Chủ đề này có 1 trả lời

[trantrungdoan]

 z6312345426449_a48c6dbb7fdadf033ace737f4a69d9af.jpg   43.38K   0 Số lần tải

[dat09]

 H85.png   72.73K   0 Số lần tải

(a) Vì $AD\parallel CE, AC\parallel DE$ và $CD$ là tiếp tuyến chung của $(O),(I)$ nên ta có:

$\angle DBC=180^{\circ}-\angle BDC-\angle BCD=180^{\circ}-\angle BAC-\angle BAD=180^{\circ}-\angle CAD=180^{\circ}-\angle CED$

Suy ra tứ giác $BCED$ nội tiếp được đường tròn. $\square$

(b) Gọi $M$ là giao điểm của $AB$ và $CD$. Dễ thấy $\triangle MBC\sim\triangle MCA$ và $\triangle MBD\sim\triangle MDA$ (g.g) nên $MC^2=MD^2=MA.MB$.

Suy ra $AB$ chia đôi $CD$. Mà $AE$ cũng chia đôi $CD$ do tứ giác $ACED$ là một hình bình hành, nên $A,B,E$ thẳng hàng.

Vì $d_{C/AE}=d_{D/AE}$ nên $\left[ABC\right]=\left[ABD\right]$. $\square$

(c) Ta thấy $\angle DAN=\angle DBN=\angle DEC=\angle DAC$ nên $AD$ là phân giác của $\angle CAN$. $\square$

(d) Gọi $J$ là tâm ngoại tiếp của tứ giác $BCED$, $BH$ là đường kính của $(J)$.

Do $\angle CJO=\angle CJB :2=\angle CEB$ và $\angle COJ=\angle COB:2=\angle CAB$ nên $\triangle OCJ\sim\triangle ACE$. Tương tự $\triangle IDJ\sim\triangle ADE$.

Từ đó \[R+r=\frac{R}{CA}.CA+\frac{r}{DA}.DA=\frac{OC}{CA}.CA+\frac{ID}{DA}.DA=\frac{JC}{CE}.CA+\frac{JD}{DE}.DA=\frac{BH}{2}\left(\frac{CA}{DA}+\frac{DA}{CA}\right)\ge\frac{BH}{2}2\sqrt{\frac{CA}{DA}.\frac{DA}{CA}}=BH\]

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $CA=DA$.

Giả sử $CA=DA$. Khi đó $\triangle CAD$ cân tại $A$, suy ra $AM\perp CD$ kéo theo $AB\parallel OC\parallel ID$ hay $OC,ID$ cùng vuông góc với $OI$, dẫn đến tứ giác $OCDI$ là một hình chữ nhật hay $R=OC=ID=r$ (mâu thuẫn).

Do đó $CA\ne DA$, vậy ta có $R+r>BH$.

Giả sử $BE=BH$. Khi đó $BE$ là đường kính của $(J)$. Vì $BE$ chia đôi dây $CD$ nên $BE$ là trung trực của $CD$ hay $CA=DA$ (mâu thuẫn). Suy ra $BE\ne BH$, mà $BH$ là đường kính của $(J)$ nên $BH>BE$.

Vậy $R+r>BH>BE$. $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dat09: 27-03-2025 - 18:48