Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 02-07-2014 - 23:22
$x^{y^2}=y^x$
#1
Đã gửi 13-10-2006 - 13:17
- nghiakvnvsdt, LNH, SuperReshiram và 4 người khác yêu thích
#2
Đã gửi 03-07-2014 - 02:41
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:$$x^{y^2}=y^x$$
Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$
Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương.
Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)
$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$
Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.
Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:
-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được.
-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$
Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.
-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.
Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ChinhLu: 03-07-2014 - 03:14
- E. Galois, Zaraki, nguyenlyninhkhang và 13 người khác yêu thích
#3
Đã gửi 03-07-2014 - 15:40
Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$
Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương.
Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)
$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$
Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.
Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:
-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được.
-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$
Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.
-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.
Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút
tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???
#4
Đã gửi 03-07-2014 - 16:01
thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút
tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???
Neu co mot index $i$ sao cho $\frac{n_i}{m_i}\leq 2$ thi tat ca cac phan so khac cung nho hon 2 (because they are all equal). Do do $x\leq y^2$ va dieu nay dan den $n_i\leq m_i$ (which is impossible).
- Viet Hoang 99, ner0dragOn và iamnhl thích
#5
Đã gửi 03-07-2014 - 19:17
Nếu môt trong hai số $x,y$ bằng $1$ thì số kia cũng là $1$. Bây giờ ta chỉ xét $x\geq 2, y\geq 2$
Ta viết $x=p_1^{n_1}...p_k^{n_k}$ trong đó $p_i$ là các số nguyên tố khác nhau và $n_i$ là các số nguyên dương.
Từ phương trình đã cho ta dễ dàng suy ra được rằng $y$ cũng được phân tích giống như $x$, nghĩa là $y=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$, trong đó $m_i$ là các số nguyên dương. Từ phương trình đã cho ta cũng suy ra được (vì các số $p_i$ là nguyên tố)
$$\frac{n_1}{m_1}=\cdots =\frac{n_k}{m_k}=\frac{x}{y^2}.$$
Bên cạnh đó ta cũng có $x>y$. Vì nếu không thì ta sẽ có $x^y\leq y$ (điều này là không thể, tại sao?). Từ đó ta suy ra được $n_i>m_i, \forall i$ và do đó $n_i > 2m_i, \forall i$.
Gọi $p$ là số nguyên tố lớn nhất trong các số $p_i$. Ta xét các trường hợp sau:
-TH1: $p\geq 5$. Ta tìm được $n>m\geq 1$ là các số nguyên dương trong những số $n_i,m_i$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq p^{n-2m}.$$
Bằng quy nạp ta chứng minh được $n>p^i m, \forall i$ và điều này cũng không thể xảy ra được.
-TH2: $p=3$. Tương tự như trên ta tìm được $n>m\geq 1$ sao cho
$$\frac{n}{m}\geq 3^{n-2m}.$$
Nếu đặt $x=\frac{n}{m}$ ta có $3^{x-2}\leq x$. Do đó $x$ không thể lớn hơn $3$. Nhưng $\frac{n}{m} \geq 3^{n-2m}\geq 3$. Vậy ta có $n=3m$ và $n-2m=1$, tức là $n=3,m=1$. Từ những đánh giá trên ta suy ra trong phân tích của $x,y$ không có số nguyên tố nào khác ngoài số $3$. Vậy ta có thêm một nghiệm nữa là $x=27, y=3$.
-TH3: $p=2$. Làm tương tự như trên ta tìm được nghiệm $x=16, y=2$.
Kết luận: $x=y=1$, $(x=27, y=3)$, $(x=16, y=2)$ là 3 nghiệm nguyên dương của phương trình đã cho.
thấy có nhiều ng thích thì chắc đúng ,cái chỗ khó nhất bài thì k chứng minh,mà chỉ ns do đó?mọi người cho t hỏi chút
tại sao có ni > mi với mọi i thì lại ra ni>2mi với mọi i ???
$n_{i}> m_{i}\Rightarrow x> y^2$ (vì $\frac{n_{i}}{m_{i}}=\frac{x}{y^2}$)
Mà $x=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}...p_{k}^{n_{k}}$ và $y^2=p_{1}^{2m_{1}}p_{2}^{2m_{2}}...p_{k}^{2m_{k}}$ nên $n_{i}> 2m_{i},\forall i$
Riêng bài của bạn ChinhLu có chỗ viết "$x$ không thể lớn hơn $3$" nhưng sau đó lại có $x=27$ và $x=16$ (mâu thuẫn) nên mình xin sửa lại một chút như sau :
Giả thiết thêm rằng $p_{1}> p_{2}> ...> p_{k}$
TH1 : $p_{1}\geqslant 5$ (như bạn ChinhLu đã làm)
TH2 : $p_{1}=3$
$\frac{n_{1}}{m_{1}}=\frac{x}{y^2}\leqslant 3^{n_{1}-2m_{1}}$
Đặt $q=\frac{n_{1}}{m_{1}}$ ($q\in \mathbb{N}^+$, $q> 2$).Suy ra $3^{m_{1}\left ( q-2 \right )}\leqslant q$ (*)
+ Nếu $m_{1}=1$ : $3^{q-2}\leqslant q\Rightarrow q=3\Rightarrow n_{1}=qm_{1}=3$
+ Nếu $m_{1}\geqslant 2$ : $\left ( 3^{m_{1}} \right )^{q-2}\leqslant q$ (Không có giá trị $q$ thích hợp)
Với $m_{1}=1;n_{1}=3$ thì dấu bằng xảy ra ở (*) suy ra trong phân tích của $x$ và $y$ chỉ có thừa số nguyên tố duy nhất là $p_{1}=3$.Vậy $x=p_{1}^{n_{1}}=3^3=27$ ; $y=p_{1}^{m_{1}}=3^1=3$
TH3 : $p_{1}=2$
Làm tương tự ta được $x=p_{1}^{n_{1}}=2^4=16$ ; $y=p_{1}^{m_{1}}=2^1=2$
- HoangHungChelski yêu thích
...
Ðêm nay tiễn đưa
Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh