Đến nội dung


Hình ảnh

Hình học đại số cơ sở


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 54 trả lời

#1 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 07-03-2005 - 08:41

Chủ đề này mở ra nhằm mục đích cung cấp những kiến thức và ngôn ngữ cơ bản cũng như một vài hướng nghiên cứu của chuyên ngành Hình học đại số (Algebraic Geometry). Hy vọng mọi người ủng hộ, ai biết nhiều viết nhiều, ai biết ít .. cũng viết nhiều :)

Với mục đích nhằm giới thiệu và phổ cập một chuyên ngành nên chủ đề sẽ tránh không đi sâu vào chi tiết cũng như các thuật ngữ mang nặng tính kỹ thuật. Cũng vì thế mà các bài viết (nếu tồn tại) sẽ không tránh khỏi đôi khi không hoàn toàn thật chính xác.

Người mở chủ đề có hy vọng sẽ điểm qua những điều sau:

(1) Đa tạp đại số, từ điển giữa hình học và đại số, định lý Nullstellensatz.
(2) Lược đồ - trừu tượng hóa và tổng quát hóa của đa tạp.
(3) Đường cong đại số.
(4) Mặt cong đại số, lược đồ nhiều chiều.
(5) Một vài hướng nghiên cứu cơ bản trong chuyên ngành.
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#2 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 07-03-2005 - 09:20

Đa tạp đại số:


Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là một trường đóng đại số với đặc số 0. Có thể coi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k là trường số phức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{C}.

I. Đa tạp affine trên http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?n biến trên http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k. Một tập con không rỗng http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được gọi là một iđêan nếu:

(a) http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I được định nghĩa bằng:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R là hữu hạn sinh (do http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R là vành Noether) nên để xác định tập đại số của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I ta chỉ cần xác định không điểm của một tập hữu hạn các đa thức).

Nhận xét rằng hợp của 2 tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với tích 2 iđêan) và giao của một họ các tập đại số affine là một tập đại số affine (tương ứng với hợp hay tổng các iđêan). Vậy tập tất cả các tập đại số affine (tương ứng với các iđêan của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R) cho ta một Tôpô trên không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n. Các tập đóng của Tôpô này là các tập đại số affine và các tập mở được cho bởi các phần bù của chúng. Tôpô này gọi là Tôpô Zariski (theo tên nhà toán học nổi tiếng Oscar Zariski).

Tôpô Zariski có một vài tính chất đặc biệt sau:

(a) Tôpô Zariski không phải là Hausdorff.
(b) Mỗi tập mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n đều là trù mật trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n.

Tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n trang bị bởi Tôpô Zariski được gọi là không gian affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k. Ta ký hiệu không gian này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (dùng ký hiệu khác với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k^n để nhấn mạnh rằng ta có trang bị Tôpô Zariski).

Với mỗi tập con http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được định nghĩa như sau
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I được gọi là căn nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với các iđêan căn trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?R. Sứ tương ứng này được cho bởi
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là một tập đóng con của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với số tự nhiên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n nào đó.

Ghi chú: Chính xác hơn thì các tập con mở của đa tạp affine cũng được coi là các đa tạp đại số (đôi khi được gọi là quasi-affine).
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#3 Polytopie

Polytopie

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 151 Bài viết

Đã gửi 07-03-2005 - 15:44

Tốt quá, cảm ơn bác CXR. :)
Tôi tư duy nên Tôi không tồn tại.

#4 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 07-03-2005 - 20:06

Anh CXR viet bang` tieng´ Anh duoc thi` tot qua´ ( hoac tieng´ Duc´) 1 so^´ tu` chuyen nghanh` em doc khong hieu gi` ca'. Em cung se post bai`, co´ le doi chut´ ve^` Sheaf theory ( tieng´ Duc´ la` Garben-theorie) , dac biet quan trong la` viec xay dung cac´ characteristic class trong Hinh` hoc dai so, dua tren nhung y´ tuong cua algebraic topology. Tuy nhien theo cam tuong cua em thi` Topo dai so duong` nhu natural hon Hinh` hoc Dai so.
---------
Ly´ do post bai`: Vi` hoc ky` toi´ em co´ 1 oberseminar ve^` Sheaf theory trong algebraic geometry, va` phai bao´ cao´ ve^` chern class trong ly´ thuyet nay`. Hoc ky` truoc´ may man´ la` em da lam` seminar ve chern class + chern character trong K-Theory, nen cung co´ hieu biet doi chut ve phan nay`.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 07-03-2005 - 20:11


#5 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 07-03-2005 - 22:02

Vì nhằm mục đích "phổ cập" và phục vụ cho diễn đàn tiếng Việt, nên anh cố gắng viết bằng tiếng Việt - từ kỹ thuật nào mà anh cảm thấy dịch chưa chuẩn thì anh sẽ mở ngoặc và để nguyên văn tiếng Anh.

Polytopied và Quantum rảnh vào viết thêm thì hay quá. Anh cũng định sẽ nói về sheaf khi nói tới lược đồ (scheme) nhưng giờ có Quantum nhận viết cho .. nhẹ cả vai :D Mà cũng có khi viết về cùng một chủ đề theo nhiều cách nhìn khác nhau sẽ rất hay. Anh chủ yếu nhìn theo cái nhìn đại số nên vì thế khái niệm sheaf sẽ rất trừu tượng.

Khi viết về sheaf, anh định sẽ đi sâu một chút về line bundles (invertible sheaves), các ánh xạ, các phép nhúng cho bởi các line bundles. Mục đích là để sau này giới thiệu về một vài hướng nghiên cứu về đối đồng điều Koszul của bó, giả thuyết Fujita (freeness and very ampleness) và giả thuyết Green (canonical curves). Kế hoạch thì nhiều nhưng không biết viết được bao nhiêu :D

PS: math0 chuyển sang unicode cho mọi người dễ đọc.Nếu bác CXR và quantum không đánh tiếng việt được thì đánh kiểu VIRQ rồi vào đây convert:
http://d1200796.u45....iet/default.asp

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi math0: 07-03-2005 - 22:09

"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#6 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 08-03-2005 - 00:11

Hay đấy, chúng ta có thể so sánh cùng 1 vấn đề dưới nhiều quan điểm khác nhau, như thế sẽ tiến bộ rất nhanh, em rất vui lòng nhận post. Nhưng em xin báo cáo trước là em post không trừu tượng như hình học đại số đâu, nói chung ngôn ngữ em dùng có nhiều topo nhiều hơn.
-----
Em cũng đã từng nghe nói về Koszul complex, giả thuyết Fujita thì chưa nghe đến bao giờ,, nhưng tên thì quen quen, à hình như nhầm sang Futura.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 08-03-2005 - 02:13


#7 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 08-03-2005 - 12:25

Đa tạp đại số (tiếp)


Vành tọa độ của một đa tạp đại số affine. Giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan xác định của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X như đã định nghĩa ở trên, và http://dientuvietnam...mimetex.cgi?R/J ký hiệu vành thương của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?R theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J, với mỗi iđêan http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J (nghĩa là vành các lớp tương đương theo môdun http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?J).

Đa tạp bất khả quy (irreducible). Nếu http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?X, Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n giới hạn vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X sẽ cho một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (trong đó các tập đóng là giao của các tập đóng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X). Đa tạp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được gọi là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không phải là hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó (nghĩa là không tồn tại các tập đóng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X).

(Ghi chú: trong một vài tài liệu, chẳng hạn cuốn Hình học đại số của Hartshorne thì những đa tạp bất khả quy mới được gọi là đa tạp đại số - tuy nhiên, định nghĩa như hiện tại phù hợp hơn với phần lớn các kết quả nghiên cứu trong chuyên ngành).

Định lý. Đa tạp đại số affine http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu và chỉ nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{I}(X) là iđêan nguyên tố trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d lớn nhất sao cho tồn tại chuỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (thường thì http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?Z_0 là tập gồm một điểm đóng và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?A(X) (định nghĩa theo độ dài lớn nhất của một chuỗi các iđêan nguyền tố).

Chứng minh: dựa vào sự tương ứng 1-1 giữa các đa tạp đại số và các iđêan căn (và sự tương ứng này đảo ngược thứ tự bao hàm), cùng kết quả rằng một đa tạp là bất khả quy nếu và chỉ nếu iđêan xác định của nó là iđêan nguyên tố. (Ghi chú: iđêan nguyên tố là iđêan căn).

Nhận xét:

(a) Mỗi một đa tạp đại số đều có thể được viết thành hợp của một số đa tạp con bất khả quy trong đó không có 2 đa tạp nào chứa nhau, và cách viết này là duy nhất (trừ việc thay đổi thứ tự các đa tạp con).
(b) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?xz-x (thay bằng http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là hợp của 3 thành phần bất khả quy. Tìm các iđêan xác định của 3 thành phần này.

(2) Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số thực. Tìm một đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^2 không phải là bất khả quy. Chú ý rằng, http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k ở đây không phải là trường đóng đại số. Nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k là trường số phức thì tồn tại hay không đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(x,y) với cùng tính chất?
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#8 noproof

noproof

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 104 Bài viết

Đã gửi 08-03-2005 - 19:32

Anh CXR ơi, anh có thể ghi chú những định lý, tính chất nào không cần dùng đến giả thiết k là trường đóng đại số và đặc số 0 được không ạ, thế thì tiện cho em quá. (Hoặc là ta không hạn chế k là trường đóng đại số và đặc số 0 ngay từ đầu, định lý nào cần giả thiết này thì thêm vào).

Định lý Nullstellensatz của Hilbert, em thấy bác Ngô Việt Trung dịch là "Định lý nghiệm của Hilbert", cũng có người dịch là "Định lý không điểm của Hilbert".

Em không hiểu ý bài tập (2) lắm :D , có lẽ phải có thêm giả thiết về f, chẳng hạn f không là khả quy (f bất khả quy).

#9 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 09-03-2005 - 00:55

Tiếng Đức Nullstellensatz có thể dịch là "không điểm", vì thế anh nghĩ "định lý không điểm của Hilbert" là đúng đấy.

Về bài tập (2) thì đúng là anh quên giả thuyết f là bất khả quy. Cám ơn noproof nhé.

Hiện tại phần lớn các kết quả (cũng như cách xây dựng lý thuyết) anh đưa lên đây đều cần http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?k đóng đại số (vì sử dụng định lý không điểm của Hilbert). Sau này khi đi cụ thể vào từng vấn đề nghiên cứu, anh sẽ nói rõ hơn lúc nào thì bỏ được tính đóng đại số của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?k.
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#10 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 12-03-2005 - 09:39

Đa tạp đại số (tiếp)


II. Đa tạp xạ ảnh. Đặt http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f được gọi là bậc của http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?f. Ví dụ: http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?I bao gồm các đa thức thuần nhất. Ví dụ: http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim trên tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim thỏa mãn các tính chất sau:

(a) http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim là một quan hệ tương đương trên tập http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\sim đã định nghĩa (nghĩa là nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n được định nghĩa một cách tương tự như Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n chỉ thay bằng khi xét các đa thức hay các iđêan ta xét các đa thức thuần nhất và các iđêan thuần nhất.

Nhận xét rằng mỗi đa thức http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n như với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n (vì mỗi điểm của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n là một lớp tương đương và giá trị của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f tại điểm đó phụ thuộc vào từng đại diện của lớp tương đương đó - có nhiều đại diện của mỗi lớp tương đương). Tuy nhiên, nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f xác định một hàm số trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P, và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?d và http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P (trong đó http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f là xác định trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n.

Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?I như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f_i tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?P bằng 0.

Hoàn toàn tương tự như với các tập đại số affine, tập tất cả các tập đại số xạ ảnh (tương ứng với các iđêan thuần nhất của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S) tạo thành các tập đóng của một Tôpô trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Tôpô này được gọi là Tôpô Zariski. Từ giờ trở đi, khi viết http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n ta hiểu là không gian http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n trang bị bởi Tôpô Zariski như đã nói.

Định nghĩa. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n được gọi là không gian xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n chiều trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?k.

Định nghĩa. Một đa tạp xạ ảnh là một tập con đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?n tự nhiên nào đó.

Ghi chú: Giả sử http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X (lấy giao với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X) ta có Tôpô Zariski trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X. Đôi khi một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh cũng được coi là một đa tạp xạ ảnh.

Bằng cách tương đương ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quy. http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là bất khả quy nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X không thể viết thành hợp của 2 tập con đóng thực sự của nó.

Định nghĩa. Với một đa tạp xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được định nghĩa như sau:
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X là vành http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S/\mathbf{I}(X).
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#11 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 22-03-2005 - 10:33

Đa tạp đại số (tiếp)


Nhận xét: Hoàn toàn tương tự như trong trường hợp affine, ta có thể định nghĩa đa tạp xạ ảnh bất khả quychiều của một đa tạp xạ ảnh. Ta cũng có thể xây dựng tương ứng 1-1 (giống như tương ứng trong trường hợp affine) giữa đa tạp xạ ảnh và iđêan căn thuần nhất. Từ tương ứng này ta có
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?S xác định tập rỗng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n.

Liên hệ giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine.


Một trong các mối liên hệ quan trọng giữa đa tạp xạ ảnh và đa tạp affine là mỗi đa tạp xạ ảnh đều có thể được xem như hợp của một số hữu hạn các đa tạp affine. Cách nhìn này sẽ là khá quan trọng cho các thảo luận kế tiếp.

Định nghĩa: giả sử http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f (hay đa tạp xạ ảnh xác định bởi http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f) trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n là một siêu mặt. Trong trường hợp http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một đa thức tuyến tính thuần nhất, ta gọi tập các không điểm của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f là một siêu phẳng.

Nhận xét rằng, mỗi biến http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i của http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?S là một đa thức tuyến tính thuần nhất. Vì thế http://dientuvietnam...mimetex.cgi?x_i xác định một siêu phẳng trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n - ta ký hiệu siêu phẳng này là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?H_i. Theo định nghĩa thì
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_i là một tập con mở của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n. Dễ dàng thấy rằng, do định nghĩa, với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j sao cho http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\hat{\dfrac{b_j}{b_j}} có nghĩa là ta loại bỏ thành phần http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\dfrac{b_j}{b_j}).

Dễ thấy rằng nếu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j (với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?j nào đó) - nghĩa là, nếu tồn tại http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là ánh xạ xác định trên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j.

Bài tập: (các bạn nên thử làm để hiểu rõ vấn đề hơn)
(1) Chứng minh rằng với mỗi http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là một homeomorphism (không biết từ này dịch thế nào nhỉ!?) - nghĩa là http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j là một song ánh tương ứng các tập đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j với các tập đóng của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{A}^n. Ở đây, tôpô trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j được cho bằng cách giới hạn tôpô Zariski trong http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbf{P}^n lên http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?U_j.
(2) Chứng minh rằng mỗi không gian xạ ảnh http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?X được phủ bởi các tập con mở http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\varphi_j định nghĩa như trên.
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#12 canh_dieu

canh_dieu

    Trung sĩ

  • Founder
  • 150 Bài viết
  • Đến từ:United States
  • Sở thích:Phở, nhưng làm ơn đừng cho giá đỗ.

Đã gửi 22-03-2005 - 13:17

Nếu em nhớ không nhầm thì Homeomorphism ở nhà gọi là đồng phôi.

Trong bài tập 2 chắc ý anh là "...một đa tạp xạ ảnh http://dientuvietnam...etex.cgi?X...".
<span style='color:blue'>Thu đi để lại lá vàng
Anh đi để lại cho nàng thằng ku</span>

#13 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 22-03-2005 - 13:49

Nếu em nhớ không nhầm thì Homeomorphism ở nhà gọi là đồng phôi.

