Chủ đề này có 36 trả lời

[pavel_vnn]

I. Một số tình chất về số chính phương:
Một số chính phương(scp) có chữ số tận cùng chỉ có thể là các số 0,1,4,5,6,9. Một câu hỏi tự nhiên là : "Hai chữ số tận cùng của scp có thể là những số nào ?"
Gải sử p là scp, khi đó p có dạng:
${b}^2$. Mặt khác ${b}^2$ chỉ có thể là các số 00,01,014,09,16,25,36,49,64,81. Do đó ta có thể suy ra một số nhận xét sau xem như tính chất.
T/c 1: NẾu các chũa số hàng dơn vị của scp p là 6 thì chữ số hàng chục của p là một số lẻ.
T/c 2: NẾu các chũa số hàng đơn vị của scp p khác 6 thì chữ số hàng chục của p là một số chẵn.
T/C3: không có scp nào có tận cùng là 2 số lẻ.
T/c 4: Nếu hai chữ số ạnn cùng của scp là 2 số chắn thì chữ số hàng đơn vị của số đó chỉ có thể là 0 hoặc 4.
II. Các ví dụ minh họa
VD 1: Cho 5 scp có chữ số hàng chục đôi một khác nhau và chữ số hàng đơn vị là 6. CMR tổng tất cả các chữ số hàng chục của 5 số trên là một số chính phương.
VD1: Có không số chính phưong có 4 chữ số mà cả 4 chữ số đều là lẻ
VD2:Tìm số chín phương có 4 chữ số dạng abbb.
VD3: CMR không tồn tại số chính phương lớn hơn 10 mà các chữ số của nó đều giốmg nhau.
VD4: Tìm số chính phương có 4 chữ số tận cùng giông nhau khác 0.
Vd5: Vétt các chữ số tự nhiên tù 1 đến 100 liên tiếp nhau ta thu đứoc số 123...9898100. Hỏi số trên có phải là số chính phưưong không?
Vd6: Tìm số chính phưong có 4 chữ số đều alf số chẵn.
VD 7: Số A= 13^n .2+7^n .5+26 có phải là số chính phương không? n N
Vd8 Tìm n N sao cho số A = 26n+17 là một só chính phuơng .
Vd 9: Cóa hay không hai số ngyên dương khác nhau x, y sao cho xy+ xvà xy+ y đều là các số chính phương?
Hôm sau tôi post đáp án.
Nhờ các tiền bối bổ sung thêm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 09-05-2009 - 22:46

[fecma21]

thường thì các bài toán về số chính phương cũng khá nhiều bài sử dụng kiến thức đồng dư ; để cm một số không là chính phương ( ví dụ cái bài VD5 ) của pavel đấy

tính chất quen thuộc :

1, với mọi a $\in $Z thì $\ a^2+1 $không chia hết cho 3 ;

2, giữa 2 số chính phương không có số chính phương nào .

một số bài VD :

1, CMR $\ P = 3^{2m}+1 $không là số chính phương với mọi m nguyên dương

2, pt $\ x^2+y^2 = 3.z^2 $không có nghiệm nguyên dương ;

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:51

[hungnd]

[quote name='fecma21' date='August 17, 2006 09:29 am'] một số bài VD :

1, CMR $3^{2m}=3^{m.2}=(3^m)^2$là 1 số chính phương
Do vậy $1=(k-3^m)(k+3^m)$
$k-3^m=k+3^m=1$
Dễ thấy điều này vô ní nên ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:52

[hoang tuan anh]

[quote name='fecma21' date='August 17, 2006 09:29 am'] thường thì các bài toán về số chính phương cũng khá nhiều bài sử dụng kiến thức đồng dư ; để cm một số không là chính phương ( ví dụ cái bài VD5 ) của pavel đấy

tính chất quen thuộc :

1, với mọi a $x^{2}+y^{2}=3z^{2}$
nhận thấy x và y 0;1 (mod 3)
nên $x^{2}+y^{2}$ 3 x;y 3
nên VT 9
suy ra VP 9 suy ra z chia hết cho 3 ; suy ra VP 27
ta giản ước 9 ở 2 vế và lại tiếp tục thu đc 1 PT giống như pt ban đầu ; đây là phương pháp lùi vô hạn thì phải

còn cái t/c 2 nhầm rùi anh fecma ơi , hiz , cái t/c nghe zui tính we

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:53

[nhoc_con_buon]

còn cái t/c 2 nhầm rùi anh fecma ơi , hiz , cái t/c nghe zui tính we

Có gì nhầm đâu nhỉ?? Nó đúng đấy chứ em?

_________

Ừ,hungnd nhắc mới nhớ là 2 số chính phương liên tiếp thì ko có số chính phương nào,hì hì nhầm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhoc_con_buon: 18-08-2006 - 22:18

[hungnd]

2, giữa 2 số chính phương không có số chính phương nào .

Em nghĩ bác nói sai câu này rồi
Bác phải sửa thành liên tiếp chứ

[fecma21]

ừ anh đánh vội nên nhầm còn cái này nữa nè :

không tồn tại số chính phương nào có thể viết dưới dạng tổng 2 số chính phương và hiệu 2 số chính phương với các số # 0

nói cách # với số tự nhiên a thì không tồn tại đồng thời b,c,m,n #0 để

$\ a=b^2+c^2 = m^2-n^2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:53

[mathmath]

anh féc mà cho bt ứng dụng về tính chất anh vừa nói đi sáng nay ngồi nghiên cứu 1 lúc em làm mấy bài sau đây
1)giả thuyết hiếu chuối-mathmath
giải hpt với nghiệm nguyên
$(x+y+z)^n=a$
$x^n+y^n+z^n=b$
với n là số nguyên tố, a và b là tham số
2)giải hệ pt nghiệm nguyên
$x+y+z=3$
$x^3+y^3+z^3=9$
và
3)giải hệ pt nghiệm nguyên
$x+y+z=25$
$x^2+y^2+z^2=209$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:54

[mathmath]

à quên còn về lùi vô hạn có mấy bài dễ đây
4)giải hệ pt nghiệm nguyên
$x^2+y^2+z^2=2xyz$
5)cm rằng số 7 không viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:54

[hungnd]

Em giải bài 3 của anh mathmath nhé
Từ hệ phương trình đã cho ta được $xy+yz+xz=208$
Do đó $x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=x(x-y)+y(y-z)+z(z-x)=1$
Tới đây ta kiên nhẫn thử là ra

(*chú ý rằng $1=1.1.1=(-1).(-1).1$ )

Ngoài ra mấy bác giải bài này cho vui nhá:

CMR:Phương trình
$m>1$ và vế trái có n dấu căn;$x=m^2+m$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:55

[mathmath]

em ạ anh rất tiếc nhưng không phải bài nào cũng thử kiên nhẫn là ra đâu? bài này dùng đến cả kiến thức delta http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?b^2-4ac\geq\0cơ còn về bài của em anh chỉ có cách giải của sách ngượng lắm(tuy là bài đó anh làm được)thế nên o post

[hungnd]

Thế thì coi như em pó tay, em có biết sử dụng DELTA thế nào đâu (mà kiên nhẫn thử thì cũng ra chứ nhỉ??? )

[mathmath]

thật ra thì delta có gì to tát đâu
anh cho vd nhé(vì anh cũng dốt lắm)
cho pt
$x^2-(5y+y^2)x+6y+1=0$
thì delta là$(5y+y^2)^2-4(6y+1)$
anh gợi ý thế thôi à còn bài mũ 3 và giả thuyết hiếu chuối-mathmath đi (giả thuyết là bài toán mở mà cả tác giả cũng đưa ý tưởng trên giấy)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:55

[fecma21]

2)giải hệ pt nghiệm nguyên
$x+y+z=3$
$x^3+y^3+z^3=9$

bài 2 từ gt => $\ 3.(x+y).(y+z).(z+x)=(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=18 $ => $\ (z+x)(x+y)(y+z) = 6 $

đến đây thì dễ rồi vì trong 3 số tồn tại một số dương , giả sử x+y>0

=> x+y = {1,2,3,6}; => z={2,1,0,-3}; thử vào là xong

còn bài thì để hôm nào pót tiếp . à cái bài mũ n thì cũng thế thui , xét n>2 nhé ;

dễ CM $\ a-b = (x+y+z)^n-x^n-y^n-z^n \vdots (x+y)(y+z)(z+x) $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:56

[paaa]

ta có kết quả sau đây mọi ước của $a^{2}+ b^{2}$ đều ko có dạng 4k+3 vì thế số 7 không được viết được dưới dạng tổng bình phương của 2 số hữu tỉ

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:57

[fecma21]

với mọi số nguyên tố p =4.k+3 mà $ \dfrac{p}{a^2+b^2} $ thì $ \dfrac{p}{a}$ và $ \dfrac{p}{b}$ chứ không phải số $ M = a^2+b^2 $ thì không có ước trên nhé

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 16:59

[riddle???]

Ngoài ra mấy bác giải bài này cho vui nhá:

CMR:Phương trình

Với $m>1$ và vế trái có n dấu căn;$x=m^2+m$

Cái này của em thì mình thế m bằng chính $\sqrt{x- \sqrt{x- \sqrt{x-...- \sqrt{x-m} } } }$.Lặp đi lặp lại tới vô hạn.
Khi đó Phương trình có tầng căn vô hạn nên có thể viết thành:

$ \sqrt{x-m}=m $

Đến đây thì xong rồi!!!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 17:01

[dragon261]

Thế thì có nên áp dụng cho bài này không vậy ta:


CMR: A không là số chính phương
$A= 1000^{1000} + 1001^{1001} + 1002^{1002} +.....+ 1997^{1997}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi inhtoan: 11-05-2009 - 17:01

[ngtl]

Một bài về số chính phương: Có tồn tại hay không một số chính phương có tổng các chữ số là 2006.

[Sk8ter-boi]

Một bài về số chính phương: Có tồn tại hay không một số chính phương có tổng các chữ số là 2006.

chia 3 dư 2 rõ ràng ko là cp

mở rộng : luôn tồn tại scp có tổng các cs có dạng 9k và 3k+1 ; ko tồn tại scp dạng 3k+2