Chủ đề này có 1 trả lời

[Taro Chan]

Xét các số thực $a,b,c$ thay đổi. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P=\frac{a+b+c-2}{(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)}.$$

[tomeps]

Ta sẽ chứng minh $P\leq 1$, hay: $(a^2-a+1)(b^2-b+1)(c^2-c+1)\geq a+b+c-2.\ (1)$

 

Ta thấy: $64VT(1) = [(2a-1)^2+3][(2b-1)^2+3][(2c-1)^2+3].$

Đặt $x=2a-1,y=2b-1,z=2c-1$, ta được:

$\begin{align*} 64VT(1)&=(x^2+3)(y^2+3)(z^2+3)\\&=[(x^2+1)(1+y^2)+2(x^2+y^2)+8](z^2+3)\\&\geq 2[(x+y)^2+4](z^2+3)\\&=2[(x+y)^2 z^2 + 4 + 4z^2 + 3(x+y)^2 + 8]\\&\geq 2[4(x+y)z+4z^2+3(x+y)^2+8]\\&=\frac{2}{3}[12(x+y)z+12z^2+9(x+y)^2+24]\\&=\frac{2}{3}[16(x+y)z+8z^2+8(x+y)^2+(2z-x-y)^2+24]\\&\geq\frac{2}{3}[8(x+y+z)^2+24]\\&=\frac{16}{3}[(x+y+z)^2+9]-32\\&\geq 32(x+y+z-1)=64VP(1).\end{align*}$

 

Như vậy giá trị lớn nhất của $P$ là 1, đạt được khi và chỉ khi $a=b=c=1$

 

Đằng sau tách cà phê đó là 2 đêm mất ngủ...