Chủ đề này có 4 trả lời

[CXR]

Hôm qua dạy đại số cho sinh viên thấy có bài này khá hay. Mọi người giải thử nhé:

Đặt R là vành các hàm liên tục từ [0,1] vào trường số thực. Giả sử m là một ideal cực đại của R.

1) Chứng minh rằng tồn tại c nằm trong [0,1] sao cho m là ideal của các hàm trong R triệt tiêu tại c.
2) Chứng minh rằng m không phải là hữu hạn sinh.
3) Bài toán còn đúng không nếu thay [0,1] bằng một không gian topo chính tắc tùy ý?

(Không được sử dụng compactification nhé!)

[TQFT]

Trả lời chơi một cái:
1-m la một Maximal Ideal, so m là kernel của một đặc trưng của C*-đại số C[0,1].
Một đặc trưng của đại số này nói riêng là một độ đo dương trên [0,1]. Ta thấy độ đo này có giá là một điểm bởi vì nếu mà nó có giá là tại hai điểm x<>y, ta chọn hai hàm liên tục tách hai điểm này, triệt tiêu trên điểm kia, và suy ra vô lý.
Hơn nữa, ta dễ dàng chứng minh được độ đo này có giá trị 1, bằng cách áp vào hàm 1.

2 giả sử m is finetely generated, khi đó cho thêm hàm hằng vào, ta suy ra C[0,1] cũng là finete generated.
Hệ quả là tồn tại được toàn ánh từ đại số đa thức n biến [X1,...Xn] vào C*-đại số C[0,1].
Kết quả được chứng minh một cách dễ dàng khi ta nhận thấy trong C[0,1] có một tháp các Ideal dài vô hạn, sinh bởi các tập đóng lồng nhau, còn ngược lại đại số đa thức thì cùng lắm là bậc n.

3 Chọn tập 1 điểm là sai ngay câu 2
Nếu không dùng Stone Cech Compactification thì quá khó với câu 1.
Ta xét đại số các hàm liên tục bị chặn trên X, kí hiệu nó là A. Xét một biểu diễn faithful nondegenerate của đại số này lên một không gian Hilbert. Xét Multiplier Algebra của A, gồm đại số các toán tử trên H, nhân trái và phải với A đều nằm trong A, kí hiệu MA.

Khi đó, A là một essential Ideal trong MA. Các đặc trưng của A sẽ được thác triển trở thành của MA (thực ra là đẳng cấu với đại số các hàm liên tục trên compact hóa stonecech) và ta áp dụng câu 1.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi TQFT: 09-09-2006 - 11:54

[nhoBL]

Có thể đây sẽ là một câu trả lời sơ cấp hơn cho câu hỏi 1.

1- Nếu không tồn tại c nào trong đoạn [0,1] để các hàm trong m triệt tiêu tại c thì tồn tại hàm f(x) trong m không triệt tiêu trên [0,1] và không đổi dấu trên [0,1]. Khi đó hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?h(x)=f(x)g(x) là phần tử khả nghịch và nằm trong m, suy ra m=R. Hơn nữa, c tồn tại là duy nhất, thật vậy giả sử tồn tại c và c' thỏa mãn kết luận trên thì ideal n gồm các hàm trong R triệt tiêu trên c' là ideal thực sự của R chứa và khác m.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhoBL: 12-09-2006 - 10:16

[noproof]

Cách giải của TQFT mình không hiểu lắm

Cách giải của NhoBL chỗ này hơi tắt (đối với mình )

Nếu không tồn tại c nào trong đoạn [0,1]để các hàm trong m triệt tiêu tại c thì tồn tại hàm f(x) trong m không triệt tiêu trên [0,1]

Mình chứng minh lại điều này nhé.
Với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f=f_1^2+\cdots+f_n^2. Khi đó f thuộc m và f không triệt tiêu trên [0,1] (không có nghiệm trên [0,1]).

[redline]

Hôm qua dạy đại số cho sinh viên thấy có bài này khá hay. Mọi người giải thử nhé:

Đặt R là vành các hàm liên tục từ [0,1] vào trường số thực. Giả sử m là một ideal cực đại của R.

1) Chứng minh rằng tồn tại c nằm trong [0,1] sao cho m là ideal của các hàm trong R triệt tiêu tại c.
2) Chứng minh rằng m không phải là hữu hạn sinh.
3) Bài toán còn đúng không nếu thay [0,1] bằng một không gian topo chính tắc tùy ý?

(Không được sử dụng compactification nhé!)

Cho X là một không gian topo, gọi C(X) là tập các hàm liên tục từ X vào http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}. Xét trường hợp http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}.

Xét các tập http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i chỉ triệt tiêu tại các điểm của http://dientuvietnam...mimetex.cgi?A_i (Các hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i có thể xây dựng mà đồ thị có dạng răng cưa, hoặc dùng các tích Weierstrass). Xét ideal I sinh bởi các hàm http://dientuvietnam...imetex.cgi?f_i. Khi đó I là một ideal thực sự của C(X), vì mọi tập hữu hạn các phần tử của I đều có vô số không điểm chung. Vì các hàm http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f_i không có một không điểm chung nào trên toàn http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}. Nên ideal cực đại của C(X) chứa I cũng không bao gồm các hàm triệt tiêu tại một điểm nào đó của http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}.

Điều tương tự cũng đúng cho X=(0,1).

Tuy nhiên, như lý luận của noproof, câu 1 của bài toán sẽ đúng cho trường hợp X là một không gian topo compact.