Trong bài tập 2 chắc ý anh là "...một đa tạp xạ ảnh http://dientuvietnam...etex.cgi?X...".

Ừ .. đúng là "đồng phôi" .. khi nãy anh nhớ là "đồng" gì đó mà chịu không nhớ ra ;) À, bài tập (2) thì X là đa tạp xạ ảnh như Trung nói. Cám ơn Trung nhé!
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#14 vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Đến từ:Một miền đầy gió và cát biển!
  • Sở thích: Mọi thứ trừ con gái!

Đã gửi 11-04-2005 - 18:08

Anh CRX ơi,em mới bắt đầu đọc HHĐS (gọi là anh chắc là hợp lý vì anh đọc HHĐS trươc ---> tuổi >=,hê hê).
Tài liệu HHĐS chủ yếu là tiếng Anh thôi.Em cũng có một số nhưng hiện tại em không có ai hướng dẫn nên cũng không biết về HHĐS thì quyển nào là kinh điển hay nổi tiếng nhất.Anh có thể giới thiệu tên sách cho em biết được không?Em cảm ơn trước nhé.
Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#15 CXR

CXR

    Người thứ 7 ...

  • Founder
  • 195 Bài viết
  • Đến từ:New Orleans, USA

Đã gửi 12-04-2005 - 11:02

Lâu nay bận làm bên POW và cũng hơi lười nên bỏ bê mất mục này. Sắp tới CXR sẽ tiếp tục.

vinhspiderman: Có khá nhiều giáo trình cơ sở về Hình học đại số, nhưng kinh điển nhất vẫn là cuốn "Introduction to algebraic geometry" của R. Hartshorne. Tuy nhiên bài tập trong cuốn này rất khó (đặc biệt là chương 3), vì thế anh nghĩ là trước khi đọc Hartshorne nên bắt đầu bằng một trong 3 cuốn sau:

(1) Introduction to commutative algebra and algebraic geometry của Kunz - cuốn này có ngôn ngữ và cách nhìn rất đại số.
(2) Basic algebraic geometry của Shafarevich - cuốn này có cách tiếp cận gần với giải tích hơn.
(3) Ideals, varieties and algorithms của Cox, Little và O'shea - cuốn này đọc khá hay nhất là về cơ sở Grobner.

Ngoài ra, theo anh thì khi đọc Hartshorne nên đọc kèm theo cuốn "The geometry of schemes" của D. Eisenbud và J. Harris và cuốn "Using algebraic geometry" của Cox, Little và O'shea.

Để học Hình học đại số thì cần có một nền tảng về đại số giao hoán khá vững. Anh nghĩ trước tiên nên đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Atiyah và Macdonald, sau đó đọc cuốn "Introduction to commutative algebra" của Eisenbud hay cuốn "Commutative algebra" của Matsumura. Về homological algebra thì đọc thêm cuốn của C. Weibel. Về Representation theory thì đọc cuốn của Fulton (cuốn này khá khó).

Gần đây có một số cuốn sách sau khá hay:

(4) Combinatorial Commutative Algebra của E. Miller và B. Sturmfels - rất cơ bản và dễ đọc.
(5) Geometry of syzygies của D. Eisenbud và J. Harris - hay nhưng đòi hỏi phải đọc hết Hartshorne rồi.
(6) Positivity in Algebraic Geometry của R. Lazarsfeld - rất hay cũng đòi hỏi phải biết Hartshorne và một chút về Representation theory.
(7) Resolution of singularities của S.D. Cutkosky - rất hay nhưng cũng đòi phải biết Hartshorne và một chút trong giáo trình "Commutative algebra" của Zariski và Samuel.

(Danh mục sách anh đưa ra đây chỉ là một phần rất nhỏ của các giáo trình đang có hiện tại và mang nặng thiên hướng đi sâu về mặt đại số của chuyên ngành.)
"The essential thing in life is not conquering but fighting well"

#16 vinhspiderman

vinhspiderman

    Tồ đại hiệp

  • Thành viên
  • 189 Bài viết
  • Đến từ:Một miền đầy gió và cát biển!
  • Sở thích: Mọi thứ trừ con gái!

Đã gửi 13-04-2005 - 17:58

Cám ơn anh CRX đã giới thiệu mấy quyển sách đó.Em thấy cuốn A.G của Hartshorne được trích dẫn nhiều trên mạng nhưng chẳng tìm đâu ra cuốn đó cả.
Anh CRX có bản pdf,djvu hay một dạng file nào của cuốn đó không?
Ngoài thư viện của viện toán có cuốn ấy không ạ?
Lạy chúa!
Con không hề hoài nghi tí nào về sự hiện hữu hoài nghi của người nhưng con hoài nghi rất nhiều về sự minh mẫn và công bình của người!

#17 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 28-09-2005 - 19:56

Có bác nào quan tâm đến Hodge conjecture không? Giải thích lên đây cho anh em với, đọc mãi cái giả thuyết mà chả hỉu nó nói cái gì. Tiện thể có thể bàn luận đôi chút về sheaf theory kô?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 28-09-2005 - 19:57


#18 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 12-10-2005 - 21:48

I. Đa tạp affine trên . Đặt , vành các đa thức  biến trên . Một tập con không rỗng  được gọi là một iđêan nếu:

(a) ,
(b) .

Mỗi đa thức  xác định một hàm số  cho bởi . Với mỗi iđêan , tập đại số affine xác định bởi  được định nghĩa bằng:



(Ghi chú: mỗi iđêan trong  là hữu hạn sinh (do  là vành Noether) nên để xác định tập đại số của  ta chỉ cần xác định không điểm của một tập hữu hạn các đa thức).

anh ơi cho em hỏi với, tại sao k[X] lại là Noether.

#19 quantum-cohomology

quantum-cohomology

    I need the end to set me free, i was me but now he's gone

  • Thành viên
  • 725 Bài viết

Đã gửi 12-10-2005 - 22:00

Tôpô Zariski trên . Tôpô Zariski trên  được định nghĩa một cách tương tự như Tôpô Zariski trên  chỉ thay bằng khi xét các đa thức hay các iđêan ta xét các đa thức thuần nhất và các iđêan thuần nhất.

Nhận xét rằng mỗi đa thức  không xác định một hàm số trên  như với  (vì mỗi điểm của  là một lớp tương đương và giá trị của  tại điểm đó phụ thuộc vào từng đại diện của lớp tương đương đó - có nhiều đại diện của mỗi lớp tương đương). Tuy nhiên, nếu  là một đa thức thuần nhất thì  xác định một hàm số trên :



cho bởi  nếu giá trị của  bằng 0, trong đó  nằm trong lớp tương đương , và  nếu ngược lại. Nhận xét rằng nếu bậc của  là  và  là một đại diện nữa của  (trong đó ) thì , và vì vậy . Điều này chứng tỏ rằng hàm số  là xác định trên .

Giả sử  là một iđêan thuần nhất trong đó các phần tử sinh  cũng là thuần nhất. Ta định nghĩa tập đại số xạ ảnh của  như sau:



ở đây,  có nghĩa là giá trị của hàm số cho bởi đa thức  tại  bằng 0.

projective manifolds theo như anh trình bày ở đây được trang bị bởi Zariski topology. Chẳng hạn nếu bây giờ nếu ta xét trên trường đóng đại số, ví dụ như http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{C} đi, thì thu được , đa tạp này lại được trang bị 1 usual topology. Em chưa hiểu rõ lắm vì sao lại thế, tại sao khi xét trên K thì phải trang bị Zariski, còn xét trên C thì có thể dùng usual topo.

#20 string

string

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 12 Bài viết

Đã gửi 05-11-2005 - 10:07

cac bac nhan xet the nao ve EGA( element de geometric algebraiqe)


we dont read books
we write them




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh