Đến nội dung


Hình ảnh

Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng $ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 6 trả lời

#1 toanhocmuonmau

toanhocmuonmau

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 438 Bài viết
  • Đến từ:Cần Thơ
  • Sở thích:yêu và chỉ yêu 1 người thôi: Hằng ơi, anh yêu em!!!!!!!!!!!!!

Đã gửi 20-10-2006 - 12:14

Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 08-03-2012 - 12:32

The love makes us stronger!

V. Q. B. Can


#2 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 17-02-2013 - 23:29

Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $

  • Bổ đề:Cho $a,b,c >0$ . Ta có

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\ge \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}$ (*)

  • Chứng minh:

$(*)\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})\ge (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+\frac{bc^{3}}{a}+\frac{ca^{3}}{b}+\frac{ab^{3}}{c}\ge a^{3}+b^{3}+c^{3}+\sum_{sym}^{a,b,c}a^{2}b$


$\Leftrightarrow \frac{bc^{3}}{a}+\frac{ca^{3}}{b}+\frac{ab^{3}}{c}\ge a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ (1)


Áp dụng AM-GM:

$\frac{ab^{3}}{c}+\frac{ca^{3}}{b}\ge 2a^{2}b$


$\frac{ca^{3}}{b}+\frac{bc^{3}}{a}\ge 2c^{2}a$


$\frac{bc^{3}}{a}+\frac{ab^{3}}{c}\ge 2b^{2}c$


Cộng vế theo vế 3 bdt trên => (1) đúng

=> Bổ đề được chứng minh

Áp dụng bổ đề, thay $xy+yz+zx=1$ vào ta có

$VT\ge (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})-2(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(x+y+z-2)(x^{2}+y^{2}+z^{2})$



Đặt $x+y+z=p$

Mặt khác ta có:

$x+y+z\ge \sqrt{3(xy+yz+zx)}=\sqrt{3}$


$(x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2})=p^{3}-2p^{2}-2p+4$


$\Leftrightarrow (p-\sqrt{3})[p^{2}+(\sqrt{3}-2)p+1-2\sqrt{3}]\ge 0$


$\Leftrightarrow (p-\sqrt{3})(p+1,44...)(p-1.909...)\ge 0$ (đúng)

nên


$(x+y+z-2)(x^{2}+y^{2}+z^{2}) \ge \sqrt{3}-2$


=> dpcm



Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi doandat97: 18-02-2013 - 13:15


#3 provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-02-2013 - 08:36

$\sqrt{3}-2 >0$

nên

$(x^{2}+y^{2}+z^{2})(x+y+z-2)\ge 1.(\sqrt{3}-2)=\sqrt{3}-2$


$\Rightarrow$dpcm


Dấu = xảy ra khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Xin lỗi chỗ này hình như có vấn đề???

Hình đã gửi


#4 Joker9999

Joker9999

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 659 Bài viết
  • Giới tính:Nữ
  • Đến từ:K46- Toán1 Chuyên Sư Phạm
  • Sở thích:Nghe nhạc, đánh đàn guitar và làm BDT

Đã gửi 18-02-2013 - 09:55

Cho $ x,y,z>0$ thỏa $ xy+yz+zx=1$. Chứng minh rằng
$ \sum\dfrac{x^2}{y} -2(x^2+y^2+z^2) \geq \sqrt{3} -2 $

Bài trên của bạn ý tưởng giống mình, chỉ có điều sai phần cuối hơi nhỏ. Mình cũng sử dụng bổ đề giống bạn ( lấy trong sách anh Cẩn) nên coppy paste lun:D

Lời giải:
  • Bổ đề:Cho $a,b,c >0$ . Ta có

$\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a}\ge \frac{(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{ab+bc+ca}$ (*)

  • Chứng minh:

$(*)\Leftrightarrow (ab+bc+ca)(\frac{a^{2}}{b}+\frac{b^{2}}{c}+\frac{c^{2}}{a})\ge (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2})$


$\Leftrightarrow a^{3}+b^{3}+c^{3}+a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b+\frac{bc^{3}}{a}+\frac{ca^{3}}{b}+\frac{ab^{3}}{c}\ge a^{3}+b^{3}+c^{3}+\sum_{sym}^{a,b,c}a^{2}b$


$\Leftrightarrow \frac{bc^{3}}{a}+\frac{ca^{3}}{b}+\frac{ab^{3}}{c}\ge a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$ (1)


Áp dụng AM-GM:

$\frac{ab^{3}}{c}+\frac{ca^{3}}{b}\ge 2a^{2}b$


$\frac{ca^{3}}{b}+\frac{bc^{3}}{a}\ge 2c^{2}a$


$\frac{bc^{3}}{a}+\frac{ab^{3}}{c}\ge 2b^{2}c$


Cộng vế với vế có ngay đpcm.
Trở lại bài toán:
Áp dụng trực tiếp bổ đề cần CM:

$(x+y+z)(x^2+y^2+z^2)+2-\sqrt{3}-2(x^2+y^2+z^2)\geq 0$

Thay $x^2+y^2+z^2=(x+y+z)^2-2$ và đặt $x+y+z=p$ ta có đpcm tương đương:

$p^3-2p^2-2p+6-\sqrt{3}\geq 0$

$\Leftrightarrow (p-\sqrt{3})(p^2+(\sqrt{3}-2)p-2\sqrt{3}+1)\geq 0$

Do $xy+xz+yz=1\Rightarrow p^2=(x+y+z)^2\geq 3\Rightarrow p\geq \sqrt{3}$ và $f(p)=(p^2+(\sqrt{3}-2)p-2\sqrt{3}+1)=$$p(p+\sqrt{3}-2)-2\sqrt{3}+1\geq \sqrt{3}(2\sqrt{3}-2)-2\sqrt{3}+1=7-4\sqrt{3}>0$
Từ đây có đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Joker9999: 18-02-2013 - 10:01

<span style="font-family: trebuchet ms" ,="" helvetica,="" sans-serif'="">Nỗ lực chưa đủ để thành công.


.if i sad, i do Inequality to become happy. when i happy, i do Inequality to keep happy.

#5 Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quảng Bình

Đã gửi 18-02-2013 - 13:04

:D

hu hu, đang nằm ngủ thì chợt nhận ra chỗ này, đang định vào đánh lại thì Joker1999 làm y xì như rứa rồi T.T
(mà thực ra quan trọng nhất cái bổ đề nhỉ :ukliam2: )
________________________________-----
@Joker: Cái bổ đề của a Cẩn quen thuộc rồi mà

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Sagittarius912: 15-03-2013 - 22:40


#6 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1322 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-02-2013 - 13:04

Cách khác ( Đang định ém hàng chờ có hoa hồng rồi p0st ~~ )
Do $x+y+z\geq \sqrt{3}$ nên ta cần chứng minh:
$$\frac{x^2}{y}+\frac{y^2}{z}+\frac{z^2}{x}-x-y-z\geq 2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$$
$$\Leftrightarrow \sum \left(\frac{x^2}{y}+y-2x\right)\geq \sum (x-y)^2$$
$$\Leftrightarrow \sum (x-y)^2.\left(\frac{1}{y}-1\right)\geq 0$$
Đặt $S_z=\frac{1}{y}-1,S_y=\frac{1}{x}-1,S_x=\frac{1}{z}-1$. Ta sẽ chứng minh:
$$S_x+S_y+S_z\geq 0$$
Thật vậy the0 AM-GM thì: $$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{xyz}}>3$$
Nên bđt luôn đúng.
Cuối cùng ta phải chứng minh:
$$S_xS_y+S_yS_z+S_zS_x\geq 0$$
$$\Leftrightarrow x+y+z+3xyz\geq 2$$
Đặt $x+y+z=p\geq \sqrt{3},xyz=r$.
Nếu $p\geq 2$ ta có ngay đpcm.
Nếu $p\leq 2$ thì the0 Schur: $r\geq \frac{p(4-p^2)}{9}$. Nên ta cần chứng minh:
$$p-2+\frac{p(4-p^2)}{3}\geq 0$$
$$\Leftrightarrow (2-p)[p(p+2)-3]\geq 0$$
Luôn đúng do $2\geq p\geq \sqrt{3}$.
Vậy bất đẳng thức đúng the0 tiêu chuẩn 5 của SOS. Đẳng thức xảy ra tại $x=y=z=\frac{1}{\sqrt{3}}$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 18-02-2013 - 13:07

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing


#7 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 25-03-2013 - 22:28

Chấm bài:

Joker9999: 10 điểm

 

WhjteShadow: 5 điểm 


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh