Lang thang trên Mathscinet tìm được bài báo, trong review có trích dẫn rằng:
Mọi nhóm con http://dientuvietnam...tex.cgi?p-Sylow của một nhóm đối xứng http://dientuvietnam...mimetex.cgi?S_m đều đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm dạng
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?C_p có lẽ là nhóm cyclic cấp http://dientuvietnam.../mimetex.cgi?p.
Để hiểu được nhóm con Sylow của nhóm đối xứng, tốt nhất là ta hãy bắt đầu bằng vài ví dụ cụ thể. Ở đây tôi chỉ xét trường hợp p=2.
1. S_4:
Thông thường khi đi tìm nhóm con Sylow của một nhóm cho trước, người ta hay bắt đầu bằng việc tìm kiếm các 2-nhóm con quen thuộc, rồi sau đó tìm cách mở rộng chúng, nếu cần thiết.
Đối với nhóm S_4 thì ta có thể thấy ngay là mỗi một xích (cycle) (12) và (34)
cảm sinh một nhóm con bậc 2, và vì chúng rời nhau nên tích trực tiếp của chúng cũng nằm trong S_4.
Vậy bước đầu ta có một nhóm con bậc 4, gồm các phần tử:
H = <(12), (34), (12)(34), id>
Vì nhóm con 2-Sylow của S_4 phải có bậc 8 nên ta cần tìm một mở rộng G của H sao cho H là nhóm con có chỉ số 2 trong G.
Để ý rằng có thể xem H như là nhóm các phép giao hoán của bốn phần tử {1,2,3,4} mà không làm thay đổi hai khối (block) {1,2} và {3,4}. mặt khác, ta cũng có thể giao hoán các phần tử của hai khối cho nhau. Các phép giao hoán như vậy gồm có :
(13)(24), (14)(23), (1324), (1423), id.
Các phần tử này cùng với các phần tử của nhóm H lập thành một nhóm có bậc 8 (nhóm dihedral D_8), chính là nhóm Sylow cần tìm (tất nhiên không phải là duy nhất). Từ cách xây dựng các bạn có thể hiểu vì sao người ta gọi là "tích bện" (wreath product) - bắt đầu từ hai khối giống nhau, được xoắn (hay bện) với nhau để tạo thành nhóm con Sylow.
2. S_6
Đối với S_6 thì ta có thể qui về trường hợp nhóm đx nhỏ hơn bằng cách nhận xét rằng nhóm con S_4 x S_2 của S_6 có chỉ số (trong S_6) là một số lẻ (chính xác là 15). Vì thế nhóm con 2-Sylow của S_4 x S_2 cũng là nhóm con 2-Sylow của S_6. Từ đó ta có
Syl_2 (S_6) = G x Z/2
3. Từ ví dụ của S_6, ta rút ra một nhận xét quan trọng sau đây: Với một số n cho trước, giả sử biểu diễn nhị phân của n là n = n_0 2^0 + ... + n_k 2^k.
Thế thì nhóm con (S_{2^k})^n_k x .... (S_2)^{n_1} và S_n có cùng nhóm 2-Sylow (chứng minh: đếm số lũy thừa của 2).
Tóm lại, từ bây giờ ta chỉ cần quan tâm đến trường hợp n là một lũy thừa của 2, n=2^k.
4. S_8
Nhóm con 2-Sylow của S_8 có bậc 2^7.
Ta sử dụng phép qui giản (reduction) như sau. Đầu tiên ta có phép nhúng một cách tự nhiên tích trực tiếp của hai nhóm S_4 trong S_8 : S_4 x S_4 -> S_8. Vì thế S_8 chứa tích G x G (bậc 64), ở đây G là nhóm con 2-Sylow của S_4 ở trên. Mặt khác ta cũng có thể giao hoán hai bản G cho nhau để lập thành một nhóm mới (dùng tích nửa trực tiếp) có bậc 128.
5. S_{2^{k+1}}
Nói chung, để xây dựng nhóm con 2-Sylow của S_{2^{k+1}} thì ta dùng hai nhóm con 2-Sylow của S_{2^k} rồi mở rộng chúng bằng một phép giao hoán như ở trên.
Bằng qui nạp, ta có tích bện k lần của nhóm Z/2 là nhóm con 2-Sylow của S_{2^k} như canhdieu đã viết.
Bài tập :-)
1. Tìm cái tâm (centralizer), cái chuẩn (normalizer) và nhóm Weyl của nhóm 2-Sylow của S_4 trong S_4.
2. Câu hỏi tương tự với S_6, S_8.
3. Tổng quát?
Câu hỏi:
4. Tìm nhóm con 2-Sylow của nhóm thay phiên (Alternating group) A_4, A_6, A_8, A_n?
1 mod p. Tuy nhien trong truong hop nay` thi` cung van phai gia thiet p la` prim factor cua n.
