Đến nội dung


Hình ảnh

$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{KS}{LS}\leq 3$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 21-10-2006 - 20:00

Cho tứ diện $ABCD$  có $S$ là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua $S$ cắt các mặt của tứ diện tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{KS}{LS}\leq 3$$


1728

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 18-06-2014 - 22:07

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng    @};- cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng    @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 19/06 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 18-06-2014 - 23:16

Cho tứ diện $ABCD$  có $S$ là trọng tâm. Một đường thẳng đi qua $S$ cắt các mặt của tứ diện tại $K$ và $L$. Chứng minh rằng: $$\dfrac{1}{3}\leq\dfrac{KS}{LS}\leq 3$$

Gọi $A',B',C',D'$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$, $ACD$, $ABD$, $ABC$ $\Rightarrow$ các đường thẳng $AA',BB',CC',DD'$ đồng quy tại $S$.

Trước hết ta chứng minh $\frac{SA}{SA'}=\frac{SB}{SB'}=\frac{SC}{SC'}=\frac{SD}{SD'}=3$

Chọn $2$ trong $4$ đoạn $AA',BB',CC',DD'$, chẳng hạn ta chọn $AA',BB'$.Gọi $E$ là trung điểm của $CD$.

Xét tam giác $ABE$ có $\frac{EA'}{EB}=\frac{EB'}{EA}=\frac{1}{3}\Rightarrow A'B'//AB$

$\Rightarrow \frac{SA}{SA'}=\frac{SB}{SB'}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{EA}{EB'}=3$

Vì $AA',BB'$ là $2$ đoạn chọn tùy ý trong $4$ đoạn trên nên suy ra $\frac{SA}{SA'}=\frac{SB}{SB'}=\frac{SC}{SC'}=\frac{SD}{SD'}=3$

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử $\Delta$ là đường thẳng qua $S$ và cắt các mặt $ACD$ và $BCD$ của tứ diện ($\Delta \cap \left ( ACD \right )=P$ ; $\Delta \cap \left ( BCD \right )=Q$)

Gọi $AP\cap CD=M$ ; $MQ\cap BC=N$ $\Rightarrow \left ( APQ \right )\cap \left ( BCD \right )=MN\Rightarrow A'\in MN$ ; $Q\in MN$

Qua $A$, kẻ đường thẳng $t//MN$ ; $t\cap PQ=P'$

+ Nếu $P\equiv A,Q\equiv A'\Rightarrow \frac{SP}{SQ}=\frac{SA}{SA'}=3$ (1)

+ Nếu $P\neq A$ :

  Ta có $\frac{SP}{SQ}< \frac{SP'}{SQ}=\frac{SA}{SA'}=3$ (2)

(1),(2) $\Rightarrow \frac{SP}{SQ}\leqslant 3$ (3)

 

+ Nếu $K\equiv P,L\equiv Q$ : Khi đó từ (3) suy ra $\frac{SK}{SL}\leqslant 3$ (4)

+ Nếu $K\equiv Q,L\equiv P$ : Khi đó từ (3) suy ra $\frac{SK}{SL}=\frac{SQ}{SP}\geqslant \frac{1}{3}$ (5)

 

(4),(5) $\Rightarrow \frac{1}{3}\leqslant \frac{SK}{SL}\leqslant 3$

(Dấu bằng thứ nhất và thứ hai lần lượt xảy ra khi $L$ và $K$ lần lượt trùng với một đỉnh bất kỳ của tứ diện $ABCD$)


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 19-06-2014 - 07:44

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh