Chủ đề này có 5 trả lời

[MrMATH]

Bài toán: Cho 4 số dương $a,b,c,d$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}\leq {\sqrt[3]{(a+b+c)\cdot({b+c+d})}}$$

[tranhydong]

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{b}{c+b} + \frac{b+c}{d+b+c}+\frac{a}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
$\frac{c}{c+b} + \frac{d}{d+b+c}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq \sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(c+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tranhydong: 05-09-2012 - 11:37

[WhjteShadow]

1/ Giải : Áp dụng Cauchy, Ta có
$\frac{a}{a+b} + \frac{c}{a+b+c}+\frac{a+b}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{ac}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
$\frac{b}{a+b} + \frac{a+b}{a+b+c}+\frac{d}{a+b+d}\geq \sqrt[3]{\frac{bd}{(a+b+c)(a+b+d)}}$
Cộng 2 vế rồi nhân chéo lên ta có đpcm : Dấu ''='' xảy ra khi : $\frac{a}{b}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b}{d}$

Lơi giải rất đẹp nhưng hình như bạn nhầm đề bài và sai về bản chất của $AM-GM$
Lời giải chính xác như sau:
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$ ta có:
$$\frac{b}{b+c}+\frac{b+c}{b+c+d}+\frac{a}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{ab}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\frac{c}{b+c}+\frac{d}{b+c+d}+\frac{b+c}{a+b+c}\geq 3.\sqrt[3]{\frac{cd}{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
Cộng vế the0 vế 2 bất đẳng thức trên ta được:
$$3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}}{\sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt[3]{(a+b+c)(b+c+d)}\geq \sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{cd}$$
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow$ {\begin{matrix} \frac{b}{b+c}=\frac{b+c}{b+c+d}=\frac{a}{a+b+c}\\ \frac{c}{b+c}=\frac{d}{b+c+d}=\frac{b+c}{a+b+c} \end{matrix}
Giải hệ này ta được $a=2b=2c=d$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 05-09-2012 - 09:45

[diepviennhi]

Từ bài toán này ta có được bất đẳng thức liên quan: chứng minh tương tự $\sqrt[3]{(a+b+c)(a+b+d)}\geq \sqrt[3]{ac}+\sqrt[3]{bd}$

[tranhydong]

=)) chết , sáng vội quá gõ nhầm mod thông cảm .

[PSW]

Chấm điểm
WhjteShadow: 5 điểm

tranhydong: 5 điểm