Đến nội dung


Hình ảnh

Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất

psw

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1 girltinhnghich

girltinhnghich

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 11 Bài viết
  • Đến từ:huế

Đã gửi 15-03-2005 - 10:02

Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất



#2 BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo

Đã gửi 03-08-2012 - 23:39

PhotoShare(11).png
Hạ $EM \perp AB$
$\triangle BME:\text{ vuông tại M}$
$\angle B = 45^o$
$\Rightarrow \triangle BME:\text{ vuông cân}$
$\Rightarrow BM = EM$
Mặt khác, dễ dàng chứng minh $\triangle MED = \triangle ADF (\text{c.h-g.n})$
$\Rightarrow AD= EM =BM$
Đặt $AD=EM=BM = x$
$\Rightarrow MD = AB - BM - AD = 10 - 2x$
$2S_{DEF} = DE^2$ (để 2S đỡ phải frac friếc đau tay :P)
Vậy ta cần tìm $\text{min } DE^2$
Mặt khác, theo $\text{Pythagore}$ trong $\triangle MED$:
$DE^2 = DM^2 + EM^2$
$=x^2+(10-2x)^2$
$=5x^2-40x+100$
$=5(x^2-8x + 20)$
$=5(x-4)^2 + 20 \geq 20$ Vậy $\text{min } DE^2 = 20$
$\Rightarrow \text{min } S_{DEF} = 10$
Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow x = 4$
$\Rightarrow DB = DM + BM = 6$
$\Rightarrow DA = 4$
Kết luận: $S_{DEF} \text{ min } = 10$ khi $D$ cách $B$ một khoảng là 6, cách $A$ một khoảng là 4.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi BlackSelena: 03-08-2012 - 23:43


#3 The Gunner

The Gunner

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 93 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đà Nẵng

Đã gửi 04-08-2012 - 00:56

Cách khác.(hơi THPT tí)
Áp dụng định lí hàm cos trong tam giác CEF, đặt $CE=x, CF=y$ thì $EF^2=x^2+y^2-\sqrt{2}xy$ ( vì góc $C$ bằng $45^0$)
mặt khác $\widehat{CEF}=\widehat{DFA}=\widehat{BDE}$ (tính chất góc ngoài của tam giác)
Từ đó suy ra tam giác$BDE$ và $CEF$ đồng dạng, cho ta $BE:CF=DE:EF=\frac{1}{\sqrt{2}}$
Do đó $BC=BE+CE=\frac{y}{\sqrt{2}}+x$
(Dùng pp hệ số bất định ta sẽ chứng minh)
$x^2+y^2-\sqrt{2}xy \geq \frac{1}{5}\left(\frac{y}{\sqrt{2}}+x\right)^2 $
$<=> 9x^2+8y^2-12\sqrt{2}xy \geq 0$
$<=>(3x-2\sqrt{2}y)^ \geq 0$
đúng
vậy suy ra $EF \geq \frac{BC}{\sqrt{5}}$
Do đó ta tìm được $S_{DEF} \geq 10$
đằng thức xảy ra như trên :D

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi The Gunner: 04-08-2012 - 00:59

Những ngày cuối cùng còn học toán

winwave1995

#4 hoangtrunghieu22101997

hoangtrunghieu22101997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Thái Bình
  • Sở thích:TAEKWONDO

Đã gửi 04-08-2012 - 19:50

Hình đã gửi

Một số phát hiện :
1. Hạ $ AH \perp BC$ tại H
Hạ $DK \perp EF$ tại K
Chứng minh rằng : $\overline{A,H,K}$.
Thật vậy
Xét tứ giác $ADKF$ có $\hat{A}+\hat{K}=90^o+90^o=180^o$
Nên $ADKE$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{ADK}=\widehat{DFK}=45^o$
Mà $\widehat{DAH}=45^o$
Ta có $\overline{A,H,K}$.

2. Khi $S_{DEF}$ đạt giá trị nhỏ nhất .Tính $KH$.
Ta có :$AH=\dfrac{BC}{2}=5\sqrt{2}$
Áp dụng định lý Ptolemy trong tứ giác $ADKE$ nội tiếp có:
$AD.KF+DK.AF=DF.AK$
Mà $AD=4;KF=KD=\dfrac{DF}{\sqrt{2}}=\dfrac{EF}{2};AF=\sqrt{DF^2-AD^2}$.

Sự im lặng du dương hơn bất kỳ bản nhạc nào.


#5 Beautifulsunrise

Beautifulsunrise

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 450 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 04-08-2012 - 23:46

Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ nhỏ nhất

:wub:
h21424.JPG
H122134.jpg
Do đó ta có thêm BT1 sau:
Cho tam giác ABC vuông tại A, trên cạnh AC lấy điểm D. Dựng tam giác BDE vuông cân tại B với E khác phía A đối với BC. CE cắt AB tại F.
a) Tìm quỹ tích điểm E khi D di động trên cạnh AC.
b) Tìm Min của $BF^2+CD^2$
Và thêm BT 2:
h21424.JPG
Và thêm BT3:
Cho góc xOy vuông. Trên cạnh Ox, Oy lần lượt lấy điểm D, F sao cho OD + 2OF = a ( a cho trước). Trong góc xOy vẽ tam giác DEF vuông cân tại F. Tìm quỹ tích điểm E.
Và thêm 1 bài nữa:
BT4: Cho tam giác $ABC$ vuông cân có $AB=AC=10$. Tam giác $DEF$ vuông cân ở $D$ nội tiếp tam giác $ABC$ ($D$ thuộc $AB$, $F$ thuộc $AC$, $E$ thuộc $BC$). Xác định vị trí của điểm $D$ để diện tích tam giác $DEF$ lớn nhất. @_^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi binhmetric: 05-08-2012 - 12:55


#6 T*genie*

T*genie*

    Đường xa nặng bóng ngựa lười...

  • Quản trị
  • 1157 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Paris
  • Sở thích:Maths & Girls

Đã gửi 08-08-2012 - 18:24

Thay anh Thế tổng kết phát để ra đề mới (4 problems đầu tiên không quá căng thẳng để khởi động, problem thứ 5 sẽ là 1 bài olympic) :D

BlackSelena được 10 điểm
The Gunner, hoangtrunghieu22101997 & binhmetric mỗi người được 5 điểm.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh