Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 doulce

doulce

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 283 Bài viết

Đã gửi 03-03-2005 - 11:36

Số nguyên dương N đc gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn N đều là tổng của các ước dương phân biệt của N.
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.

DDTH


--------------------------------------------
TÔI YÊU TOÁN VÀ TÔI MUỐN GIẾT NÓ

#2 hoctrocuaZel

hoctrocuaZel

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1162 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Lớp lang tận cùng!
  • Sở thích::( :3

Đã gửi 07-12-2014 - 10:12

Số nguyên dương N đc gọi là số tốt nếu mọi số nguyên dương nhỏ hơn N đều là tổng của các ước dương phân biệt của N.
Chứng minh rằng tích của 2 số tốt là một số tốt.

DDTH

Chả hiểu cái đề lắm :(. Hình như có vấn đề :D

Số tốt N bằng tổng các ước nguyên dương của N chứ nhỉ (khác N)

Ví dụ: $6=1+2+3$.

$28=1+2+4+7+14$

Từ đó, ta CM: $6.28=168$ là 1 số tốt.

Mà các ước của 168: $1;2;4;6;8;14;21;42;56;84;...$ Mà tổng các số này lớn hơn 168.


Hướng TH Phan
$(1)$ Lòng như mây trắng
$(2)$: Forever Young
$(3)$: You are the apple of my eye
Người ta thường nói tuổi thanh xuân như một cơn mưa rào, nếu bị ướt một lần thì bạn vẫn mong muốn thêm 1 lần nữa ...
#hoctrocuaZel
:(

#3 DSH

DSH

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 07-12-2014 - 11:36

Gọi hai số tốt là : $x;y (x \ge y)$

Xét số $xy$

Nhận thấy các số $n \in [1;x-1]$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các ước số của xy (do ước của xy bao gồm ước của x)

Các số $kx$ với $k \in [1;y-1]$

Ta biểu diễn k dưới các ước của $y$

Nhân tất cả các ước của y với x ta được biểu diễn $kx$

các ước đó của xy phân biệt do các ước của y phân biệt

Các số $\in [kx+1;(k+1)x-1]$ biểu diễn $kx + m (m \in [1;x-1])$ (kx viết dưới dạng các ước như trên)

Nhận thấy $kx$ đã biểu diễn được dưới các ước của xy lớn hơn x

m biểu diễn các ước của xy nhỏ hơn x nên các ước phân biệt

 

Nên xy cũng là số tốt $.$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi DSH: 08-12-2014 - 19:06


#4 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 07-12-2014 - 17:03

Gọi hai số tốt là : $x;y (x \ge y)$

Xét số $xy$

Nhận thấy các số $n \in [1;x-1]$ luôn biểu diễn được dưới dạng tổng các ước số của xy (do ước của xy bao gồm ước của x)

Các số $\in [kx+1;(k+1)x-1]$ biểu diễn $kx + m (m \in [1;x-1])$ nhận thấy $kx> mọi ước số x$ nên phân biệt $(k=1 ;2;...; y-1)$

Các số $kx$ chính là ước của xy $n \in [1;x-1]$

Nên xy cũng là số tốt $.$

Câu " Các số $kx$ chính là ước của $xy$ " cần phải xem lại !

Ví dụ : $x=6$ ; $y=4$ (đều là số tốt) ---> $xy=24$

Khi đó nếu $k=3$ thì $kx=18$ sao có thể là ước của $xy=24$ được ?

 

Mình xin đề xuất cách giải sau :

Có thể xem số $1$ cũng là số tốt (vì chẳng có số nguyên dương nào nhỏ hơn nó).

Gọi 2 số tốt đang xét là $A$ và $B$ ($A\leqslant B$).Xét các TH :

$1)$ Ít nhất $1$ trong $2$ số tốt đang xét bằng $1$ : Khi đó điều cần chứng minh là hiển nhiên.

$2)$ Cả hai số tốt $A$ và $B$ đều khác $1$ :

 Ta cần chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : Xét số nguyên dương N khác 1 có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$

N là số tốt khi và chỉ khi $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.

Chứng minh :

+ Giả sử số tốt N có ước dương $u_{k+1}> 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$.Khi đó số $1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$ (là số nhỏ hơn $u_{k+1}$ nên cũng nhỏ hơn N) không thể biểu diễn thành tổng các ước dương phân biệt của N (mâu thuẫn với giả thiết N là số tốt).Vậy $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.

+ Đảo lại, giả sử số N có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ thỏa mãn 

$u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$, với mọi $k$ từ 1 đến n-1.Ta cần cm $N$ là số tốt.

Dễ thấy rằng $u_{1}=1$ ; $u_{2}=2$

Và mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc các ước dương thuộc $\left \{ u_{1} ;u_{2}\right \}$

Giả sử mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{k}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{k} \right \}$

Vì $u_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}u_{i}$ nên suy ra mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{k+1}$ đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{k+1} \right \}$

Theo nguyên lý quy nạp suy ra mọi số nguyên dương từ $1$ đến $u_{1}+u_{2}+...+u_{n}$ (là số lớn hơn $N$, vì $u_{n}=N$) đều có thể biểu diễn thành "tổng" của 1 hoặc nhiều ước dương thuộc $\left \{ u_{1};u_{2};...;u_{n} \right \}$, hay nói cách khác, $N$ là số tốt.

Cũng bằng quy nạp, ta cm được nếu số tốt $N$ có $n$ ước dương xếp theo thứ tự tăng dần $u_{1},u_{2},...,u_{n}$ thì $\frac{u_{k+1}}{u_{k}}< 3$

Từ bổ đề trên suy ra với mọi số tốt khác 1, ta đều có $u_{1}=1$ ; $u_{2}=2$ (tức mọi số tốt khác 1 đều là số chẵn).

Gọi $C=A.B$ ; $D$ là ước chung lớn nhất của $A$ và $B$ ($A\leqslant B$) ; và gọi số ước dương của $A,B,C,D$ lần lượt là $a,b,c,d$.

Các ước dương của $C$ xếp theo thứ tự tăng dần là $v_{1},v_{2},...,v_{c}$ (trong các ước này có $A$ và $B$)

Dễ tính được rằng $B=v_{a+b-d}$ và $A=v_{c-a-b+d+1}$

Xét 2 TH :

$a)$ Nếu $A$ có dạng $2^{a-1}$ và $B$ có dạng $2^{b-1}$ ($A$ và $B$ phân tích ra thừa số nguyên tố chỉ có thừa số $2$) :

Khi đó $C$ có dạng $2^{c-1}$ và có các ước là $1,2^1,2^2,...,2^{c-1}$

Các ước này thỏa mãn điều kiện $v_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}v_{i}$ nên theo bổ đề trên, $C$ là số tốt.

$b)$ Các TH khác :

Xét dãy gồm $a+b-d$ ước dương đầu tiên (từ $v_{1}=1$ đến $v_{a+b-d}=B$, tạm gọi là dãy $\alpha$)

Dãy $\alpha$ này chứa tất cả các ước dương của số tốt $B$ là $u_{1},u_{2},...,u_{b}$ (dãy $\beta$)

(ngoài ra có bổ sung các ước khác)

$B$ là số tốt nên dãy $\beta$ thỏa mãn ĐK $\frac{u_{k+1}}{u_{k}}< 3$

Giả sử $u_{k}=v_{p}$ ; $u_{k+1}=v_{r}$ và $2< \frac{u_{k+1}}{u_{k}}=\frac{v_{r}}{v_{p}}< 3$ thì vì $A$ là số chẵn nên suy ra trong dãy $\alpha$ còn có số $v_{q}$ xen giữa $v_{p}$ và $v_{r}$ (số $v_{q}$ này bằng $2u_{k}=2v_{p}$, do số $u_{k}$ nhân với thừa số $2$ trong $A$)

Do đó trong mọi TH, dãy $\alpha$ thỏa mãn ĐK $\frac{v_{k+1}}{v_{k}}\leqslant 2,\forall k$ từ 1 đến a+b-d-1.

Hơn nữa, vì $B\geqslant A$ nên dãy $\alpha$ có số ước nhiều hơn $c/2$

$\Rightarrow$ dãy $v_{1},v_{2},...,v_{c}$ cũng thỏa mãn ĐK $\frac{v_{k+1}}{v_{k}}\leqslant 2,\forall k$ từ 1 đến c-1 $\Rightarrow v_{k+1}\leqslant 1+\sum_{i=1}^{k}v_{i},\forall k$ từ 1 đến c-1

$\Rightarrow C$ là số tốt.

 

Cách khác :

Gọi 2 số tốt đó là $A$ và $B$

Tập các ước dương của $A$ là $X=\left \{ u_{1},u_{2},...,u_{a} \right \}$

Tập các ước dương của $B$ là $Y=\left \{ v_{1},v_{2},...,v_{b} \right \}$

Một số nguyên dương S bất kỳ nhỏ hơn $A.B$ có thể viết dưới dạng $S=pB+q$, trong đó

$p\in \left \{0; 1;2;...;A-1 \right \}$ ; $q\in \left \{0; 1;2;...;B-1 \right \}$ ($p$ và $q$ không đồng thời bằng 0)

Vì $A,B$ là số tốt nên có thể viết

$p=u_{k}+u_{l}+...+u_{m}$ với $u_{k},u_{l},...,u_{m}\in X$ (nếu $1\leqslant p\leqslant A-1$)

$q=v_{r}+u_{s}+...+u_{t}$ với $v_{r},v_{s},...,v_{t}\in Y$ (nếu $1\leqslant q\leqslant B-1$)

Vậy nếu $p=0\Rightarrow S=v_{r}+v_{s}+...+v_{t}$

Nếu $q=0\Rightarrow S=(u_{k}+u_{l}+...+u_{m})B=u_{k}B+u_{l}B+...+u_{m}B$

Nếu $p,q\neq 0$

$\Rightarrow S=(u_{k}+u_{l}+...+u_{m})B+v_{r}+v_{s}+...+v_{t}=u_{k}B+u_{l}B+...+u_{m}B+v_{r}+v_{s}+...+v_{t}$

Trong cả 3 TH, tất cả các số hạng trong tổng ở vế phải đều là ước dương của $A.B$ nên suy ra $A.B$ là số tốt.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 08-12-2014 - 21:53

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)


#5 roseing6969

roseing6969

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 09-12-2014 - 22:47

Cho các số thực dương thỏa 3a+3b+c=12. Chứng minh

\frac{1}{a}+\frac{4}{b}+\frac{3}{c}\geq 4$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh