Nhà toán học lý tưởng
P.J. David & R. Hersch
Copy từ diễn đàn cũ
Người dịch: leoteo
Chúng ta sẽ xây dựng một hình ảnh của "nhà toán học lý tưởng". Nói như vậy không có nghĩa là một nhà toán học hoàn hảo, nhà toán học không hề có khuyết điểm hay giới hạn. Đúng hơn là chúng ta sẽ mô tả một nhà toán học như mọi nhà toán học khác, như một người có thể miêu tả một con chó săn thuần chủng, hay một thầy tu điển hình của thế kỷ 13. Chúng ta sẽ cố gắng dựng nên một khuôn mẫu thuần khiết không tưởng, để diễn tả những khía cạnh nghịch lý và phức tạp của một nhà toán học. Nói riêng, chúng ta muốn diễn tả một cách rõ ràng sự tương phản của công việc thực tế và hoạt động của các nhà toán học với sự nhận thức của công việc của họ.
Công trình của nhà toán học lý tưởng chỉ có thể hiểu được bởi một nhóm những nhà chuyên môn, khoảng vài tá hay cùng lắm vài trăm người. Nhóm người này chỉ mới tồn tại cách đây vài thế kỷ, và hoàn toàn có khả năng là nó có thể trở thành tuyệt chủng trong vài thập kỷ tới. Mặc dù vậy, nhà toán học cho công trình của mình như một phần kết cấu của cuộc sống, chứa đựng chân lý và sẽ còn đúng mãi mãi, từ khi thời gian được sinh ra, và ngay cả ở những nơi xa xăm nhất trong thiên hà.
Anh ta chỉ tin vào sự chính xác tuyệt đối của những lời giải; anh ta tin rằng sự khác nhau giữa một lời giải đúng và sai là một sự khác biệt rõ ràng, không thể nhầm lẫn được. Anh ta không thể nghĩ được một lời kết tội nào tệ hơn là nói với một sinh viên: "Anh thậm chí không biết được một lời giải là gì". Mặc dù vậy, anh ta lại không thể đưa ra một lời giải thích nào hợp lý về cái gọi là chặt chẽ, hay điều cần thiết để làm một lời giải chính xác. Trong công trình của anh ta, dòng ngăn cách giữa một lời giải hoàn chỉnh và một lời giải không hoàn chỉnh là một điều gì đó rất mù mờ, và thường đầy tính tranh cãi.
Để nói về nhà toán học lý tưởng, chúng ta phải cho "ngành" anh ta đang nghiên cứu một cái tên. Ví dụ như hãy tạm gọi là "siêu vuông phi Riemann".
Anh ta được biết đến bởi chuyên ngành của mình, bởi bao nhiêu công trình của anh ta đã được đăng, và đặc biệt là anh ta dùng những kết quả của ai, và bởi những bài toán của anh ta theo trường phái nào.
Anh ta nghiên cứu những vật thể, mà sự tồn tại của nó không hề có nghi ngờ gì đối với những người đồng nghiệp. Nhưng nếu như có ai đó không phải một người trong ngành hỏi anh ta đang làm gì, anh ta sẽ không có khả năng diễn tả hay trình bày nó như thế nào. Thực sự là cần thiết phải trải qua thời kỳ học trong vài năm mới có thể hiểu được lý thuyết mà anh ta đang cống hiến cả đời mình cho. Chỉ đến lúc đó, một người mới sẵn sàng để nghe anh ta giải thích về công việc của anh ta. Nói một cách ngắn gọn, một người có thể được đưa cho một "định nghĩa" khó hiểu đến mức có thể đánh bại mọi sự cố gắng hiểu biết.
Đối tượng nghiên cứu của nhà toán học của chúng ta còn chưa được biết đến trước thế kỷ 20, và rất có khả năng, còn chưa được biết 30 năm trước. Ngày nay thì nó là sở thích lớn nhất của một vài tá (cùng lắm vài trăm) đồng nghiệp của anh ta. Anh ta và những người bạn của mình không hề nghi ngờ rằng siêu vuông phi Riemann thực sự tồn tại một cách chắn chắn và khách quan cũng như Đá của Gibraltar hay sao chổi Halley. Thực tế, sự tồn tại của siêu vuông phi Riemann là một trong những thành tựu lớn nhất của họ, trong khi đó thì sự tồn tại của Đá của Gibraltar là có thể, nhưng chưa được chứng minh một cách chặt chẽ.
#1
Đã gửi 29-12-2004 - 21:39
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
#2
Đã gửi 29-12-2004 - 21:40
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Anh ta chưa bao giờ tự hỏi từ "tồn tại" có nghĩa gì ở đây. Một người có thể cố gắng khám phá ý nghĩa của nó bằng việc nhìn anh ta làm việc và quan sát điều mà từ "tồn tại" ám chỉ.
Dù sao, với anh ta, siêu vuông phi Riemann tồn tại, và anh ta theo đuổi nó với một sự cống hiến đầy nhiệt huyết. Anh ta dành cả ngày trầm ngâm về nó. Cuộc đời của anh ta là thành công trên phương diện anh ta có thể khám phá những kết quả mới về nó.
Anh ta cảm thấy khó khăn khi phải thiết lập những cuộc đàm thoại có ý nghĩa với phần lớn những người mà chưa bao giờ nghe tới một siêu vuông phi Riemann. Điều đó gây ra nhiều cản trở cho anh ta; có hai người đồng nghiệp trong khoa của anh ta biết một chút về siêu vuông phi Riemann, nhưng một trong số họ đang trong thời gian nghỉ phép, và người còn lại thì lại quan tâm nhiều hơn đến bán vòng phi Ơle (Euler). Anh ta đi đến những hội thảo, và vào mùa hè đến thăm các bạn đồng nghiệp, để gặp những người nói chung tiếng nói với mình, những người có thể đánh giá và thưởng thức công trình của anh ta, và những người mà sự công nhận, sự ủng hộ và ngưỡng mộ của họ là những phần thưởng có ý nghĩa nhất mà anh ta hy vọng.
Tại các hội thảo, chủ đề chủ đạo luôn là "bài toán quyết định" (hay có lẽ "bài toán kiến thiết", hay "bài toán phân loại") cho siêu vuông phi Riemann. Bài toán này được phát biểu đầu tiên bởi giáo sư Vô Danh, cha đẻ của lý thuyết siêu vuông phi Riemann. Một điều quan trọng là giáo sư Vô Danh đã đề ra bài toán và đưa ra một phần lời giải, nhưng không may là không có ai, ngoại trừ giáo sư Vô Danh có thể hiểu được nó. Từ thời của ông, tất cả những nhà toán học xuất sắc nhất về siêu vuông phi Riemann đã nghiên cứu về bài toán, đạt được rất nhiều kết quả nhỏ. Do đó bài toán có một ý nghĩa rất to lớn.
Người anh hùng của chúng ta vẫn thường mơ thấy mình giải được nó. Anh ta đã hai lần thuyết phục mình khi đang đi dạo là anh ta đã làm ra, nhưng cả hai lần, một chỗ trống trong lập luận của anh ta đã được chỉ ra bởi một người mộ đạo của phi Riemann, và bài toán vẫn còn mở. Trong thời gian đó, anh ta vẫn tiếp tục tìm ra những kết quả hay và mới về siêu vuông phi Riemann. Với những chuyên gia đồng nghiệp, anh ta trao đổi những kết quả này bằng một cách rất vắn tắt. "Nếu ta dùng phương pháp tiếp tuyến cho tựa martingale trái, ta sẽ được một đánh giá tốt hơn bậc hai, do vậy sự hội tụ trong định lý Bergstein sẽ có bậc như trong xấp xỉ của định lý Steinberg".
Kiểu trình bày vắn tắt này không bao giờ có thể thấy trong những bài viết được đăng của anh ta. Ở đó anh ta chất đống những công thức trên những công thức. Ba trang liền đầy định nghĩa, theo đó là 7 mệnh đề và, cuối cùng, một định lý mà phát biểu của nó mất đến nửa trang, trong khi đó thì lời giải rút ngắn xuống chỉ còn "Áp dụng mệnh đề 1 đến 7 cho các định nghĩa A, B, ..., H".
Cách viết của anh ta là một quy ước không thể phá bỏ: để che giấu bất cứ dấu hiệu nào rằng tác giả hay người đọc là một con người. Nó tạo ra một ấn tượng là, ngay từ những định nghĩa đầu tiên, kết quả mong muốn sẽ được suy ra không có một sai lầm nào bởi những thủ tục máy móc thuần khiết. Trong thực tế, chưa có một chiếc máy tính nào được xây dựng mà có thể chấp nhận những định nghĩa của anh ta như dữ liệu đầu vào. Để đọc lời giải của anh ta, một người cần phải rất gần gũi với những suy nghĩ đó, với những lập luận và ví dụ chuẩn mực. Những người đọc (tất cả 12 người trong số họ) có thể giải mã sự trình bày chuẩn tắc, phát hiện ra một ý tưởng mới tiềm ẩn trong mệnh đề 4, bỏ qua tất cả những thủ tục và tính toán quen thuộc của mệnh đề 1, 2, 3, 5, 6, 7, và thấy tác giả đang làm gì và tại sao anh ta lại làm như vậy. Nhưng cho một người ngoại đạo, đó là những bản mã hóa không bao giờ cho lời giải đáp. Nếu (mong là không như vậy) tất cả những người siêu vuông phi Riemann mộ đạo chết đi, những bản ghi chép của người anh hùng của chúng ta sẽ trở thành khó dịch hơn cả của người Maya.
Dù sao, với anh ta, siêu vuông phi Riemann tồn tại, và anh ta theo đuổi nó với một sự cống hiến đầy nhiệt huyết. Anh ta dành cả ngày trầm ngâm về nó. Cuộc đời của anh ta là thành công trên phương diện anh ta có thể khám phá những kết quả mới về nó.
Anh ta cảm thấy khó khăn khi phải thiết lập những cuộc đàm thoại có ý nghĩa với phần lớn những người mà chưa bao giờ nghe tới một siêu vuông phi Riemann. Điều đó gây ra nhiều cản trở cho anh ta; có hai người đồng nghiệp trong khoa của anh ta biết một chút về siêu vuông phi Riemann, nhưng một trong số họ đang trong thời gian nghỉ phép, và người còn lại thì lại quan tâm nhiều hơn đến bán vòng phi Ơle (Euler). Anh ta đi đến những hội thảo, và vào mùa hè đến thăm các bạn đồng nghiệp, để gặp những người nói chung tiếng nói với mình, những người có thể đánh giá và thưởng thức công trình của anh ta, và những người mà sự công nhận, sự ủng hộ và ngưỡng mộ của họ là những phần thưởng có ý nghĩa nhất mà anh ta hy vọng.
Tại các hội thảo, chủ đề chủ đạo luôn là "bài toán quyết định" (hay có lẽ "bài toán kiến thiết", hay "bài toán phân loại") cho siêu vuông phi Riemann. Bài toán này được phát biểu đầu tiên bởi giáo sư Vô Danh, cha đẻ của lý thuyết siêu vuông phi Riemann. Một điều quan trọng là giáo sư Vô Danh đã đề ra bài toán và đưa ra một phần lời giải, nhưng không may là không có ai, ngoại trừ giáo sư Vô Danh có thể hiểu được nó. Từ thời của ông, tất cả những nhà toán học xuất sắc nhất về siêu vuông phi Riemann đã nghiên cứu về bài toán, đạt được rất nhiều kết quả nhỏ. Do đó bài toán có một ý nghĩa rất to lớn.
Người anh hùng của chúng ta vẫn thường mơ thấy mình giải được nó. Anh ta đã hai lần thuyết phục mình khi đang đi dạo là anh ta đã làm ra, nhưng cả hai lần, một chỗ trống trong lập luận của anh ta đã được chỉ ra bởi một người mộ đạo của phi Riemann, và bài toán vẫn còn mở. Trong thời gian đó, anh ta vẫn tiếp tục tìm ra những kết quả hay và mới về siêu vuông phi Riemann. Với những chuyên gia đồng nghiệp, anh ta trao đổi những kết quả này bằng một cách rất vắn tắt. "Nếu ta dùng phương pháp tiếp tuyến cho tựa martingale trái, ta sẽ được một đánh giá tốt hơn bậc hai, do vậy sự hội tụ trong định lý Bergstein sẽ có bậc như trong xấp xỉ của định lý Steinberg".
Kiểu trình bày vắn tắt này không bao giờ có thể thấy trong những bài viết được đăng của anh ta. Ở đó anh ta chất đống những công thức trên những công thức. Ba trang liền đầy định nghĩa, theo đó là 7 mệnh đề và, cuối cùng, một định lý mà phát biểu của nó mất đến nửa trang, trong khi đó thì lời giải rút ngắn xuống chỉ còn "Áp dụng mệnh đề 1 đến 7 cho các định nghĩa A, B, ..., H".
Cách viết của anh ta là một quy ước không thể phá bỏ: để che giấu bất cứ dấu hiệu nào rằng tác giả hay người đọc là một con người. Nó tạo ra một ấn tượng là, ngay từ những định nghĩa đầu tiên, kết quả mong muốn sẽ được suy ra không có một sai lầm nào bởi những thủ tục máy móc thuần khiết. Trong thực tế, chưa có một chiếc máy tính nào được xây dựng mà có thể chấp nhận những định nghĩa của anh ta như dữ liệu đầu vào. Để đọc lời giải của anh ta, một người cần phải rất gần gũi với những suy nghĩ đó, với những lập luận và ví dụ chuẩn mực. Những người đọc (tất cả 12 người trong số họ) có thể giải mã sự trình bày chuẩn tắc, phát hiện ra một ý tưởng mới tiềm ẩn trong mệnh đề 4, bỏ qua tất cả những thủ tục và tính toán quen thuộc của mệnh đề 1, 2, 3, 5, 6, 7, và thấy tác giả đang làm gì và tại sao anh ta lại làm như vậy. Nhưng cho một người ngoại đạo, đó là những bản mã hóa không bao giờ cho lời giải đáp. Nếu (mong là không như vậy) tất cả những người siêu vuông phi Riemann mộ đạo chết đi, những bản ghi chép của người anh hùng của chúng ta sẽ trở thành khó dịch hơn cả của người Maya.
#3
Đã gửi 29-12-2004 - 21:40
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Khó khăn trong việc giao tiếp thể hiện rõ khi nhà toán học lý tưởng (I.M.) có cuộc viếng thăm từ một cán bộ phòng quan hệ cộng đồng (P.I.O.) của trường đại học.
P.I.O.: Tôi rất trân trọng ông đã dành chút thời gian nói chuyện với tôi. Toán luôn là môn học tệ nhất của tôi ở trường.
I.M.: Không có gì. Ông cũng có công việc của mình.
P.I.O.: Tôi được giao nhiệm vụ viết một bản báo cáo về việc xin gia hạn trợ cấp tài chính cho ông. Bình thường thì sẽ chỉ cần một dòng thôi: "Giáo sư X đã nhận một trợ cấp Y đô la để tiếp tục nghiên cứu của mình trong bài toán siêu vuông phi Riemann". Nhưng tôi nghĩ nó có thể sẽ là một thử thách khá hay cho tôi để thử và cho người đọc thấy rõ hơn về những gì mà công việc của ông liên quan. Đầu tiên, siêu vuông là gì?
I.M.: Tôi rất ghét phải nói điều này, nhưng sự thực là, nếu tôi nói với ông nó là gì, ông sẽ nghĩ tôi đang cố tìm cách hạ thấp ông và làm ông cảm thấy ngu ngốc. Định nghĩa của nó một phần nào đó khá là chuyên môn, và nó không có ý nghĩa gì với đa số người.
P.I.O.: Liệu nó có phải là một cái gì đấy mà những người làm về kỹ thuật hay các nhà vật lý có thể biết?
I.M.: Không. Cũng có thể một vài nhà vật lý lý thuyết. Nhưng rất là ít.
P.I.O.: Ngay cả nếu như ông không thể cho tôi định nghĩa thực sự của nó, chả nhẽ ông không thể đưa ra vài ý tưởng về bản chất và mục đích của công việc của ông?
I.M.: Được rồi, tôi sẽ thử. Xét một hàm f khả vi liên tục trên một không gian độ đo, nhận giá trị trong một chùm phôi cùng với cấu trúc hội tụ của kiểu bão hòa. Trong trường hợp đơn giản nhất...
P.I.O.: Có lẽ tôi đã hỏi nhầm câu hỏi. Ông có thể cho tôi biết một vài ứng dụng của nghiên cứu của ông?
I.M.: Ứng dụng?
P.I.O.: Vâng, ứng dụng.
I.M.: Tôi có nghe nói là đã có một vài cố gắng dùng siêu vuông phi Riemann như mô hình cho các hạt cơ bản trong vật lý nguyên tử. Tôi không rõ là nó có tiến bộ nào không nữa.
P.I.O.: Gần đây có công trình nào mang tính đột phá trong ngành của ông không? Có kết quả nào thực sự hấp dẫn mà mọi người vẫn nói đến?
I.M.: Tất nhiên rồi, có bài viết của Steinberg-Bergstein. Đó là kết quả lớn nhất ít nhất trong 5 năm qua.
P.I.O.: Họ đã làm được gì?
I.M.: Tôi không thể giải thích cho ông được.
P.I.O.: Tôi hiểu. Ông có thấy là sự tài trợ cho nghiên cứu trong ngành của ông là hợp lý không?
I.M.: Hợp lý? Nó quá là nhỏ. Một trong số những người trẻ tuổi lỗi lạc nhất đang bị từ chối tài chính để nghiên cứu. Tôi chắc chắn rằng với nhiều trợ cấp hơn, chúng tôi có thể tạo ra nhiều bước tiến trong bài toán quyết định nhiều.
P.I.O.: Ông có thấy bằng cách nào đó công trình của ông có thể dẫn đến một cái gì đó có thể hiểu được đối với đa số công dân của đất nước này?
I.M.: Không.
P.I.O.: Thế những người làm kỹ thuật hay các nhà khoa học?
I.M.: Tôi nghi ngờ về điều đó.
P.I.O.: Trong số các nhà toán học lý thuyết, phần lớn sẽ quan tâm và quen thuộc với công trình của ông chứ?
I.M.: Không, chỉ một phần rất nhỏ thôi.
P.I.O.: Ông có muốn nói thêm gì về công việc của mình không?
I.M.: Chỉ một dòng như ông nói ở trên là đủ thôi.
P.I.O.: Ông không muốn công chúng cảm thông với công trình của ông và ủng hộ chúng à?
I.M.: Tất nhiên là có, nhưng không nếu như điều đó làm mất phẩm cách của tôi.
P.I.O.: Mất phẩm cách của ông?
I.M.: Dính đến những quan hệ cộng đồng như những vật làm cảnh, hay những điều tương tự như vậy.
P.I.O.: Tôi hiểu. Dù sao, cám ơn về thời gian quý báu của ông.
I.M.: Không có gì. Ông có việc của mình.
Ôi, một cán bộ phòng quan hệ cộng đồng. Chúng ta có thể trông đợi được gì hơn? Hãy xem xem nhà toán học lý tưởng của chúng ta sẽ thế nào khi một sinh viên đến gặp anh ta với một câu hỏi lạ.
P.I.O.: Tôi rất trân trọng ông đã dành chút thời gian nói chuyện với tôi. Toán luôn là môn học tệ nhất của tôi ở trường.
I.M.: Không có gì. Ông cũng có công việc của mình.
P.I.O.: Tôi được giao nhiệm vụ viết một bản báo cáo về việc xin gia hạn trợ cấp tài chính cho ông. Bình thường thì sẽ chỉ cần một dòng thôi: "Giáo sư X đã nhận một trợ cấp Y đô la để tiếp tục nghiên cứu của mình trong bài toán siêu vuông phi Riemann". Nhưng tôi nghĩ nó có thể sẽ là một thử thách khá hay cho tôi để thử và cho người đọc thấy rõ hơn về những gì mà công việc của ông liên quan. Đầu tiên, siêu vuông là gì?
I.M.: Tôi rất ghét phải nói điều này, nhưng sự thực là, nếu tôi nói với ông nó là gì, ông sẽ nghĩ tôi đang cố tìm cách hạ thấp ông và làm ông cảm thấy ngu ngốc. Định nghĩa của nó một phần nào đó khá là chuyên môn, và nó không có ý nghĩa gì với đa số người.
P.I.O.: Liệu nó có phải là một cái gì đấy mà những người làm về kỹ thuật hay các nhà vật lý có thể biết?
I.M.: Không. Cũng có thể một vài nhà vật lý lý thuyết. Nhưng rất là ít.
P.I.O.: Ngay cả nếu như ông không thể cho tôi định nghĩa thực sự của nó, chả nhẽ ông không thể đưa ra vài ý tưởng về bản chất và mục đích của công việc của ông?
I.M.: Được rồi, tôi sẽ thử. Xét một hàm f khả vi liên tục trên một không gian độ đo, nhận giá trị trong một chùm phôi cùng với cấu trúc hội tụ của kiểu bão hòa. Trong trường hợp đơn giản nhất...
P.I.O.: Có lẽ tôi đã hỏi nhầm câu hỏi. Ông có thể cho tôi biết một vài ứng dụng của nghiên cứu của ông?
I.M.: Ứng dụng?
P.I.O.: Vâng, ứng dụng.
I.M.: Tôi có nghe nói là đã có một vài cố gắng dùng siêu vuông phi Riemann như mô hình cho các hạt cơ bản trong vật lý nguyên tử. Tôi không rõ là nó có tiến bộ nào không nữa.
P.I.O.: Gần đây có công trình nào mang tính đột phá trong ngành của ông không? Có kết quả nào thực sự hấp dẫn mà mọi người vẫn nói đến?
I.M.: Tất nhiên rồi, có bài viết của Steinberg-Bergstein. Đó là kết quả lớn nhất ít nhất trong 5 năm qua.
P.I.O.: Họ đã làm được gì?
I.M.: Tôi không thể giải thích cho ông được.
P.I.O.: Tôi hiểu. Ông có thấy là sự tài trợ cho nghiên cứu trong ngành của ông là hợp lý không?
I.M.: Hợp lý? Nó quá là nhỏ. Một trong số những người trẻ tuổi lỗi lạc nhất đang bị từ chối tài chính để nghiên cứu. Tôi chắc chắn rằng với nhiều trợ cấp hơn, chúng tôi có thể tạo ra nhiều bước tiến trong bài toán quyết định nhiều.
P.I.O.: Ông có thấy bằng cách nào đó công trình của ông có thể dẫn đến một cái gì đó có thể hiểu được đối với đa số công dân của đất nước này?
I.M.: Không.
P.I.O.: Thế những người làm kỹ thuật hay các nhà khoa học?
I.M.: Tôi nghi ngờ về điều đó.
P.I.O.: Trong số các nhà toán học lý thuyết, phần lớn sẽ quan tâm và quen thuộc với công trình của ông chứ?
I.M.: Không, chỉ một phần rất nhỏ thôi.
P.I.O.: Ông có muốn nói thêm gì về công việc của mình không?
I.M.: Chỉ một dòng như ông nói ở trên là đủ thôi.
P.I.O.: Ông không muốn công chúng cảm thông với công trình của ông và ủng hộ chúng à?
I.M.: Tất nhiên là có, nhưng không nếu như điều đó làm mất phẩm cách của tôi.
P.I.O.: Mất phẩm cách của ông?
I.M.: Dính đến những quan hệ cộng đồng như những vật làm cảnh, hay những điều tương tự như vậy.
P.I.O.: Tôi hiểu. Dù sao, cám ơn về thời gian quý báu của ông.
I.M.: Không có gì. Ông có việc của mình.
Ôi, một cán bộ phòng quan hệ cộng đồng. Chúng ta có thể trông đợi được gì hơn? Hãy xem xem nhà toán học lý tưởng của chúng ta sẽ thế nào khi một sinh viên đến gặp anh ta với một câu hỏi lạ.
#4
Đã gửi 29-12-2004 - 21:41
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Sinh viên: Thưa giáo sư, thế nào là một lời giải toán học?
I.M.: Anh lại không biết à? Anh đang năm thứ mấy?
Sinh viên: Dạ, năm thứ ba tiến sỹ ạ.
I.M.: Thật không thể tin nổi! Một lời giải là cái mà anh vẫn thường thấy tôi làm trên bảng 3 tiết học mỗi tuần trong 3 năm rồi. Đó là lời giải.
Sinh viên: Xin lỗi giáo sư, em lẽ ra đã nên giải thích trước. Em học triết học, không phải toán. Em chưa bao giờ học một tiết học nào của giáo sư cả.
I.M.: Ồ! Được rồi, trong trường hợp đó, anh đã từng học toán chứ? Anh có biết định lý cơ bản của giải tích, hay định lý cơ bản của đại số?
Sinh viên: Em đã thấy những lập luận trong hình học, đại số và giải tích được gọi là lời giải. Nhưng điều mà em muốn hỏi giáo sư không phải những ví dụ của lời giải, mà là một định nghĩa của lời giải. Nếu không, làm sao em có thể nói được ví dụ nào là đúng được?
I.M.: Ồ, tất cả những điều này đã được giải thích bởi nhà logic Tarski, tôi nghĩ là như thế, và một số người khác, như Russell hay Peano. Dù sao thì, cái mà một người làm là, anh ta viết ra những tiên đề cho lý thuyết của mình theo một ngôn ngữ chuẩn tắc, cùng với một danh sách những ký hiệu và chữ cái cho trước. Sau đó anh ta viết giả thuyết của định lý của mình dùng cùng một loại ký hiệu. Rồi anh ta chứng minh rằng anh ta có thể chuyển giả thuyết của anh ta, từng bước từng bước một, dùng những quy luật của logic, cho đến khi đi đến kết luận cuối cùng. Đó là một lời giải.
Sinh viên: Thật vậy sao? Thật là kinh ngạc! Em đã học giải tích cơ bản và nâng cao, đại số cơ bản, và tôpô, và em chưa bao giờ thấy nó được làm như thế cả.
I.M.: Ồ, tất nhiên là không ai lại thực sự làm điều đó cả. Nó sẽ kéo dài mãi mãi! Anh chỉ cần chứng minh rằng anh có thể làm được nó, thế là đủ.
Sinh viên: Nhưng ngay cả như thế thì cũng không giống như những cái em thấy trong sách hay những cái em học. Như vậy những nhà toán học không thực sự đưa ra lời giải phải không ạ, suy cho cùng?
I.M.: Tất nhiên là chúng tôi có! Nếu như một định lý chưa được chứng minh, nó chẳng có ý nghĩa gì cả.
Sinh viên: Như vậy thế nào là một lời giải ạ? Nếu nó là cái được trang bị với đủ các ngôn ngữ chuẩn tắc và công thức biến đổi, chưa ai từng chứng minh một cái gì cả. Một người có cần phải biết tất cả những ngôn ngữ và logic chuẩn đấy trước khi anh ta có thể đưa ra một lời giải toán học không ạ?
I.M.: Tất nhiên là không rồi! Anh càng biết ít thì càng tốt. Tất cả những thứ đấy hoàn toàn trừu tượng vô nghĩa.
Sinh viên: Như vậy thực sự một lời giải là gì ạ?
I.M.: Được rồi, đó là một lập luận mà có thể thuyết phục được những người biết về nó.
Sinh viên: Một người biết về nó? Như vậy thì định nghĩa của một lời giải là chủ quan; nó phụ thuộc vào từng người riêng biệt. Trước khi em có thể quyết định một cái gì đó có phải là một lời giải hay không, em phải tìm xem những chuyên gia trong ngành là ai. Cái đó thì có nghĩa lý gì với việc chứng minh các bài toán ạ?
I.M.: Không, không. Không có gì là chủ quan ở đây cả. Tất cả mọi người đều biết thế nào là một lời giải. Chỉ cần đọc vài quyển sách, học vài khóa học từ một nhà toán học xuất sắc, và anh có thể biết được.
Sinh viên: Giáo sư chắc chắn thế ạ?
I.M.: Ồ, cũng có thể là anh không, nếu như anh không có chút năng khiếu gì cho nó cả. Điều đó cũng có thể xảy ra.
Sinh viên: Như vậy giáo sư quyết định thế nào là một lời giải, và nếu như em không học để quyết định cùng một kiểu như vậy, giáo sư sẽ cho rằng em không có năng khiếu ư?
I.M.: Nếu không phải là tôi thì là ai nữa?
Tiếp theo nhà toán học lý tuởng gặp một nhà triết học thực chứng.
I.M.: Anh lại không biết à? Anh đang năm thứ mấy?
Sinh viên: Dạ, năm thứ ba tiến sỹ ạ.
I.M.: Thật không thể tin nổi! Một lời giải là cái mà anh vẫn thường thấy tôi làm trên bảng 3 tiết học mỗi tuần trong 3 năm rồi. Đó là lời giải.
Sinh viên: Xin lỗi giáo sư, em lẽ ra đã nên giải thích trước. Em học triết học, không phải toán. Em chưa bao giờ học một tiết học nào của giáo sư cả.
I.M.: Ồ! Được rồi, trong trường hợp đó, anh đã từng học toán chứ? Anh có biết định lý cơ bản của giải tích, hay định lý cơ bản của đại số?
Sinh viên: Em đã thấy những lập luận trong hình học, đại số và giải tích được gọi là lời giải. Nhưng điều mà em muốn hỏi giáo sư không phải những ví dụ của lời giải, mà là một định nghĩa của lời giải. Nếu không, làm sao em có thể nói được ví dụ nào là đúng được?
I.M.: Ồ, tất cả những điều này đã được giải thích bởi nhà logic Tarski, tôi nghĩ là như thế, và một số người khác, như Russell hay Peano. Dù sao thì, cái mà một người làm là, anh ta viết ra những tiên đề cho lý thuyết của mình theo một ngôn ngữ chuẩn tắc, cùng với một danh sách những ký hiệu và chữ cái cho trước. Sau đó anh ta viết giả thuyết của định lý của mình dùng cùng một loại ký hiệu. Rồi anh ta chứng minh rằng anh ta có thể chuyển giả thuyết của anh ta, từng bước từng bước một, dùng những quy luật của logic, cho đến khi đi đến kết luận cuối cùng. Đó là một lời giải.
Sinh viên: Thật vậy sao? Thật là kinh ngạc! Em đã học giải tích cơ bản và nâng cao, đại số cơ bản, và tôpô, và em chưa bao giờ thấy nó được làm như thế cả.
I.M.: Ồ, tất nhiên là không ai lại thực sự làm điều đó cả. Nó sẽ kéo dài mãi mãi! Anh chỉ cần chứng minh rằng anh có thể làm được nó, thế là đủ.
Sinh viên: Nhưng ngay cả như thế thì cũng không giống như những cái em thấy trong sách hay những cái em học. Như vậy những nhà toán học không thực sự đưa ra lời giải phải không ạ, suy cho cùng?
I.M.: Tất nhiên là chúng tôi có! Nếu như một định lý chưa được chứng minh, nó chẳng có ý nghĩa gì cả.
Sinh viên: Như vậy thế nào là một lời giải ạ? Nếu nó là cái được trang bị với đủ các ngôn ngữ chuẩn tắc và công thức biến đổi, chưa ai từng chứng minh một cái gì cả. Một người có cần phải biết tất cả những ngôn ngữ và logic chuẩn đấy trước khi anh ta có thể đưa ra một lời giải toán học không ạ?
I.M.: Tất nhiên là không rồi! Anh càng biết ít thì càng tốt. Tất cả những thứ đấy hoàn toàn trừu tượng vô nghĩa.
Sinh viên: Như vậy thực sự một lời giải là gì ạ?
I.M.: Được rồi, đó là một lập luận mà có thể thuyết phục được những người biết về nó.
Sinh viên: Một người biết về nó? Như vậy thì định nghĩa của một lời giải là chủ quan; nó phụ thuộc vào từng người riêng biệt. Trước khi em có thể quyết định một cái gì đó có phải là một lời giải hay không, em phải tìm xem những chuyên gia trong ngành là ai. Cái đó thì có nghĩa lý gì với việc chứng minh các bài toán ạ?
I.M.: Không, không. Không có gì là chủ quan ở đây cả. Tất cả mọi người đều biết thế nào là một lời giải. Chỉ cần đọc vài quyển sách, học vài khóa học từ một nhà toán học xuất sắc, và anh có thể biết được.
Sinh viên: Giáo sư chắc chắn thế ạ?
I.M.: Ồ, cũng có thể là anh không, nếu như anh không có chút năng khiếu gì cho nó cả. Điều đó cũng có thể xảy ra.
Sinh viên: Như vậy giáo sư quyết định thế nào là một lời giải, và nếu như em không học để quyết định cùng một kiểu như vậy, giáo sư sẽ cho rằng em không có năng khiếu ư?
I.M.: Nếu không phải là tôi thì là ai nữa?
Tiếp theo nhà toán học lý tuởng gặp một nhà triết học thực chứng.
#5
Đã gửi 29-12-2004 - 21:41
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Nhà triết học thực chứng (P.P.)
P.P.: Cái học thuyết Plato này của ông là không thể tin nổi. Ngay cả những sinh viên đại học ngớ ngẩn nhất cũng đủ biết là không thể nhân các thực thể, vậy mà ở đây ông không chỉ có những số lượng rất nhỏ, ông còn có chúng ở vô hạn không đếm được! Và không ai biết về chúng ngoại trừ ông và bè bạn của mình! Ông đang nghĩ là ông lừa ai thế hả?
I.M.: Tôi không quan tâm đến triết học, tôi là một nhà toán học.
P.P.: Ông cũng tệ như cái nhân vật trong vở kịch của Moliere, cái tay mà không biết mình đang đọc văn xuôi! Ông đã phạm phải cái vô nghĩa của triết học khi nhắc đến "các lời giải chính tắc của sự tồn tại". Ông có biết là cái gì tồn tại thì phải được quan sát thấy, hay ít ra là có thể quan sát được?
I.M.: Này, tôi không có thời gian để tranh cãi về triết học với ông. Thẳng thắn mà nói, tôi nghi ngờ là những người như ông biết mình đang nói gì; nếu không thì ông đã có thể diễn giải nó theo kiểu mẫu nhất định để tôi có thể hiểu được và kiểm tra lập luận của ông. Như một người theo chủ nghĩa Plato, đó chỉ là một cách tôi nói cho ngắn gọn. Tôi không bao giờ nghĩ siêu vuông tồn tại. Khi tôi nói chúng tồn tại, tất cả những thứ tôi ám chỉ là, những tiên đề của siêu vuông có một khuôn mẫu. Nói một cách khác, không có một mâu thuẫn nào có thể được suy ra từ nó, và như vậy, theo nguyên tắc toán học thông thường, chúng ta có thể đưa ra tiên đề về sự tồn tại của chúng. Tất cả điều đó chẳng có ý nghĩa gì cả, nó chỉ như một trò chơi, như cờ vua, chúng ta chơi với những tiên đề và những quy luật suy diễn.
P.P.: Được thôi, tôi cũng không định làm khó anh. Tôi chắc nó sẽ giúp anh trong việc nghiên cứu, giúp anh tưởng tượng anh đang nói về một cái gì đó thực tế.
I.M.: Tôi không phải là một nhà triết học, triết học làm tôi chán ngán. Các ông chỉ tranh cãi, tranh cãi và chẳng bao giờ đi đến đâu cả. Việc của tôi là chứng minh các định lý, không phải là quan tâm đến chúng có ý nghĩa gì.
P.P.: Cái học thuyết Plato này của ông là không thể tin nổi. Ngay cả những sinh viên đại học ngớ ngẩn nhất cũng đủ biết là không thể nhân các thực thể, vậy mà ở đây ông không chỉ có những số lượng rất nhỏ, ông còn có chúng ở vô hạn không đếm được! Và không ai biết về chúng ngoại trừ ông và bè bạn của mình! Ông đang nghĩ là ông lừa ai thế hả?
I.M.: Tôi không quan tâm đến triết học, tôi là một nhà toán học.
P.P.: Ông cũng tệ như cái nhân vật trong vở kịch của Moliere, cái tay mà không biết mình đang đọc văn xuôi! Ông đã phạm phải cái vô nghĩa của triết học khi nhắc đến "các lời giải chính tắc của sự tồn tại". Ông có biết là cái gì tồn tại thì phải được quan sát thấy, hay ít ra là có thể quan sát được?
I.M.: Này, tôi không có thời gian để tranh cãi về triết học với ông. Thẳng thắn mà nói, tôi nghi ngờ là những người như ông biết mình đang nói gì; nếu không thì ông đã có thể diễn giải nó theo kiểu mẫu nhất định để tôi có thể hiểu được và kiểm tra lập luận của ông. Như một người theo chủ nghĩa Plato, đó chỉ là một cách tôi nói cho ngắn gọn. Tôi không bao giờ nghĩ siêu vuông tồn tại. Khi tôi nói chúng tồn tại, tất cả những thứ tôi ám chỉ là, những tiên đề của siêu vuông có một khuôn mẫu. Nói một cách khác, không có một mâu thuẫn nào có thể được suy ra từ nó, và như vậy, theo nguyên tắc toán học thông thường, chúng ta có thể đưa ra tiên đề về sự tồn tại của chúng. Tất cả điều đó chẳng có ý nghĩa gì cả, nó chỉ như một trò chơi, như cờ vua, chúng ta chơi với những tiên đề và những quy luật suy diễn.
P.P.: Được thôi, tôi cũng không định làm khó anh. Tôi chắc nó sẽ giúp anh trong việc nghiên cứu, giúp anh tưởng tượng anh đang nói về một cái gì đó thực tế.
I.M.: Tôi không phải là một nhà triết học, triết học làm tôi chán ngán. Các ông chỉ tranh cãi, tranh cãi và chẳng bao giờ đi đến đâu cả. Việc của tôi là chứng minh các định lý, không phải là quan tâm đến chúng có ý nghĩa gì.
#6
Đã gửi 29-12-2004 - 21:42
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Nhà toán học lý tưởng thấy sẵn sàng, nếu như trường hợp đó có thể xảy ra, để gặp một người thuộc một nền văn minh ngoài vũ trụ. Cố gắng đầu tiên của anh ta sẽ là viết ra (hay là truyền đạt) vài trăm chữ số đầu tiên trong biểu diễn nhị phân của số Pi. Anh ta nghĩ chắc chắn rằng bất kỳ một nền văn minh có khả năng giao tiếp trong thiên hà đều biết về toán học, và có thể nói với họ về những tinh thông của toán học ngoại trừ suy nghĩ và hành động của loài người. Hơn thế nữa, anh ta coi biểu diễn nhị phân và thực của số Pi hoàn toàn hiển nhiên là một phần trật tự bên trong của vũ trụ.
Anh ta cũng không cho chúng là một vật thể tự nhiên, nhưng sẽ khăng khăng rằng nó được khám phá ra, chứ không phải được phát minh. Sự khám phá của chúng, trong dạng như chúng ta biết bây giờ, là tất yếu nếu như một người có thể đi đủ xa để truyền đạt với những thiên hà (hay thậm chí với những hệ mặt trời khác).
Đoạn hội thoại sau đã từng xảy ra giữa nhà toán học lý tưởng và một nhà học giả cổ điển (S.C.)
S.C.: Các ông tin vào các con số và các đường cong của mình cũng như những sứ giả thiên chúa giáo tin vào những cây thánh giá vậy. Nếu một sứ giả đã lên mặt trăng từ năm 1500, anh ta có lẽ đã vẫy cây thánh giá của mình để cho những dân cư mặt trăng biết họ là thiên chúa giáo, và trông đợi họ sẽ có một biểu tượng của riêng họ đáp lại.
**Chú giải: Chi tiết về hành trình của Coronado tới Cibola, năm 1540:
... ở đó có khoảng 80 người cưỡi ngựa trong đội quân tiên phong, bên cạnh là 25 hay 30 đánh bộ và rất nhiều đồng minh da đỏ. Tiến ra từ trong hàng là tất cả những linh mục, vì không ai trong số họ muốn ở lại phía sau đoàn quân. Trách nhiệm của họ là nói chuyện với những người da đỏ thân thiện mà họ có thể gặp, và họ đều mang một cây thánh giá, một biểu tượng đã thành một ảnh hưởng lớn tới những dân bản địa trên đường họ đi qua. (H.E. Bolton, Coronado, University of New Mexico Press 1949).
Các ông thậm chí còn ngạo mạn hơn với khai triển số Pi của mình.
I.M.: Ngạo mạn? Nó đã được kiểm chứng đi và kiểm chứng lại đến 100000 chữ số!
S.C.: Tôi đã thấy ông đã chẳng biết nói gì thậm chí với cả một nhà toán học người Mỹ không biết cái trò chơi của ông với những siêu vuông. Ông cũng chẳng thèm bận tâm giao tiếp với một nhà vật lý lý thuyết; ông không thể đọc những công trình của ông ta hơn là ông ta có thể đọc được của ông. Những bài báo nghiên cứu trong ngành của ông trước năm 1910 đã chết như bản di chúc của Tutankhamen. Có cái lý do quỷ quái gì trong thế giới này khiến ông nghĩ rằng ông có thể giao tiếp với một người thuộc nền văn minh ngoài vũ trụ chứ?
I.M.: Nếu không phải tôi, thì là ai nữa?
S.C.: Bất cứ một người nào! Chả nhẽ sự sống và cái chết, tình yêu và lòng thù hận, niềm vui và sự đau khổ không phải là những thông điệp mang tính toàn cầu hơn là những công thức khô không khốc mà không ai ngoài ông và một vài trăm người kiểu loại như ông biết?
I.M.: Lý do mà những công thức của tôi hợp lý cho việc truyền đạt trong thiên hà cũng chính là lý do chúng không phù hợp với việc giao tiếp trên mặt đất. Nội dung của chúng không bị giới hạn trên quả đất. Nó độc lập với sự tồn tại của loài người.
S.C: Tôi không cho rằng những sứ giả thiên chúa giáo sẽ nói như vậy về cây thánh giá của mình, nhưng có thể là một cái gì khá gần như thế, và chắc chắn là cũng chẳng kém ngớ ngẩn và tự phụ gì.
Anh ta cũng không cho chúng là một vật thể tự nhiên, nhưng sẽ khăng khăng rằng nó được khám phá ra, chứ không phải được phát minh. Sự khám phá của chúng, trong dạng như chúng ta biết bây giờ, là tất yếu nếu như một người có thể đi đủ xa để truyền đạt với những thiên hà (hay thậm chí với những hệ mặt trời khác).
Đoạn hội thoại sau đã từng xảy ra giữa nhà toán học lý tưởng và một nhà học giả cổ điển (S.C.)
S.C.: Các ông tin vào các con số và các đường cong của mình cũng như những sứ giả thiên chúa giáo tin vào những cây thánh giá vậy. Nếu một sứ giả đã lên mặt trăng từ năm 1500, anh ta có lẽ đã vẫy cây thánh giá của mình để cho những dân cư mặt trăng biết họ là thiên chúa giáo, và trông đợi họ sẽ có một biểu tượng của riêng họ đáp lại.
**Chú giải: Chi tiết về hành trình của Coronado tới Cibola, năm 1540:
... ở đó có khoảng 80 người cưỡi ngựa trong đội quân tiên phong, bên cạnh là 25 hay 30 đánh bộ và rất nhiều đồng minh da đỏ. Tiến ra từ trong hàng là tất cả những linh mục, vì không ai trong số họ muốn ở lại phía sau đoàn quân. Trách nhiệm của họ là nói chuyện với những người da đỏ thân thiện mà họ có thể gặp, và họ đều mang một cây thánh giá, một biểu tượng đã thành một ảnh hưởng lớn tới những dân bản địa trên đường họ đi qua. (H.E. Bolton, Coronado, University of New Mexico Press 1949).
Các ông thậm chí còn ngạo mạn hơn với khai triển số Pi của mình.
I.M.: Ngạo mạn? Nó đã được kiểm chứng đi và kiểm chứng lại đến 100000 chữ số!
S.C.: Tôi đã thấy ông đã chẳng biết nói gì thậm chí với cả một nhà toán học người Mỹ không biết cái trò chơi của ông với những siêu vuông. Ông cũng chẳng thèm bận tâm giao tiếp với một nhà vật lý lý thuyết; ông không thể đọc những công trình của ông ta hơn là ông ta có thể đọc được của ông. Những bài báo nghiên cứu trong ngành của ông trước năm 1910 đã chết như bản di chúc của Tutankhamen. Có cái lý do quỷ quái gì trong thế giới này khiến ông nghĩ rằng ông có thể giao tiếp với một người thuộc nền văn minh ngoài vũ trụ chứ?
I.M.: Nếu không phải tôi, thì là ai nữa?
S.C.: Bất cứ một người nào! Chả nhẽ sự sống và cái chết, tình yêu và lòng thù hận, niềm vui và sự đau khổ không phải là những thông điệp mang tính toàn cầu hơn là những công thức khô không khốc mà không ai ngoài ông và một vài trăm người kiểu loại như ông biết?
I.M.: Lý do mà những công thức của tôi hợp lý cho việc truyền đạt trong thiên hà cũng chính là lý do chúng không phù hợp với việc giao tiếp trên mặt đất. Nội dung của chúng không bị giới hạn trên quả đất. Nó độc lập với sự tồn tại của loài người.
S.C: Tôi không cho rằng những sứ giả thiên chúa giáo sẽ nói như vậy về cây thánh giá của mình, nhưng có thể là một cái gì khá gần như thế, và chắc chắn là cũng chẳng kém ngớ ngẩn và tự phụ gì.
#7
Đã gửi 29-12-2004 - 21:43
NangLuong
-
- Hiệp sỹ
-
- 2488 Bài viết
Thành viên Diễn đàn Toán.
Bản phác thảo trên đây không hề có ý gì xấu; quả thực, nó như là về các tác giả của bài viết. Nhưng một thực tế quá rõ ràng và do vậy cũng rất dễ bị quên lãng là những công trình toán học, những thứ mà do thói quen, những nhà toán học vẫn thừa nhận, lại thường là những điều bí ẩn, những hiện tượng gần như không thể giải nghĩa được từ quan điểm của một người ngoại đạo. Trong trường hợp này, người ngoại đạo có thể là một người bình thường, một nhà học giả, hay thậm chí một nhà khoa học vẫn dùng toán trong công việc của mình.
Nhà toán học thường vẫn cho rằng quan điểm của mình là cái duy nhất cần được quan tâm. "Would we allow the same claim to any other esoteric fraternity? Or would a dispassionate description of its activities by an observant, informed outsider be more reliable than that of a participant who may be incapable of noticing, not to say questioning, the beliefs of his coterie?"
Những nhà toán học biết họ đang nghiên cứu những thực tế khách quan. Với một người ngoại đạo, họ dường như thu hẹp trong một cộng đồng bí ẩn với chính mình và một số ít nhóm bạn. Làm sao chúng ta, những nhà toán học, có thể chứng minh cho một người hay hoài nghi khác rằng những định lý của chúng ta có ý nghĩa cả ở một thế giới bên ngoài khác?
Nếu một người như vậy chấp nhận những quy tắc của chúng ta, và trải qua 2 hay 3 năm học cao học Toán, anh ta sẽ thấm nhuần cách nghĩ của chúng ta, và sẽ không còn bao giờ là một người ngoại đạo hay chỉ trích như anh ta đã từng nữa. Cũng như vậy, nếu một người phê bình Scientology "học" qua vài năm với những người có uy tín trong Scientology có thể sẽ chuyển thành một người sùng đạo.
Nếu một sinh viên không thể thấm nhuần cách nghĩ của chúng ta, tất nhiên chúng ta sẽ đánh hỏng anh ta. Nếu anh ta vượt qua được những trở ngại của khóa học và sau đó vẫn cho rằng lập luận của chúng ta là không rõ ràng hay vô lý, chúng ta sẽ đào thải anh ta như một người không phù hợp.
Tất nhiên, những điều này không ám chỉ chúng ta không đúng trong sự nhận thức của chính mình rằng chúng ta có một phương thức tin cậy để khám phá ra những chân lý khách quan. Nhưng chúng ta nên dừng lại để nhận ra rằng, bên ngoài chúng ta, hầu hết những cái chúng ta làm là không thể hiểu và nhận thức được. Không có một cách nào chúng ta có thể thuyết phục một người hoài nghi rằng những điều chúng ta đang nói tới có ý nghĩa, chưa nói gì đến việc chúng "tồn tại".
Nhà toán học thường vẫn cho rằng quan điểm của mình là cái duy nhất cần được quan tâm. "Would we allow the same claim to any other esoteric fraternity? Or would a dispassionate description of its activities by an observant, informed outsider be more reliable than that of a participant who may be incapable of noticing, not to say questioning, the beliefs of his coterie?"
Những nhà toán học biết họ đang nghiên cứu những thực tế khách quan. Với một người ngoại đạo, họ dường như thu hẹp trong một cộng đồng bí ẩn với chính mình và một số ít nhóm bạn. Làm sao chúng ta, những nhà toán học, có thể chứng minh cho một người hay hoài nghi khác rằng những định lý của chúng ta có ý nghĩa cả ở một thế giới bên ngoài khác?
Nếu một người như vậy chấp nhận những quy tắc của chúng ta, và trải qua 2 hay 3 năm học cao học Toán, anh ta sẽ thấm nhuần cách nghĩ của chúng ta, và sẽ không còn bao giờ là một người ngoại đạo hay chỉ trích như anh ta đã từng nữa. Cũng như vậy, nếu một người phê bình Scientology "học" qua vài năm với những người có uy tín trong Scientology có thể sẽ chuyển thành một người sùng đạo.
Nếu một sinh viên không thể thấm nhuần cách nghĩ của chúng ta, tất nhiên chúng ta sẽ đánh hỏng anh ta. Nếu anh ta vượt qua được những trở ngại của khóa học và sau đó vẫn cho rằng lập luận của chúng ta là không rõ ràng hay vô lý, chúng ta sẽ đào thải anh ta như một người không phù hợp.
Tất nhiên, những điều này không ám chỉ chúng ta không đúng trong sự nhận thức của chính mình rằng chúng ta có một phương thức tin cậy để khám phá ra những chân lý khách quan. Nhưng chúng ta nên dừng lại để nhận ra rằng, bên ngoài chúng ta, hầu hết những cái chúng ta làm là không thể hiểu và nhận thức được. Không có một cách nào chúng ta có thể thuyết phục một người hoài nghi rằng những điều chúng ta đang nói tới có ý nghĩa, chưa nói gì đến việc chúng "tồn tại".
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
