Số nguyên dương N đc gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn N đều là tổng của các ước dương phân biệt của N.
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.
DDTH
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.
#1
Đã gửi 03-03-2005 - 11:36
- chardhdmovies yêu thích
TÔI YÊU TOÁN VÀ TÔI MUỐN GIẾT NÓ
#2
Đã gửi 07-12-2014 - 10:12
Số nguyên dương N đc gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn N đều là tổng của các ước dương phân biệt của N.
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.
DDTH
Chả hiểu cái đề lắm . Hình như có vấn đề
Số tốt N bằng tổng các ước nguyên dương của N chứ nhỉ (khác N)
Ví dụ: $6=1+2+3$.
$28=1+2+4+7+14$
Từ đó, ta CM: $6.28=168$ là 1 số tốt.
Mà các ước của 168: $1;2;4;6;8;14;21;42;56;84;...$ Mà tổng các số này lớn hơn 168.
- chardhdmovies yêu thích
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
#3
Đã gửi 07-12-2014 - 11:36
Gọi hai số tốt là : $x;y (x \ge y)$
Xét số $xy$
Nhận thấy các số $n \in [1;x-1]$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các ước số của xy (do ước của xy bao gồm ước của x)
Các số $kx$ với $k \in [1;y-1]$
Ta biểu diễn k dưới các ước của $y$
Nhân tất cả các ước của y với x ta được biểu diễn $kx$
các ước đó của xy phân biệt do các ước của y phân biệt
Các số $\in [kx+1;(k+1)x-1]$ biểu diễn $kx + m (m \in [1;x-1])$ (kx viết dưới dạng các ước như trên)
Nhận thấy $kx$ đã biểu diễn được dưới các ước của xy lớn hơn x
m biểu diễn các ước của xy nhỏ hơn x nên các ước phân biệt
Nên xy cũng là số tốt $.$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DSH: 08-12-2014 - 19:06
- mnguyen99 và chardhdmovies thích
#4
Đã gửi 07-12-2014 - 17:03
Gọi hai số tốt là : $x;y (x \ge y)$
Xét số $xy$
Nhận thấy các số $n \in [1;x-1]$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các ước số của xy (do ước của xy bao gồm ước của x)
Các số $\in [kx+1;(k+1)x-1]$ biểu diễn $kx + m (m \in [1;x-1])$ nhận thấy $kx> mọi ước số x$ nên phân biệt $(k=1 ;2;...; y-1)$
Các số $kx$ chính là ước của xy $n \in [1;x-1]$
Nên xy cũng là số tốt $.$
Câu " Các số $kx$ chính là ước của $xy$ " cần phải xem lại !
Ví dụ : $x=6$ ; $y=4$ (đều là số tốt) ---> $xy=24$
Khi đó nếu $k=3$ thì $kx=18$ sao có thể là ước của $xy=24$ được ?
Mình xin đề xuất cách giải sau :
Có thể xem số $1$ cũng là số tốt (vì chẳng có số nguyên dương nào nhỏ hơn nó).
Gọi 2 số tốt đang xét là $A$ và $B$ ($A\leqslant B$).Xét các TH :
$1)$ Ít nhất $1$ trong $2$ số tốt đang xét bằng $1$ : Khi đó điều cần chứng minh là hiển nhiên.
$2)$ Cả hai số tốt $A$ và $B$ đều khác $1$ :
Ta cần chứng minh bổ đề sau :
Bổ đề : Xét số nguyên dương N khác 1 có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$
N là số tốt khi và chỉ khi $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.
Chứng minh :
+ Giả sử số tốt N có ước dương $u_{k+1}> 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$.Khi đó số $1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$ (là số nhỏ hơn $u_{k+1}$ nên cũng nhỏ hơn N) không thể biểu diễn thành tổng các ước dương phân biệt của N (mâu thuẫn với giả thiết N là số tốt).Vậy $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.
+ Đảo lại, giả sử số N có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ thỏa mãn
$u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.Ta cần cm $N$ là số tốt.
Dễ thấy rằng $u_{1}=1$ ; $u_{2}=2$
Và mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc các ước dương thuộc $\left \{ u_{1} ;u_{2}\right \}$
Giả sử mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{k}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{k} \right \}$
Vì $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$ nên suy ra mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{k+1}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{k+1} \right \}$
Theo nguyên lý quy nạp suy ra mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$ (là số lớn hơn $N$, vì $u_{n}=N$) đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{n} \right \}$, hay nói cách khác, $N$ là số tốt.
Cũng bằng quy nạp, ta cm được nếu số tốt $N$ có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ thì $\frac{u_{k+1}}{u_{k}}< 3$
Từ bổ đề trên suy ra với mọi số tốt khác 1, ta đều có $u_{1}=1$ ; $u_{2}=2$ (tức mọi số tốt khác 1 đều là số chẵn).
Gọi $C=A.B$ ; $D$ là ước chung lớn nhất của $A$ và $B$ ($A\leqslant B$) ; và gọi số ước dương của $A,B,C,D$ lần lượt là $a,b,c,d$.
Các ước dương của $C$ xếp theo thứ tự tăng dần là $v_{1},v_{2},...,v_{c}$ (trong các ước này có $A$ và $B$)
Dễ tính được rằng $B=v_{a+b-d}$ và $A=v_{c-a-b+d+1}$
Xét 2 TH :
$a)$ Nếu $A$ có dạng $2^{a-1}$ và $B$ có dạng $2^{b-1}$ ($A$ và $B$ phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ có thừa số $2$) :
Khi đó $C$ có dạng $2^{c-1}$ và có các ước là $1,2^1,2^2,...,2^{c-1}$
Các ước này thỏa mãn điều kiện $v_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}v_{i}$ nên theo bổ đề trên, $C$ là số tốt.
$b)$ Các TH khác :
Xét dãy gồm $a+b-d$ ước dương đầu tiên (từ $v_{1}=1$ đến $v_{a+b-d}=B$, tạm gọi là dãy $\alpha$)
Dãy $\alpha$ này chứa tất cả các ước dương của số tốt $B$ là $u_{1},u_{2},...,u_{b}$ (dãy $\beta$)
(ngoài ra có bổ sung các ước khác)
$B$ là số tốt nên dãy $\beta$ thỏa mãn ĐK $\frac{u_{k+1}}{u_{k}}< 3$
Giả sử $u_{k}=v_{p}$ ; $u_{k+1}=v_{r}$ và $2< \frac{u_{k+1}}{u_{k}}=\frac{v_{r}}{v_{p}}< 3$ thì vì $A$ là số chẵn nên suy ra trong dãy $\alpha$ còn có số $v_{q}$ xen giữa $v_{p}$ và $v_{r}$ (số $v_{q}$ này bằng $2u_{k}=2v_{p}$, do số $u_{k}$ nhân với thừa số $2$ trong $A$)
Do đó trong mọi TH, dãy $\alpha$ thỏa mãn ĐK $\frac{v_{k+1}}{v_{k}}\leqslant 2,\forall k$ từ 1 đến a+b-d-1.
Hơn nữa, vì $B\geqslant A$ nên dãy $\alpha$ có số ước nhiều hơn $c/2$
$\Rightarrow$ dãy $v_{1},v_{2},...,v_{c}$ cũng thỏa mãn ĐK $\frac{v_{k+1}}{v_{k}}\leqslant 2,\forall k$ từ 1 đến c-1 $\Rightarrow v_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}v_{i},\forall k$ từ 1 đến c-1
$\Rightarrow C$ là số tốt.
Cách khác :
Gọi 2 số tốt đó là $A$ và $B$
Tập các ước dương của $A$ là $X=\left \{ u_{1},u_{2},...,u_{a} \right \}$
Tập các ước dương của $B$ là $Y=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{b} \right \}$
Một số nguyên dương S bất kỳ nhỏ hơn $A.B$ có thể viết dưới dạng $S=pB+q$, trong đó
$p\in \left \{0; 1;2;...;A-1 \right \}$ ; $q\in \left \{0; 1;2;...;B-1 \right \}$ ($p$ và $q$ không đồng thời bằng 0)
Vì $A,B$ là số tốt nên có thể viết
$p=u_{k}+u_{l}+...+u_{m}$ với $u_{k},u_{l},...,u_{m}\in X$ (nếu $1\leqslant p\leqslant A-1$)
$q=v_{r}+u_{s}+...+u_{t}$ với $v_{r},v_{s},...,v_{t}\in Y$ (nếu $1\leqslant q\leqslant B-1$)
Vậy nếu $p=0\Rightarrow S=v_{r}+v_{s}+...+v_{t}$
Nếu $q=0\Rightarrow S=(u_{k}+u_{l}+...+u_{m})B=u_{k}B+u_{l}B+...+u_{m}B$
Nếu $p,q\neq 0$
$\Rightarrow S=(u_{k}+u_{l}+...+u_{m})B+v_{r}+v_{s}+...+v_{t}=u_{k}B+u_{l}B+...+u_{m}B+v_{r}+v_{s}+...+v_{t}$
Trong cả 3 TH, tất cả các số hạng trong tổng ở vế phải đều là ước dương của $A.B$ nên suy ra $A.B$ là số tốt.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-12-2014 - 21:53
- caybutbixanh, rainbow99, HoangHungChelski và 4 người khác yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
#5
Đã gửi 09-12-2014 - 22:47
Cho các số thực dương thỏa 3a+3b+c=12. Chứng minh
\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{3}{c}\geq 4$
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh