Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Mỗi tam giác nhọn $ABC$ liệu có tồn tại tứ diện vuông $OABC$ tại $O$?


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 28-09-2006 - 09:45

Ta biết rằng nếu $OABC$ là tứ diện vuông tại $O$ thì $ABC$ là tam giác nhọn. Hỏi các bạn là với mỗi tam giác nhọn $ABC$ liệu có tồn tại tứ diện vuông $OABC$ tại $O$?
1728

#2 Ke Vo Tinh

Ke Vo Tinh

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 18 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:Sao Hoả

Đã gửi 19-10-2012 - 13:19

Ta biết rằng nếu $OABC$ là tứ diện vuông tại $O$ thì $ABC$ là tam giác nhọn. Hỏi các bạn là với mỗi tam giác nhọn $ABC$ liệu có tồn tại tứ diện vuông $OABC$ tại $O$?

Bài này kết quả là có.
Thật vậy, xét tam giác nhọn $ABC$ bất kì có các cạnh $a,b,c$.Vì thế nên ta có $a^2+b^2-c^2 >0; b^2+c^2-a^2>0, c^2+a^2-b^2>0$
Trong không gian $Oxyz$ ta xét các tia $Ox, Oy, Oz$. Trên các tia này, lấy lần lượt $M, N, Q$ sao cho
$OM^2 = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2}, ON^2 =\dfrac{c^2+a^2-b^2}{2}, OP^2=\dfrac{a^2+b^2-c^2}{2}$
Rõ ràng, lúc này, ta có $OP^2+ON^2=PN^2=a^2, OP^2+OM^2=b^2, OM^2+ON^2=c^2$
Do đó $NP=a, PM=b. MN=c$
Rõ ràng, đây là độ dài 3 cạnh tam giác ta đang xét.
Nói một cách khác, luôn tồn tại một điểm O sao cho tứ diện $OABC$ là tứ diện vuông tại $O$
Ngoài ra, cũng có thể dễ dàng nhận ra rằng, tồn tại một phép hợp giữa một phép tịnh tiến và phép quay biến tam giác $ABC $ thành tam giác $MNP$.
Một điều thú vị đặt ra ở đây là, xét hệ không gian chỉ gồm tia $Ox, Oy, Oz$ và $ M, N, P$ lần lượt trên tia $Ox, Oy, Oz$ thì với tam giác $ABC$ bất kì thì luôn tồn tại $MNP$ thoả mãn $MNP$ bằng tam giác $ABC$ Nhưng với một điều kiện thích hợp, ta còn có thể mở rộng, không những "vuông" mà còn nhiều hơn thế :)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ke Vo Tinh: 19-10-2012 - 18:10


#3 watermelon

watermelon

    Lính mới

  • Thành viên
  • 6 Bài viết

Đã gửi 24-01-2013 - 23:41

Hình đã gửi
Ta sẽ chứng minh mỗi tam giác nhọn ABC, tồn tại tứ diện vuông DABC tại D.
Dựng mặt cầu tâm I ( trung điểm CB), đường kính CB.
Giả sử $\widehat{ICA}\leq \widehat{IAC}$; $\widehat{IBA}\leq \widehat{IAB}$ thì
$ \widehat{ICA}+\widehat{IBA}\leq \widehat{CAB}\\ \Leftrightarrow \widehat{ICA}+\widehat{IBA}+\widehat{CAB}\leq 2\widehat{CAB}\\
\Leftrightarrow 180^0\leq 2\widehat{CAB}\\ \Leftrightarrow 90^0\leq \widehat{CAB}$
(mâu thuẫn tam giác ABC nhọn)
Nên $\widehat{ICA}> \widehat{IAC}$;( khi đó IA> IC) hoặc $\widehat{IBA} > \widehat{IAB}$ ( khi đó IA > IB)
Nói cách khác $IA>\frac{BC}{2}$ hay A nằm ngoài mặc cầu tâm I. (1)

Dựng mặt phẳng (P) qua A vuông góc với BC cắt BC tại H,
Suy ra $BC\perp AH$,
AH là đường cao của tam giác ABC
nên H nằm trên đoạn BC ( vì nếu H nằm ngoài thì $\widehat{ABC}$ hoặc $\widehat{ACB}$ là góc tù)
Do đó mặt phẳng (P) cắt mặt cầu tâm I theo đường tròn (Q).
Mặt phẳng (P) chứa điểm A, H, và đường tròn (Q).
Trên mp(P), từ A vẽ 2 tiếp tuyến (từ (1), A nằm ngoài đường tròn (Q)), tương ứng là AD và AD'.

Ta sẽ chứng minh tứ diện DABC là tứ diện vuông.
Thật vậy.
BC là đường kính của mặt cầu, nên $ BD \perp BD$ (2)
Ta có:
$AD \perp ID$ ( Vì AD cũng là tiếp tuyến của mặt cầu tâm I)
$AD \perp BC$ ( Vì $BC \perp mp(P)$, $AD\subset mp(P)$)
Nên $AD \perp mp(BCD)$
Suy ra $AD \perp CD$ và $ AD \perp BD$ (3)
Từ (2) và (3), tứ diện DABC là tứ diện vuông.

Vây, mỗi tam giác nhọn ABC, tồn tại tứ diện vuông OABC ( ở đây $O\equiv D$) tại O.
Không những thế, qua chứng minh trên, mỗi tam giác nhọn ABC, đều có hai tứ diện vuông OABC và O'ABC.

#4 suchica

suchica

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 20 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:huyện Anh Sơn, tinh Nghệ An
  • Sở thích:học toán, viết lách, đi chơi với bạn bè

Đã gửi 10-08-2013 - 08:46

với mỗi tam giác nhọn ABC luôn tồn tai điểm O để tứ diện OABC vuông tại O đơn giản vì khi tam giác ABC nhọn thì giao ba đường cao của tam giác ABC luôn nằm trong tam giác ABC khi chiếu trên cùng một mặt phẳng áp dụng tính chất song song trên cùng một mặt phẳng  ta suy ra được giao của 3 đường cao chính là điểm O khi nằm trên cùng 1 mặt phẳng






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh