Chủ đề này có 10 trả lời

[ngocson52]

Tôi xin giới thiệu những bài (đoạn) đối thoại khá hay về những vấn đề triết học của toán học trong cuốn sách của nhà toán học người Hungary Alfréd Rényi: ìĐối thoại về toán học” (Văn Như Cương dịch, Nxb KH&KT, 1975). Tôi sẽ không viết lời giới thiệu về cuốn sách này vì tác giả đã có một bài ìlời nói sau” cho nó rồi (tôi sẽ đưa nó lên như là lời nói đầu). Như tôi đã có lần nói trong bài viết về Socartes (cũng ở trong box Triết học này), rằng tác giả đã dùng phương pháp đối thoại của Socartes và ìmượn nhời” các nhà Triết học, khoa học nổi tiếng để trình bày những vấn đề khá phức tạp về bản chất của toán học, về đối tượng của toán học, về sự ứng dụng của toán học, ... sao cho nó nó thật dễ hiểu để mọi người, kể cả không chuyên về toán, cũng đọc được. Chính vì thế mà nội dung của các đối thoại là của Rényi 100%, tác giả chỉ mượn của Socartes cái hình thức trình bày, mượn lời các nhà bác học để phát ngôn cho quan điểm của mình mà thôi.
Chính vì sự đặc biệt trong cách trình bày mà những vấn đề trong cuốn sách trở nên đặc biệt dễ hiểu và rất dễ nhớ (tôi tin rằng mục đích ìphổ cập” kiến thức của tác giả đã rất thành công). Đây là cuốn sách cần cho tất cả mọi người chứ chẳng riêng gì những người học toán.
Về tác giả Rényi, tôi sẽ có một bài viết giới thiệu ở dưới (về người dịch là GS Văn Như Cương thì chắc ai cũng biết rồi). Tất cả tên riêng trong cuốn sách đều được người dịch phiên âm sang tiếng Việt nên tôi sẽ tôn trọng và để nguyên như thế. Tôi sẽ đưa từng đoạn ngắn lên cho dễ đọc và cũng là cho dễ chú thích; chú ý là các chú thích (và bài tiểu sử về tác giả) là của tôi.
Thật may mắn là tôi có mấy người bạn đang học đánh 10 ngón nên tiện thể nhờ họ ìmổ cò” luôn cuốn sách này. Tôi sẽ đưa dần lên đây (vì mỗi ngày họ chỉ mổ cò được vài trang thôi), khi nào đầy đủ sẽ tập hợp lại thành ebook. Mọi người cố gắng chờ (và cho ý kiến) nhé!
Có thể nhiều người đến với diễn đàn là để thảo luận và xem những bài viết ngắn gọn (không có kiên nhẫn ngồi đọc cả một bài viết dài, chứ đừng nói là một cuốn sách). Tuy nhiên tôi có một lời khuyên cho những ai chưa đọc cuốn sách này (và đang có ý định đọc nó), đó là các bạn nên dành một chút thời gian để đọc (và kiên nhẫn đọc) một cách cẩn thận. Tôi đánh cá rằng không những các bạn cảm thấy thú vị với những lời đối thoại độc đáo, mà còn thu được khá nhiều kiến thức về những vấn đề Triết học của toán học dù trước đó bạn không mấy rành về lĩnh vực này.

Trước khi bắt đầu tôi xin giới thiệu tiểu sử vắn tắt về tác giả cuốn sách: nhà toán học hiện đại người Hungray: Alfréd Rényi.

[ngocson52]

Alfréd Rényi (1921-1970)



Alfréd Rényi (1921-1970), sinh và mất ở Budapest, Hungary. Ông là người sáng lập và 20 năm làm giám đốc Viện toán học của Viện Hàn lâm Khoa học Hungary. Rényi nhận học vị tiến sĩ ở Szeged về chuỗi Cauchy-Fourier (Cauchy-Fourier series) dưới sự hướng dẫn của nhà toán học nổi tiếng F. Riesz; ông từng làm việc ở Nga cùng nhà toán học Linnk về lý thuyết số. Về sau ông trở về Hungary và tập trung vào nghiên cứu lý thuyết xác suất, và ông làm việc trong lĩnh vực này cho đến lúc qua đời.
Ngay từ khi còn học PT, ông được giáo dục về văn chương nhiều hơn là về khoa học. Có lẽ điều đó một phần lý giải tại sao lối hành văn của ông lại độc đáo đến vậy (đọc cuốn sách của ông, chúng ta biết thêm được rất nhiều kiến thức về nhiều lĩnh vực khác nhau). Rényi là một người rất nổi tiếng vì tài kể chuyện của mình, và ông thường nói chuyện với con gái của mình về bản chất của toán học. Rất có thể những lời đối thoại dưới đây cũng bắt nguồn từ những câu chuyện ấy.

[ngocson52]

Bìa cuốn sách dịch tiếng Việt của Nxb KH&KT

[ngocson52]

LỜI NÓI SAU
(Chú ý rằng đây là lời nói sau của cuốn sách nhưng tôi đưa nó lên như là LỜI NÓI ĐẦU – ngocson52)

Tôi không viết lời nói đầu cho sách, vì tin rằng cuốn sách sẽ nói thay cho tác giả. Tôi nghĩ là bạn đọc sẽ hiểu hết những điều mình định nói mà không cần phải giải thích gì thêm. Mặc dầu lạc quan như vậy tôi vẫn cảm thấy rằng trong trường hợp này nếu không cần có một lời nói đầu, thì ít ra cũng có một lời nói sau về mục đích của tác giả và về những suy nghĩ khiến cho tác giả chọn thể loại đối thoại cho cuốn sách này. Tôi viết những dòng này vào lời nói sau, vì thực tế là tôi muốn bạn đọc sẽ đọc nó sau khi đọc các đối thoại.
Sự quan tâm tới toán học và ứng dụng của nó ngày càng tăng. Đã nhiều lần tôi được đề nghị viết những bài phổ biến về toán học; mỗi lần như thế tôi đều nhận thấy là đa số người muốn hiểu rõ những vấn đề như: toán học thực ra là cái gì, phương pháp của nó có gì đặc biệt, quan hệ của nó với khoa học chính xác và khoa học xã hội như thế nào? Tôi cũng đã thấy nhiều người khi đi nghe những bài giảng tương tự như vậy về toán học hoặc đọc một cuốn sách phổ biến về toán, đều mong muốn nhanh chóng mở rộng tầm mắt của mình, nhưng lại không muốn biết những phương pháp đặc thù của toán học. Ngay cả những người thực sự cần đến toán học trong công tác của mình, trước khi quyết định nghiên cứu một cách nghiêm túc một ngành toán học nào đó, thường mong muốn biết xem điều đó sẽ mang lại lợi ích gì cho họ, bởi vì đối với những người không quen thì toán học quả thật là khó.
Khi nói chuyện về toán với những người không làm toán, tôi thường thấy có nhiều định kiến, nhiều hiểu biết không đúng, nhiều quan niệm không đúng không phải chỉ ở những người mà những hoạt động của họ không liên quan tới ngành khoa học này, mà thậm chí còn ở một số người, công việc của họ cần đến những kiến thức nhất định của toán học. cũng không ngạc nhiên khi một số người có một ít kiến thức, nhưng không có một nhãn quan đủ rộng và một sự sâu sắc cần thiết, thường nêu ra những luận điểm sai lầm. tôi cũng thấy là các nguyên tắc toán học và những ứng dụng của nó thường được các nhà toán học thảo luận, và nhiều vấn đề còn cần phải tranh cãi.
Tất cả những cái đó đã khiến cho tôi thấy cần phải giải thích những vấn đề cơ bản của toán học và của sự áp dụng toán học bằng một phương pháp, sao cho những người không chuyên môn cũng có thể hiẻu được, đồng thời cũng nêu lên được tất cả sự phức tạp của vấn đề. Tôi biết rằng giải thích những điều đó cho thật dễ hiểu là một điều khó khăn, và bởi vậy tôi phải tìm một phương pháp đặc biệt nào đó. Tôi nhớ tới hình thức đối thoại của Xôcrat. Đối thoại của Xôcrat trình bày những tư tưởng trong quá trình hình thanh ra chúng. Nhờ thế người đọc sẽ chú ý theo dõi sự phát triển của tư tưởng đó và dễ dàng hiểu được nó.
Tôi đã chọn câu hỏi ìBản chất của toán học là gì?” làm chủ đề cho đối thoại thứ nhất. Theo tôi vấn đề này đặc biệt quan trọng, bởi vì sự giáo dục toán học ở trường phổ thông hiện nay không cho phép trả lời câu hỏi đó một cách đúng đắn, rõ ràng và hiện đại.
Trong đối thoại thứ nhất, tôi đã cố gắng theo đúng phương pháp, và thậm chí cả ngôn ngữ nữa, của đối thoại Xôcrat. Xôcrat là một nhân vật của đối thoại, và cuộc nói chuyện xảy ra vào lúc toán học mới bắt đầu sinh ra (với ý nghĩa là người ta bắt đầu hiểu nó). Như vậy toán học sẽ được trình bày với bạn đọc ìtrong quá trình hình thành ra nó”.
Trong lúc đối thoại bằng cách nêu ra những câu hỏi, Xôcrat đã dần dần dẫn dắt người nghe tới sự hiểu biết bản chất của vấn đề. Đối thoại của Xôcrat không phải là một cuộc tranh luận giữa hai khái niệm, mà là sự góp sức cùng nhau giải thích một chân lý. Bằng cách phân tích một cách hợp lôgic các khái niệm phức tạp, những người tham gia đối thoại sẽ từng bước tìm ra lời giải đáp. Họ thường nêu ra những kết luận – đôi khi có vẻ rất dứt khoát – nhưng rồi sau đó lại phát hiện ra là kết luận đó không đúng. Như vậy đối thoại của Xôcrat là một chỉnh thể có tổ chức, ý nghĩa của nó chỉ có thể hiểu được nếu đọc từ đầu đến cuối một cách liên tục. Những điều đó làm cho đối thoại của Xôcrat rất sinh động và sáng sủa, và bởi vậy tôi đã chọn hình thức đó cho phù hợp với mục đích của mình.
Ngoài ra còn có một nguyên nhân nữa, đó là: tôi tin chắc rằng phương pháp của Xôcrat rất gần gũi với phương pháp toán học. Niềm tin đó của tôi càng được củng cố sau khi có công trình nghiên cứu cơ bản của Arpada Xabô, đã rọi những ánh sáng mới mẻ vào sự phát sinh của nền toán học cổ Hy Lạp.
Đối thoại thứ nhất được xuất bản ở Hunggari năm 1962. Năm 1963 xuất hiện bản dịch ra tiếng Pháp trên báo ìLes cahiers rationalistes”. Năm 1963, tôi có giới thiệu đối thoại này trong lúc nói chuyện với các nhà vật lý Mỹ ở Eđmôngtôn, và bản dịch ra tiếng Anh được công bố trong ìCanadian Mathematical Bulletin” và trong ìPhysics Today”, và sau đó in lại trong tạp chí ìSimon Stevin”. Ít lâu sau xuất hiện bản dịch ra tiếng Đức và tiếng Pooctugan.
Việc các nhà toán học và các nhà không phải toán học đón tiếp nồng nhiệt đối thoại thứ nhất đã khuyến khích tôi phát triển kinh nghiệm của mình. Đối thoại thứ hai lần đầu tiên ra mắt ở trường Đại học Tôrôns năm 1964 và sau đó dịch ra tiếng Anh trong tạp chí ìOntario Mathematics Gazette” và rồi trong ìSimon Stevin”.
Vì trong đối thoại thứ nhất tôi chỉ đề cập tới quan hệ giữa toán học và thực tế trong ý nghĩa triết học chung nhất, nên trong đối thoại thứ hai tôi muốn thảo luận một cách chi tiết hơn vấn đề ứng dụng của toán học. Có lẽ việc chọn Acsimét làm nhân vật chính của đối thoại là hợp lý, vì tên tuổi của ông ngay từ thời cổ đại đã gắn liền với việc áp dụng toán học. Tuy vậy phạm vi lịch sử của đối thoại thứ hai đã không cho phép tôi trình bày hết tất cả những điều mà tôi muốn nói về vấn đề đang còn cần phải bàn cãi đó.
Và chính vì vậy, tôi lại thấy cần phải viết một đối thoại thứ ba, mà nhân vật chính là Galilê, nhà tư tưởng đầu tiên của của một thời kỳ mới, người hiểu rất rõ giá trị quyết định của phương pháp toán học trong việc phát hiện những quy luật của thiên nhiên, và là người đã tích cực truyền bá tư tưởng của mình với một nghị lực phi thường. Đối thoại thứ hai và thứ ba bổ sung lẫn cho nhau và bổ sung cho đối thoại thứ nhất ở hình thức và ngữ điệu. Acsimét và Galilê cố nhiên không sử dụng phương pháp của Xôcrat: đáng lẽ phải dẫn dắt người nói chuyện với mình đến chỗ để anh ta tự đoán ra được tư tưởng của mình, thì đằng này Acsimét và Galilê tự mình nói ra tất cả. Như vậy là tôi tự bỏ mất một tình trạng căng thẳng rất hấp dẫn, luôn luôn thấy trong đối thoại của Xôcrat. Để bù lại, tôi đã chọn những hoàn cảnh lịch sử quan trọng, mà sự phát triển của nó có liên quan mật thiết tới chủ đề của đối thoại.
Việc đưa ra hình ảnh của Acsimét và Galilê đã cho phép đề cập đến trong những đối thoại này những vấn đề toán học cụ thể hơn trong đối thoại thứ nhất, và đặc biệt là những tư tưởng lớn đã phát sinh trong thời đại của Acsimét và Galilê.
Nhân đây tôi thấy cần phải nói vài lời về việc tôi đã sử dụng các sự kiện lịch sử như thế nào. Trong cả ba đối thoại tôi đã cố tránh để không gán cho các nhân vật của mình những kiến thức toán học (và cả những kiến thức của các ngành khác), mà họ không thể có được thời bấy giờ. Tuy nhiên Acsimét cũng như Galilê là những người đi tiên phong, những tư tưởng và phương pháp suy nghĩ của họ không những chỉ đi trước thời đại của họ, mà ngay bây giờ vẫn còn là những tư tưởng và phương pháp hiện đại, bởi vậy tôi đã không ngần ngại khi đưa vào trong đối thoại những gì tôi cho là quan trọng. Dĩ nhiên, để tránh khỏi sự gán ghép không đúng, tôi buộc phải giới hạn về cơ bản trên những thí dụ của toán học sơ cấp. Tôi đề cập đến toán học của các đại lượng vô cùng bé chỉ ở trong mức độ như Acsimét và Galilê đã làm được. Về vấn đề này, tôi không đưa ra những thí dụ quá khó đối với các bạn đọc không chuyên toán.
Tôi không đề ra cho mình một yêu cầu là phải sử dụng các sự kiện lịch sử một cách chính xác, khi cần phải mô tả các quan điểm và ý nghĩ của các nhân vật, tôi tự cho phép mình gán cho họ những quan điểm và ý nghĩ mà họ nhất định là đã có, bởi vì chúng là sự phát triển một cách hợp lôgic của những tư tưởng mà họ đã am hiểu. Tôi cũng không giấu giếm những ý nghĩ sai lầm của nhân vật. Ví dụ Galilê cho rằng các hành tinh chuyển động chung quanh mặt trời theo một quỹ đạo là đường tròn. Một vài giả thuyết táo bạo tôi cũng cho là có thể thừa nhận được, ví dụ giả thuyết nói rằng Acsimét đã có một số suy nghĩ về Xibecnêtic và đã chế tạo một chiếc máy để tìm ra số nguyên tố. Tôi không thể chứng minh những giả thuyết tương tự bằng tài liệu cụ thể nào, và dĩ nhiên tôi không cho là mọi người đều biết những giả thuyết đó; điều duy nhất mà tôi có thể nói được, là chúng có vẻ hợp lý. Chúng ta không đủ sức để chứng minh hoặc bác bỏ chúng. Và tôi nghĩ rằng cái ìtự do trong văn chương” cho phép tôi sử dụng những giả thuyết đó.
Còn về bối cảnh lịch sử của đối thoại thứ hai và thứ ba thì tôi đã cố gắng trung thành với các sự kiện. Có một ngoại lệ duy nhất, đó là khi tôi viết hoàng đế Hêrôn đã lãnh đạo cuộc phòng thủ thành Xiracút năm 212 trước công nguyên. Sự thật thì ông ta đã chết 3 năm trước đó. Trong cả ba đối thoại đều có những giả định mà chúng ta không hề biết một cách chắc chắn. Ví dụ kế hoạch bỏ trốn của Galilê: không chắc là Tôrixenli và các bạn ông có chuẩn bị một kế hoạch như vậy hay không, nhưng dẫu sao điều đó cũng có thể đã xảy ra.
Nội dung cơ bản của một số câu nói trong các đối thoại đều hoặc là do chính các nhân vật của tôi đã nói, hoặc do những người đương thời với họ kể lại. Thí dụ, khi Xôcrat nói về mình, khi Acsimét nói về phương pháp của mình, và khi Galilê nói về ngôn ngữ của cuốn sách thiên nhiên. Những câu nói đó đều được in nghiêng. Còn về đối thoại thứ ba, thì vở kịch ìGalilê” của Laslô Nêmet đã có ảnh hưởng: tôi đã nhặt trong đó hai nhân vật là Tôrixenli và phu nhân Nicôlini.
Tôi hy vọng ìlời nói sau” đã giải thích được mục đích của tôi khi viết các đối thoại. Tôi có thực hiện được mong muốn của mình hay không, điều đó do bạn đọc xét xử.

[ngocson52]

Phần I
ĐỐI THOẠI VỀ BẢN CHẤT CỦA TOÁN HỌC


Xôcrat (1). Anh đang tìm ai đấy, hỡi anh bạn Hypôcrat (2) thân mến của tôi?


Hypôcrat. Không, thưa ngài Xôcrat, bởi vì tôi đã tìm thấy người tôi định tìm. Tôi đã đi tìm ngài khắp nơi. Một người nào đó ở quảng trường nói với tôi rằng hắn trông thấy ngài đang đi dạo dọc theo bờ sông Ilixos. Thế là tôi theo ngài ngay.

Xôcrat. Nếu vậy anh hãy nói rõ: anh đến đây làm gì? Sau đó tôi muốn hỏi thêm anh về cuộc nói chuyện hôm trước giữa chúng ta và Prôtagor (3). Anh còn nhớ cuộc nói chuyện đó chứ?

Hypôcrat. Ngài lại còn phải hỏi nữa ư? Không một ngày nào tôi lại không suy nghĩ về nó. Và chính hôm nay tôi đến để xin ngài một lời khuyên, bởi vì tôi không thể nào quên đi được.

Xôcrat. Như vậy là, Hypôcrat ạ, anh muốn nói về những vấn đề mà chính tôi cũng đang muốn thảo luận với anh. Hai đề tài nói chuyện là một. Hình như các nhà toán học đã lầm, khi họ cho rằng hai không bao giờ bằng một.

Hypôcrat. Vấn đề là ở chỗ, thưa ngài Xôcrat, các nhà toán học luôn luôn đúng.

Xôcrat. Nhưng, Hypôcrat, dĩ nhiên là anh biết tôi không phải là nhà toán học. Tại sao anh lại không nêu những câu hỏi của mình với ông Teôdor (4) nổi tiếng?

Hypôcrat. Tôi hết sức sửng sốt, thưa ngài Xôcrat, đó chính là câu hỏi mà tôi muốn nêu ra với ngài. Tôi muốn ngài cho biết, tôi có nên trở thành học trò của Teôđor hay không? Lần trước khi tôi định đi học Prôtagor, chúng ta đã cùng nhau tới ông ta, và chính ngài, qua cuộc nói chuyện, đã làm cho tôi thấy một cách hoàn toàn rõ ràng rằng ông ta không hiểu chững vấn đề đang được nói tới. Cuộc nói chuyện đó đã giúp tôi biết cái gì không nên làm, nhưng lại không chỉ cho tôi cái gì cần phải làm. Mà tôi thì rất muốn biết điều đó. Tôi thường cùng với bạn bè có mặt trong các bữa tiệc lớn và trong các trường huấn luyện, và điều đó tuy cũng thú vị đấy, nhưng không làm tôi thỏa mãn. Tôi cảm thấy mình dốt nát. Nói đúng hơn, tôi cảm thấy những kiến thức của tôi không lấy gì làm chắc chắn. Trong lúc nghe ngài nói chuyện với Prôtagor, tôi mới biết là những hiểu biết của tôi về những vấn đề đơn giản như: trí thông minh, sự công bằng, lòng dũng cảm... thật là hoàn toàn nghèo nàn. Bây giờ thì có lẽ tôi chỉ biết được chắc chắn một điều: đó là sự dốt nát của mình.

Xôcrat. Tôi rất vui mừng, Hypôcrat thân mến ạ, vì anh rất hiểu tôi. Tôi luôn luôn tự nói với mình một cách chân thành rằng tôi không hề biết gì cả. Sự khác biệt giữa tôi và đa số người khác có lẽ chính là ở chỗ: tôi không hề tưởng rằng mình biết những điều mà thực ra là mình không biết (5).

Hypôcrat. Điều đó chứng minh sự sáng suốt của ngài, thưa ngài Xôcrat. Nhưng đối với tôi ngần ấy chưa đủ. Tôi rất muốn có những hiểu biết cơ bản và chắc chắn, và tôi mãi mãi không có hạnh phúc chừng nào tôi chưa đạt được nguyện vọng đó. Cách đây không lâu, Teatet (6) nói với tôi rằng, những kiến thức chắc chắn chỉ có thể có trong toán học, và khuyên tôi nên nghiên cứu toán học dưới sự hướng dẫn của Teôdor, một người đang đi hàng đầu về lý thuyết số và hình học. Tôi không muốn mắc lại sai lầm như lần trước, khi định trở thành học trò của Prôtagor. Bởi vậy, thưa ngài Xôcrat, xin ngài hãy nói cho tôi hay, tôi sẽ sẽ có được những kiến thức sâu sắc mà tôi mong muốn hay không, nếu tôi nghiên cứu toán học dưới sự hướng dẫn của Têôdor?

Xôcrat. Nếu anh muốn nghiên cứu toán học thì anh không thể tìm được ông thầy nào tốt hơn Teôdor, người bạn đáng kính của tôi. Nhưng anh phải quyết định xem, có đúng là anh muốn nghiên cứu toán học thật hay không? Không ai có thể biết rõ mong muốn của anh hơn chính anh.

Hypôcrat. Tại sao ngài lại từ chối giúp đỡ tôi, thưa ngài Xôcrat? Hay tôi đã vô tình làm cho ngài phật ý chăng?

Xôcrat. Anh không hiểu tôi, anh bạn trẻ của tôi ạ. Tôi không giận anh, nhưng anh đòi hỏi ở tôi những điều không thể có được. Mỗi một người đều phải tự mình quyết định xem mình muốn gì. Tôi chỉ có thể giúp đỡ anh giống như một bà đỡ, khi mà những quyết định của anh sắp được sinh ra.

Hypôcrat. Tôi mong ngài đừng từ chối, ngài Xôcrat đáng kính, và nếu có thể được, ngài cho phép chúng ta bắt đầu ngay cuộc nói chuyện.

Xôcrat. Được thôi, nếu anh đòi kỳ được như vậy. Chúng ta hãy đến dưới bóng mát của hàng cây kia và bắt đầu. Nhưng trước tiện anh hãy nói xem, anh có đồng ý tiến hành cuộc nói chuyện theo một phương pháp do tôi đề nghị hay không? Tôi sẽ đặt cho anh những câu hỏi, và anh sẽ trả lời chúng. Kết quả là anh sẽ hiểu rõ hơn những điều mà anh đã nắm được, và do đó những hạt giống kiến thức trong con người anh sẽ bắt đầu nảy mầm. Tôi hy vọng rằng anh sẽ không giống hoàng đế Đaria, người đã giết chết anh chàng lọc quặng, vì từ quặng đồng hắn chỉ lọc ra được đồng chứ không phải là vàng như nhà vua mong muốn. Tôi hy vọng rằng anh luôn luôn nhớ là từ đống quặng ta chỉ có thể lấy được những gì có chứa trong đó.

Hypôcrat. Tôi xin thề là tôi sẽ không bao giờ oán trách ngài vì một điều gì, nhưng, vì thần Dớt (1), chúng ta hãy bắt đầu ngay đi.
-------------------*--------------------
Chú thích, vì không có nhiều ìdiện tích” và cũng là không có thời gian nên tôi sẽ chú thích rất ngắn gọn thôi)

1. Xôcrat (Socrates, 469-399 trước C.N), nhà triết học duy tâm cổ Hy Lạp, nhà tư tưởng của giới quý tộc chủ nô. Các bạn có thể xem chi tiết trong bài về Socrates ở trong box Triết học, hay click chuột vao day.
2. Hypôcrat (Hippocrates, khoảng 470-410 trước C.N) là một nhà hình học nổi tiếng, người được biết đến với những bài toán cầu phương hình tròn (squaring the circle) và gấp đôi hình lập phương (duplicating the cube). Hypôcrat là người đầu tiên nghiên cứu những hình giới hạn bởi các cung tròn, gọi là hình trăng lưỡi liềm (hay hình viên phân). Ông đã chỉ ra rằng diện tích của các hình này bằng với diện tích của những tam giác nhất định, và diện tích của các hình viên phân đồng dạng thì tỉ lệ với bình phương các đường kính của chúng. Hypôcrat cũng là người đầu tiên viết quyển ìCơ bản” về hình học.

3. Prôtagor (Protagoras ở Abdera, khoảng 480-411 tr. CN), nhà triết học duy tâm chủ quan và nhà ngụy biện cổ Hy lạp, người được biết tới với một luận đề nổi tiếng ìCon người là thước đo của mọi vật” (Man is the measure of all things). Về quan điểm trong toán học, Prôtagor phủ nhận tính chất trừu tượng trong toán học (điểm không có kích thước, đường thẳng không có bề dày,...) do những khó khăn từ các nghịch lý của Zeno mang lại.

4. Teôdor (Theodorus ở Cyrene, khoảng 465-398 trước C.N), nhà triết học lớn của Cyrenaic (thuộc Libya, châu Phi) cùng thời với Xôcrat. Teôdor cũng là một nhà toán học trứ danh, học trò của Prôtagor. Chính ông là người đã dạy Plato những kiến thức về toán học khi Plato này du lịch đến vùng đất Cyrene (Sau khi Xôcrat bị xử tử, Plato đã bỏ trốn khỏi Aten và đi khắp nơi). Về toán học, Teôdor có công lớn vào sự ra đời và phát triển của sô vô tỉ. Teôdor đã chỉ ra căn bậc hai của các số không chính phương từ 3 đến 17, là số vô tỉ.

5. Những đoạn được in nghiêng và viết bằng chữ màu xanh là những câu nói (hay quan điểm) của chính nhân vật đó chứ không phải do tác giả cuốn sách bịa ra. Những đoạn này được in nghiêng trong cuốn sách; ở đây tôi nhấn mạnh bằng cách tô màu để mọi người dễ nhận ra.

