Đến nội dung

Hình ảnh

CM $\exists g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa $|f(x)-g(x)|\le \varepsilon$

- - - - - psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
tuanthang

tuanthang

    Lính mới

  • Thành viên
  • 7 Bài viết

Với $\varepsilon >0$ cho trước. Hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn

$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R$.
Chứng minh rằng: $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho

$\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$



#2
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Cho y = 0 ta được $|2f(x)|\leq \varepsilon \Rightarrow |f(x)-0|\leq \frac{\varepsilon }{2}\leq \varepsilon$.

Mà hàm g(x) = 0 là một hàm cộng tính trên R.... :icon6:  :icon6:  :icon6:

P/s: Giải như vậy ko biết có coi là hợp lệ ko nhỉ???


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bachhammer: 14-11-2013 - 13:42

:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#3
hxthanh

hxthanh

    Tín đồ $\sum$

  • Hiệp sỹ
  • 3915 Bài viết

Cho y = 0 ta được $|2f(x)|\leq \varepsilon \Rightarrow |f(x)-0|\leq \frac{\varepsilon }{2}\leq \varepsilon$.

Mà hàm g(x) = 0 là một hàm cộng tính trên R.... :icon6:  :icon6:  :icon6:

P/s: Giải như vậy ko biết có coi là hợp lệ ko nhỉ???

Nếu cho $y=0$ thì chỉ có $|2f(0)|\le \varepsilon$ thôi chứ em?



#4
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

Nếu cho $y=0$ thì chỉ có $|2f(0)|\le \varepsilon$ thôi chứ em?

...Xin lỗi thầy, e nhìn nhầm... :luoi:


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#5
PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Quản trị
  • 493 Bài viết

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại hơn 2 ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 20/11 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia! :luoi:

#6
zipienie

zipienie

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 533 Bài viết

Với $\varepsilon >0$ cho trước. Hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn

$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R$.
Chứng minh rằng: $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho

$\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$

Lời giải tham khảo

 

Gọi $P(x,y)$ là  $|f(x+y)-f(xy)-2f(y)|\le \varepsilon$
 
Cho $x\ne 1$ : $P(\frac x{x-1},x)$ $\implies$ $|f(x)|\le\frac{\varepsilon}2$ $\forall x\ne 1$
 
$P(1,1)$ $\implies$  $|f(2)-3f(1)|\le \varepsilon$ và do đó $-\frac{3\varepsilon}2$ $\le f(2)-\varepsilon\le 3f(1)$ $\le f(2)+\varepsilon$ $\le \frac{3\varepsilon}2$
 
Vậy $|f(1)|\le\frac{\varepsilon}2$ nên $|f(x)|\le\frac{\varepsilon}2$ $\forall x$
 
Khi đó chỉ cần chọn $g(x)=0$ $\forall x$ ta được điều phải chứng minh.

Luận văn, tài liệu tham khảo toán học : http://diendantoanho...ảo/#entry499457

Sách, Luận Văn, Tài liệu tham khảo https://www.facebook...TailieuLuanvan/

#7
bachhammer

bachhammer

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết

 

Lời giải tham khảo

 

Gọi $P(x,y)$ là  $|f(x+y)-f(xy)-2f(y)|\le \varepsilon$
 
Cho $x\ne 1$ : $P(\frac x{x-1},x)$ $\implies$ $|f(x)|\le\frac{\varepsilon}2$ $\forall x\ne 1$
 
$P(1,1)$ $\implies$  $|f(2)-3f(1)|\le \varepsilon$ và do đó $-\frac{3\varepsilon}2$ $\le f(2)-\varepsilon\le 3f(1)$ $\le f(2)+\varepsilon$ $\le \frac{3\varepsilon}2$
 
Vậy $|f(1)|\le\frac{\varepsilon}2$ nên $|f(x)|\le\frac{\varepsilon}2$ $\forall x$
 
Khi đó chỉ cần chọn $g(x)=0$ $\forall x$ ta được điều phải chứng minh.

 

Đặt như thế này hình như ko khớp với đề bài bạn ạ....  :icon6:  :icon6:  :icon6:


:ukliam2: TOPIC SỐ HỌC - Bachhammer :ukliam2: 

Topic số học, các bài toán về số học

:namtay  :namtay  :namtay  :lol:  :lol:  :lol:  :lol:  :excl:  :excl:  :excl:  :lol:  :lol:  :lol: :icon6:  :namtay  :namtay  :namtay  


#8
nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Hiệp sỹ
  • 669 Bài viết

Với $\varepsilon >0$ cho trước. Hàm $f:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ thỏa mãn

$$\left|f(x+y)-f(x-y)-2f(y)\right|\le \varepsilon,\forall x,y\in\mathbb R.$$
Chứng minh rằng: $\exists$ hàm $g:\mathbb R\mapsto \mathbb R$ cộng tính sao cho $\left|f(x)-g(x)\right|\le \varepsilon$

$\bullet$ Cố định $t$, chứng minh tồn tại $\lim_{n\to \infty}\frac{f(3^nt)}{3^n}$.

Xây dựng hàm $g$ như sau

\[\begin{array}{rccl}g\colon &\mathbb{R}&\to &\mathbb{R}\\& t & \mapsto& \displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{f(3^nt)}{3^n}\end{array}\]

$\bullet$ Chứng minh $g$ cộng tính.

 

$\bullet$ Chứng minh $|f(x)-g(x)|\le \varepsilon$.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhungvienkimcuong: 06-01-2023 - 09:13

Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra ~O) 
Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em :wub:
Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh :ukliam2:






Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: psw

0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh