Chủ đề này có 6 trả lời

[math123]

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác, $x,y,z$ là các số thực dương
CMR
$$(x+y+z)\left (\dfrac{xc^2}{a^2}+\dfrac{ya^2}{b^2}+\dfrac{zb^2}{c^2}  \right )\geq \left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}  \right ) (a^2yz+b^2zx+c^2xy)$$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng   sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 03/04 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.

[nhatquangsin]

(các bước biến đổi hơi tắt vì em chưa quen gõ latex)

Ta có: $\sum x.\sum \frac{xc^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}.\sum a^{2}yz$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}+\sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}-\sum xy\geq 0$ (1)

Vì: $\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}z^{2}}{c^{2}}\geq 2.\frac{b}{a}zx$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{c}{b}yz$

Thế vào (1) thì ta có:

$\sum (\frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}-yz+\frac{c}{b}yz)\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$ (2)

Vì vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử $a\leq c\leq b$$\Rightarrow \frac{a}{c}\leq 1;\frac{c}{b}\leq 1$

Và:

$(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3$

Nên: $ [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$

$\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 02-04-2013 - 22:17

[tieutuhamchoi98]

(các bước biến đổi hơi tắt vì em chưa quen gõ latex)

Ta có: $\sum x.\sum \frac{xc^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{1}{a^{2}}.\sum a^{2}yz$

$\Leftrightarrow \sum \frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}+\sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}-\sum xy\geq 0$ (1)

Vì: $\frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}+\frac{b^{2}z^{2}}{c^{2}}\geq 2.\frac{b}{a}zx$

$\Rightarrow \sum \frac{c^{2}x^{2}}{a^{2}}\geq \sum \frac{c}{b}yz$

Thế vào (1) thì ta có:

$\sum (\frac{(b^{2}-a^{2})yz}{c^{2}}-yz+\frac{c}{b}yz)\geq 0$

$\Leftrightarrow \sum [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$ (2)

Vì vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử $a\leq c\leq b$$\Rightarrow \frac{a}{c}\leq 1;\frac{c}{b}\leq 1$

Và:

$(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3$

Nên: $ [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$

$\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ đpcm

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c

Nếu giả sử thế thì còn phải chứng minh 2 BĐt nữa k tương đương vs BĐT này:

'''Vì vai trò của a,b,c như nhau nên giả sử $a\leq c\leq b$$\Rightarrow \frac{a}{c}\leq 1;\frac{c}{b}\leq 1$

Và:

$(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}+\frac{c}{b}\geq 3$

Nên: $ [(\frac{b}{c})^{2}+\frac{c}{b}-(\frac{a}{c})^{2}-1]yz\geq 0$

$\Rightarrow$ (2) đúng $\Rightarrow$ đpcm'''

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieutuhamchoi98: 03-04-2013 - 20:20

[WhjteShadow]

Cho $a,b,c$ là 3 cạnh tam giác, $x,y,z$ là các số thực dương
CMR
$$(x+y+z)\left (\dfrac{xc^2}{a^2}+\dfrac{ya^2}{b^2}+\dfrac{zb^2}{c^2}  \right )\geq \left (\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}  \right ) (a^2yz+b^2zx+c^2xy)$$

Mấy hnay bận ôn thi c10 quá k có tg làm bất đẳng thức ?@_@? Bài bạn ở trên giải sai do $a,b,c$ hoán vị nên không thể giả sử $a\leq c\leq b$.

----------

Khai triển 2 vế, ta đưa bất đẳng thức đầu bài về chứng minh:

$$x^2.\frac{c^2}{a^2}+y^2.\frac{a^2}{b^2}+z^2.\frac{b^2}{c^2}\geq \frac{b^2+c^2-a^2}{b^2}.xy+\frac{a^2+c^2-b^2}{c^2}.yz+\frac{a^2+b^2-c^2}{a^2}.zx$$

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên the0 định lý cosin, ta có thể đặt 

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Định nghĩa tương tự ch0 $\cos B,\cos C$, ta quy bài toán về chứng minh:

$$x^2.\frac{c^2}{a^2}+y^2.\frac{a^2}{b^2}+z^2.\frac{b^2}{c^2}\geq 2.\left(\cos A.\frac{c}{b}.xy+\cos B.\frac{a}{c}.yz+\cos C.\frac{b}{a}.zx\right)$$

Đặt $x.\frac{c}{a}=u,y.\frac{a}{b}=v,z.\frac{b}{c}=w$ ta có $u,v,w>0$ và cần chứng minh:

$$u^2+v^2+w^2\geq 2.\left(\cos A.uv+\cos B.vw+\cos C.wu\right)$$

Đây là 1 bất đẳng thức quen thuộc, có thể sử dụng PP tam thức bậc 2 để chứng minh ( Xem ở đây  (ví dụ 22) ) và ngoài ra còn 1 cách chứng minh bằng vector cũng khá thú vị như sau:

Xét các vector đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ nằm trên và cùng hướng với $\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{BC},\, \overrightarrow{CA}$, ta có $\left(\overrightarrow{i}.v+\overrightarrow{j}w+\overrightarrow{k}.u\right)^2\geq 0$, khai triển và để ý $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=-\cos B$ có ngay điều phải chứng minh.

Kết thúc chứng minh. ĐẲng thức xảy ra chẳng hạn $a=b=c,x=y=z$ $\blacksquare$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 03-04-2013 - 23:51

[tieutuhamchoi98]

Mấy hnay bận ôn thi c10 quá k có tg làm bất đẳng thức ?@_@? Bài bạn ở trên giải sai do $a,b,c$ hoán vị nên không thể giả sử $a\leq c\leq b$.

----------

Khai triển 2 vế, ta đưa bất đẳng thức đầu bài về chứng minh:

$$x^2.\frac{c^2}{a^2}+y^2.\frac{a^2}{b^2}+z^2.\frac{b^2}{c^2}\geq \frac{b^2+c^2-a^2}{b^2}.xy+\frac{a^2+c^2-b^2}{c^2}.yz+\frac{a^2+b^2-c^2}{a^2}.zx$$

Do $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh tam giác nên the0 định lý cosin, ta có thể đặt 

$$\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$$

Định nghĩa tương tự ch0 $\cos B,\cos C$, ta quy bài toán về chứng minh:

$$x^2.\frac{c^2}{a^2}+y^2.\frac{a^2}{b^2}+z^2.\frac{b^2}{c^2}\geq 2.\left(\cos A.\frac{c}{b}.xy+\cos B.\frac{a}{c}.yz+\cos C.\frac{b}{a}.zx\right)$$

Đặt $x.\frac{c}{a}=u,y.\frac{a}{b}=v,z.\frac{b}{c}=w$ ta có $u,v,w>0$ và cần chứng minh:

$$u^2+v^2+w^2\geq 2.\left(\cos A.uv+\cos B.vw+\cos C.wu\right)$$

Đây là 1 bất đẳng thức quen thuộc, có thể sử dụng PP tam thức bậc 2 để chứng minh ( Xem ở đây  (ví dụ 22) ) và ngoài ra còn 1 cách chứng minh bằng vector cũng khá thú vị như sau:

Xét các vector đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ nằm trên và cùng hướng với $\overrightarrow{AB},\, \overrightarrow{BC},\, \overrightarrow{CA}$, ta có $\left(\overrightarrow{i}.v+\overrightarrow{j}w+\overrightarrow{k}.u\right)^2\geq 0$, khai triển và để ý $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=-\cos B$ có ngay điều phải chứng minh.

Kết thúc chứng minh. ĐẲng thức xảy ra chẳng hạn $a=b=c,x=y=z$ $\blacksquare$

Liệu có cách nào dành cho THCS không anh?

CM bằng cos sin thì hơi ảo! 

[PSW]

Chấm bài 

WhjteShadow 50 điểm