a pde problem
#1
Đã gửi 01-10-2006 - 08:02
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C^1
function.
1. Show that there is a unique weak solution to the above problem
provided that http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f is globally Lipschitz with sufficiently small Lipschitz constant L.
2. Is the above result still true provided that the Lipschitz
constant http://dientuvietnam...mimetex.cgi?Lis not sufficiently small?
3. More generally, what necessary and sufficient conditions on http://dientuvietnam...n/mimetex.cgi?f
for the existence and uniqueness of the weak solution to the above
problem?
#2
Đã gửi 01-10-2006 - 08:03
powerful Lax-Milgram's theorem to obtain $u_1$ in $H_0^1$ of the
problem . Induction gives you a {\em
convergent} sequence . The limit of the
sequence is the unique solution of the problem in the question. The
sufficient smallness plays a crucial role here.
#3
Đã gửi 01-10-2006 - 08:07
of the above problem provided that
for any
#4
Đã gửi 01-10-2006 - 08:22
study?
#5
Đã gửi 01-10-2006 - 10:53
Problem: understand the property of the Laplace operator on X, the spectral decomposition with respect to the Lie Group G.
Relation: apply the spectral decomposition to the group SO(3), and the Hilbert spaces are Sobolev spaces H, infinitisimally we tends very close to the above problems.
Tất cả các bài viết của KK khả năng nói sai và nói bậy là 100%.
#6
Đã gửi 07-10-2006 - 13:34
#7
Đã gửi 08-10-2006 - 17:45
bài này dùng phương pháp tách biến là ra mà ?5. Co' cach na`o tinh tat ca? eigenvalues and eigenfunctions in H_0^1 of Toan tu http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?-\Delta on U = [0,1]x[0,1]. (dang lam ma chua ra).
#8
Đã gửi 08-10-2006 - 17:50
với câu hỏi 1, có thể thao khảo cách dùng nguyên lý ánh xạ co Banach, cũng có thể dùng định lý điểm bất động Schauder (chưa công bố đc vì còn đang chờ đăng ở NoDEA..)Let U be a bounded open subset in R^n. Consider
provided that is a $C^1$
function.
1. Show that there is a unique weak solution to the above problem
provided that $f$ is globally Lipschitz with sufficiently small Lipschitz constant L.
2. Is the above result still true provided that the Lipschitz
constant $L$ is not sufficiently small?
3. More generally, what necessary and sufficient conditions on $f$
for the existence and uniqueness of the weak solution to the above
problem?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:29
#9
Đã gửi 08-10-2006 - 23:32
Cai he trong bai ba'c dua ngo' thay don gian qua. Khong biet may cai he nay dung de lam gi va thien ha van con nghien cuu may cai nay ta? Ba'c noi qua chut duoc khong? Noi luon cai kho khan cua kieu he nay la gi? Voi lai dung nguyen ly anh xa co lam rang buoc nhieu dieu kien nhi! Tung ra may dieu kien nhu trong dly 4.1 khong biet co khi nao xay ra khong hen? Minh biet mot cach khac nhu*ng dang nghi apply vao cai cua bac co duoc khong?
Co khi nao ba'c nghi chung minh luon cho he ma coupled xay ra ca o trong diffusion khong? Thuc ra minh biet rang thien ha chi da'm lam cho he semilinear la` vi` khong chung minh duoc toan tu nghiem compact neu nghien cuu may he quasilinear chang han. Minh co' du cong cu de vuot qua cai kho' nay.
5. Tach bien la ra lien nhung chung minh han complete thi can chut effort.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:29
#10
Đã gửi 09-10-2006 - 00:47
bác nói qua chút hệ đó khó khăn nằm ở đâu? và hệ này thiện hạ nghiên cứu đến đâu rồi?
Những điều kiện trong mấy kết quả của bác có khi nào xảy ra không? tại tui đọc thấy điều kiện nhiều quá (trong định lý 4.1). Sao bác không bàn chút về nó trong bài báo đó mà.
#11
Đã gửi 09-10-2006 - 00:56
1. Đối với phương pháp biến phân, sự tồn tại nghiệm được quy về sự tồn tại của điểm cực tiểu của phiếm hàm
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f kiểu như các điều kiện tăng trưởng, chẳng qua là thỏa mãn định lý qua núi mà thôi.
2. Đối với phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới, điều kiện thường đc đặt ra là dưới tuyến tính, đại loại là
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?f(0)=0
và
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?p-Laplacian, cách tấn công cũng ko có gì khác lắm, chẳng hạn
1. Có thể sử dụng phương pháp biến phân, biến phân đối ngẫu
2. Có thể sử dụng phương pháp lặp
3. Vẫn dùng được phương pháp toán tử đơn điệu
4. Vẫn sử dụng đc các nguyên lý cực đại mạnh và yếu, nguyên lý so sánh mạnh và yếu
Hiện tôi đang quan tâm đến bài toán biên Dirichlet tựa tuyến tính cho toán tử http://dientuvietnam...mimetex.cgi?p(x)-Laplacian trên miền bị chặn. Công trình này đã đc gửi đăng cho tạp chí Nonlinear Anal. T.M.A và chắc sẽ đăng thôi.
Các khó nhất trong PDEs, loại hệ này, thường là sự hạn chế của miền. Đối với miền bị chặn, ta đã có rất nhiều kết quả về sự tồn tại nghiệm cũng như tính duy nhất do có tính compắc của các anh xạ nhúng giữa các không gian Sobolev, khi ra miền vô hạn, các tính chất này không còn đúng, thường ng ta phải xấp xỉ nghiệm.
Mệt, đôi dòng lan man vậy đã, mong đc trao đổi tiếp..
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 09-10-2006 - 11:47
#12
Đã gửi 09-10-2006 - 02:15
Mình cũng biết rất sơ sơ mấy phương pháp bác bookworm_vn nói. Mình sẽ ngó lại kĩ hơn. Nhưng làm chọ hệ, theo mình biết, thì nguyên lý cực đại mạnh yếu gì đó (có phải là Maximum principles không?) làm gì còn nữa? vì vậy chuyện chứng minh compact cho toán tử nghiệm cũng không có ngay cả trường hợp miền bị chặn. Hệ bác bookworm_vn quan tâm compact ngay là do toán tử Laplace. nhưng nếu trong diffusions (k biết dịch) có cả u và v thì chết liền. đúng không?
Nói vậy là bài toán vẫn còn mở cho hệ như bookworm_vn xét khi thằng f và g xấu hơn chút.
Mình biết một cách có thể vui đó là: giả sử thằng F là toán tử nghiệm (giống công thức 2.1 trong bài bookworm_vn). Chọn quả cầu bự một chút để hệ F(\lambda U) không bằng U trên biên. \lambda trong [0,1]. Cái này cần vài điều kiện của f và g. sau đó xét homotopy F(\lambda U) để có index của F là 1. suy ra hệ đó có ít nhất một nghiệm.
Nếu (0,0) cũng là một nghiệm thì ngồi tính index của F tại không. nếu index này khác 1 thì suy ra có nghiệm không tầm thường. Muốn có nghiệm dương hẳn thì tính thêm mấy cái index trên biên và ép cho tổng nhưng index đừng bắng 1.
bookworm_vn nói sơ sơ ý toán của bài về p(x)-laplace được k?
bookworm_vn viet "Thường các bài PDEs mình làm là định tính nên không nhất thiết các đk đưa ra phải đẹp và đơn giản, làm sao đừng có vô lý là ổn rồi."
quan điểm của mình thì ngược lại: kết quả phải đẹp va đk đơn giản. Mấy đk & kq xấu nếu có thì để trong remark. hehe. nếu làm để có kq thì mình sẽ chán lắm. Mỗi người một quan điểm thôi.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuongrong: 09-10-2006 - 02:47
#13
Đã gửi 09-10-2006 - 11:55
#14
Đã gửi 10-10-2006 - 00:05
Chuyện maximum principles áp dụng cho hệ đường chéo kiểu này thì có gì lạ đâu. có khác gì mấy so với phường trình. thiên hạ làm đầy mà. cho hệ tum lum (không đường chéo) mói khó và rất ít kết quả, chưa kể là thiên hạ vô vọng vì nhiều phản ví dụ cho hệ hơn 3 pt như của: De Giorgi, Giusti & Miranda,...
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bookworm_vn: 12-10-2006 - 13:05
#15
Đã gửi 10-10-2006 - 00:10
#16
Đã gửi 10-10-2006 - 00:26
Tôi chỉ thắc mắc là: hoặc bài của bác làm vì trong ứng dụng nó thế, hoặc làm để cho vui (có kết quả) thì sao không chế thêm mấy thứ khác như là đạo hàm bậc nhất, hoặc tính phi tuyến của f,g sao đấy? tui chẳng biết.
#17
Đã gửi 10-10-2006 - 00:34
#18
Đã gửi 10-10-2006 - 00:42
xin lỗi, chắc hiểu nhầm. mình đang học năm nhất chương trình phd (chứ k phải cầm phd được 1 năm. hehe.)thế bác cho em vài hệ, lấy làm ví dụ xem nào, để anh em còn nhòm tí.. bác ở trình độ PhD thì quá đỉnh, em còn đang lẹt đẹt vì mới ra trường ĐH nè
mình nói rồi mà. Ví dụ là: lấy hệ của bác và trong phương trình thêm vào vài thứ như hàm phụ thuộc vào (hiển nhiên, sự phụ thuộc là không quá quadratics với hệ số leading cực nhỏ. lớn chết liền. Xem vdu5 trong Giaquinta).
Rồi muốn vui thì xét quasilinear luôn, nghĩa là đừng có Laplace thôi.
Tại vì bác không nói rõ ứng dụng nên tôi mói suy ra là làm cho vui. vậy thì xét thằng nào chẳng được miễn là lạ.
#19
Đã gửi 10-10-2006 - 01:08
Bác nói làm sạch thì hơi quá! Thằng f có phụ thuộc vào quái đâu.
Với lại hệ vẫn là semilinear mà?
Lên MathScinet search thấy nhiều qu'a.
Nói chung mình thấy. xét vậy cũng được, cũng hay. bác cho điều kiện của thằng f và g để anh em sáng mắt chút được không?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi xuongrong: 10-10-2006 - 01:09
#20
Đã gửi 10-10-2006 - 01:13
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh