Đến nội dung


Hình ảnh

Tìm GTLN của tổng S?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 HUYVAN

HUYVAN

    CTCVAK08

  • Hiệp sỹ
  • 1126 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Ninh Thuận

Đã gửi 20-09-2006 - 17:49

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?



#2 nhungvienkimcuong

nhungvienkimcuong

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 547 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Daklak
  • Sở thích:đã từng có

Đã gửi 31-07-2017 - 17:36

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?

$\bullet$ đầu tiên ta nhận xét là tập $\mathcal{S}$ có nhiều nhất $5$ phần tử

thật vậy giả sử $\left | S \right |\ge 6$

số tập con khác rỗng của $\mathcal{S}$ có nhiều nhất $4$ phần tử là $\begin{pmatrix} 6\\1 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\ 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 6\\4 \end{pmatrix}=56$

trong khi đó tổng các phần tử trong mỗi tập này $\le 15+14+13+12=54$

$\Rightarrow$ tồn tại $2$ tập con của $\mathcal{S}$ có tổng các phần tử bằng nhau,giả sử là  $\mathcal{A}$, $\mathcal{B}$

nếu $\mathcal{A}\cap \mathcal{B}=\varnothing$ thì mâu thuẫn với giả thiết

nếu $\mathcal{A}\cap \mathcal{B}=\mathcal{C}$ thì ta có $2$ tập $\mathcal{A}\setminus \mathcal{C},\mathcal{B}\setminus \mathcal{C}$ mâu thuẫn giả thiết

$\bullet$ do ta mong muốn có tập $\mathcal{S}$ nhiều phần tử nhất nên ta giả sử

$\mathcal{S}=\left \{ a,b,c,d,e \right \},\ a<b<c<d<e$

sau một hồi dự tính toán ta dự đoán được tập $\left \{ 8,11,13,14,15 \right \}$ là tập $\mathcal{S}$ cần tìm và giờ ta sẽ chứng minh =))

ta có 

$d+e\le 14+15=29,\ c\le 13$

có $\begin{pmatrix} 5\\2 \end{pmatrix}=10$ tập con có hai phần tử của $\mathcal{S}$

trong $10$ tập này thì $\left \{ d,e \right \},\left \{ a,b \right \}$ lần lượt là $2$ tập có tổng phần tử lớn nhất là nhỏ nhất nên

$a+b\le d+e-9\le 20$

$\Rightarrow a+b+c+d+e\le 20+13+29=62\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a+b=20\\c=13 \\d=14\\e=15 \end{matrix}\right.$


Đừng khóc vì chuyện đã kết thúc hãy cười vì chuyện đã xảy ra  ~O) 

Thật kì lạ anh không thể nhớ đến tên mình mà chỉ nhớ đến tên em  :wub: 

Chúa tạo ra vũ trụ của con người còn em tạo ra vũ trụ của anh  :ukliam2: 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2093 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 01-08-2017 - 16:58

Gọi tổng của một tập hợp là tổng các phần tử của tập hợp đó. Gọi S là tập các số nguyên dương không vượt quá 15. Giả sử rằng không có 2 tập con nào của S có tổng bằng nhau. Tìm GTLN của tổng S?

(Làm tiếp bài của @nhungvienkimcuong)

......................

trong $10$ tập này thì $\left \{ d,e \right \}$ và $\left \{ a,b \right \}$ lần lượt là $2$ tập có tổng các phần tử lớn nhất và nhỏ nhất nên

$a+b\leqslant d+e-9\leqslant 20$

Giả sử $a+b=20$

Vì $a< b< c\leqslant 13$ nên ta chỉ xét $2$ trường hợp sau :

+ $a=9$ ; $b=11$ : Khi đó $c,d,e$ lấy $3$ trong $4$ giá trị $12,13,14,15$ nên trong $3$ số e-d ; e-c ; d-c phải có $1$ số bằng $2$

                             Giả sử số đó là e-d. Khi đó ta có $b-a=e-d\Rightarrow a+e=b+d$ (loại)

                             Tương tự, nếu số đó là e-c hoặc d-c thì cũng loại.

+ $a=8$ ; $b=12$ : Khi đó $c=13$ ; $d=14$ ; $e=15$ và ta có $b+e=c+d$ (loại)

Từ đó suy ra $a+b\leqslant 19$.

Nếu chọn $a=8$ ; $b=11$ ta có $S=\left \{ 8,11,13,14,15 \right \}$ thỏa mãn điều kiện đề bài và tổng các phần tử của nó là $61$.


...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh