chiều: D - C + M = 2
trong đó D là số đỉnh, C là số cạnh, M là số mặt của đa diện 3 chiều. Hoặc nếu biểu diễn theo cách gọi tổng quát, chúng ta có : f0 - f1 + f2 = 2
Chúng ta ai cũng biết công thức Euler cho các đa diện 3 chiều ở trên. Leonhard Euler tìm ra công thức này vào năm 1750, nhưng chứng minh của ông ấy bị khiếm khuyết. Mãi cho đến năm 1794- Legendre mới đưa ra đựơc một chứng minh hòan chỉnh đầu tiên. Sau đó, nếu tớ không nhầm, thì Cauchy là người đưa ra chứng minh đựơc dùng phổ biến hiện nay- dùng Duality. Cho tới hiện nay, tớ đựơc biết có khỏang gần 20 chứng minh cho công thức này. Trong đó, chứng minh gây chóang nhất có lẽ là của William Thurston (The Guru of Geometry ). Các bạn muốn tìm hiểu kỹ có thể vào đây để nghiên cứu các cách chứng minh.
4. Hệ thức Euler-Poincare cho đa diện n chiều[quote]:http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_i là các mặt i-faces
Ví dụ:
- cho một đa diện bất kỳ trong không gian 4 chiều, chúng ta có hệ thức:
(hình lập phương 4 chiều chiếu xuống không gian 3 chiều sử dụng kỹ thuật biểu đồ Schlegel)
- cho một đa diện bất kỳ trong không gian 199.999.999 (đa diện một trăm chín chín triệu chín trăm chín mươi chín ngàn chín trăm chín mươi chín chiều ) chiều chúng ta có:
f0 - f1 + f2 - f3.. +/- .... + f199999998 = (zero oops two oops zero.. oops oops ..oops)= TWO = 2
Tức là tóm lại- kết quả của hiệu số tổng "sạch mặt chẵn" ( xóc đĩa đê ) trừ đi tổng của "sạch mặt lẻ" của một polytope luôn bằng 0 hoặc 2. Nếu polytope có số chiều lẻ, thì hiệu số trên bằng 0, nếu polytope có số chiều chẵn, thì hiệu số trên là 2.
5. Thế lý thuyết đa diện nhiều chiều đựơc việc quái gì?
Về mặt ứng dụng thực tiễn tớ không quan tâm lắm, ngày xưa đọc linh tinh thì biết một ít. Tớ không đảm bảo là tớ nhớ chính xác, nhưng cứ viết ra coi như tạo motivation cho các bạn thích tóan ứng dụng.
Việc nghiên cứu các bài tóan linear optimization - ngành tóan ứng dụng đặc biệt quan trọng trong kinh tế và kỹ thuật (người ta cho rằng đây là ngành tóan phát triển mạnh mẽ và quan trọng nhất trong thế kỷ 20)- đã dẫn đến việc người ta quan tâm đến Simplex algorithm của George Dantzig cũng như các polytopes. Vì các hệ bất phương trình của LP chẳng qua là các polytopes, hay nói ngược lại, các polytopes có thể biểu diễn bằng các bất phương trình này. Bài tóan traveling salesman với số lựơng thành phố là 10 chẳng hạn- tương ứng với một polytopes của không gian 5 chiều, và vì thế, người ta có thể nghiên cứu các polytopes 5chiều để tìm ra giải pháp tối ưu hơn cho vấn đề Traveling Salesman và nhiều bài tóan khác.
...
Về mặt "không" ứng dụng thực tiễn - thì hình học, nhất là các dạng đa diện luôn có một vẻ đẹp nhất định nào đó- mặc dù nhìn nó có vẻ "khô cứng, thô sơ, lạnh lùng, vô cảm và đơn điệu" v.v.v (phần dành cho các nhà văn, nhà báo). Ngày xưa Platon cũng là người mê tóan học, cụ thể là hình học. Trước cửa phòng ông ấy có câu thế này: "Ai không biết hình học, đừng bước vào!" Nhưng thời của Platon, người ta mới chỉ biết các đa diện 3 chiều là cùng, chứ không có cách nào nhìn thấy, hay tưởng tựợng đựơc gì nhiều về các đa diện nhiều chiều hơn. Ngày nay, có một số kỹ thuật cho phép chúng ta nhìn các hình nhiều hơn 3 chiều trong nền không gian 3 chiều- gọi tạm là pseudo-high-dimensition cũng được. Chúng ta đã có thể "nhìn" đựơc những hình 4 chiều- những thứ chỉ tồn tại trong hình học, trong tưởng tượng mà không tồn tại trong thế giới thực, và cả những polytopes mà thực ra không tồn tại cả trong hình học và cũng không thể tưởng tựơng chúng là các đa diện được!! Ví dụ như các Correlation Polytopes.
Nói chung những thứ này hấp dẫn đối với tớ hơn là các ứng dụng thực tiễn của lý thuyết đa diện.
(còn tiếp- chắc là dài)
---------------
-Chú ý: vì công thức gõ trong diễn đàn không cho phép hiển thị tổng từ 0 --> n-1, (-1) mũ i, v.v. cho nên tớ phải viết ở dạng như trên.
-Theo tớ được biết thì hệ thức trên đựơc Poincare đưa ra và đã xây dựng hẳn một kỹ thuật mới để chứng minh. Kỹ thuật này có lẽ không xa lạ gì với các bạn học Topology: Homology. Còn tớ mới chỉ học sơ qua giới thiệu về Topology nên tớ cũng chẳng hiểu chứng minh này lắm.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mathsbeginner: 12-03-2005 - 20:35