6.Teatet (Theaetetus ở Athens, khoảng 417-369 trước C.N), là học trò xuất sắc nhất của Teôdor. Teatet là nhân vật chính trong một cuốn sách của Plato có tên Theaetetus; đó là cuộc tranh luận giữa ông, Xôcrat và Teôdor (thày của Teatet), và ngày nay người ta biết đến Teatet chủ yếu là do tác phẩm này của Plato. Về toán học, Teatet cùng với thày mình đã đi những bước đầu tiên trong việc nghiên cứu các số vô tỉ. Teatet đã khám phá ra định lý nổi tiếng: ìNếu diện tích hình vuông không phải là số chính phương, thì cạnh của nó không thông ước (commensurable) với cạnh của hình vuông đơn vị”. Nhiều nhà nghiên cứu lịch sử toán học đã cho rằng, có nhiều lý do để nói tập X và XIII cuốn "Elements" của Ơclit gần như là mô tả lại tác phẩm của Teatet. Thậm chí có người nói tập X là của Teatet hoàn toàn.

7. Thần Dớt (Zeus) là vị thần tối cao (người cai quản bầu trời và các vị thần trên ngọn núi Ôlympia) trong thần thoại Hy Lạp. Thần Zeus là người giống với thần Jupiter trong thần thoại La Mã.

[ngocson52]

Xôcrat. Đồng ý! Bây giờ anh hãy trả lời: anh có biết toán học là gì không? Tôi chắc rằng anh sẽ đưa ra được một định nghĩa của toán học, nếu quả thật anh muốn nghiên cứu nó.

Hypôcrat. Tôi nghĩ rằng bất kỳ một đứa trẻ nào cũng có thể làm được như vậy. Toán học là một trong những khoa học, hơn thế là một trong những khoa học tuyệt diệu nhất.

Xôcrat. Tôi muốn anh mô tả bản chất của toán học, chứ đâu có phải là đi ca ngợi nó. Rất có thể là anh sẽ hiểu rõ hơn những điều tôi muốn giải thích, nếu ta xét một khoa học khác, y khoa chẳng hạn. Nếu tôi hỏi anh về nghệ thuật chữa bệnh, chắc là anh sẽ trả lời rằng, nó có liên quan tới sức khỏe và bệnh tật. Mục đích của nó là chữa bệnh và giữ gìn sức khỏe. Có phải như vậy không?

Hypôcrat. Ngài nói đúng.

Xôcrat. Còn làm thế nào để chẩn đoán và chữa bệnh, thì chỉ có các thày thuốc mới biết, mà thực ra thì họ cũng chẳng biết được bao nhiêu. Nhưng nhiệm vụ của y học là ở chỗ làm thế nào để biết tất cả những cái đó. Thế đối với toán học thì có gì khác không?

Hypôcrat. Lần này thì mong ngài hãy giải thích cho tôi, bởi vì tôi không thấy được một cách rõ ràng sự khác nhau đó.

Xôcrat. Vậy thì anh hãy trả lời tôi: nghệ thuật chữa bệnh nghiên cứu những cái đang tồn tại, hay là những cái không tồn tại? Nếu như không có thầy thuốc, thì có bệnh tật hay không?

Hypôcrat. Dĩ nhiên là có, và thậm chí còn nhiều hơn bây giờ.

Xôcrat. Ta lại xét khoa học khác, ví dụ như thiên văn học. Anh có đồng ý là các nhà thiên văn nghiên cứu sự chuyển động của các ngôi sao không?

Hypôcrat. Tôi tin như vậy.

Xôcrat. Nếu tôi hỏi anh: có phải các nhà thiên văn làm việc với những cái đang tồn tại hay không, thì anh trả lời như thế nào?

Hypôcrat. Tôi trả lời: - Đúng!

Xôcrat. Thế những ngôi sao có tồn tại nữa hay không, nếu không có các nhà thiên văn?

Hypôcrat. Dĩ nhiên là vẫn tồn tại. Thậm chí nếu như thần Dớt trong một cơn tức giận có tiêu diệt toàn bộ loài người đi chăng nữa, thì những ngôi sao vẫn tỏa sáng trên bầu trời. Nhưng tại sao chúng ta lại nói chuyện về thiên văn học, mà không phải về toán học?

Xôcrat. Đừng nóng vội như thế, anh bạn trẻ của tôi ạ. Chúng ta hãy xét một ngành khoa học khác, để có thể so sánh với toán học. Những người nghiên cứu các loài động vật sống trong rừng hay dưới biển sâu, những người đó anh gọi họ là gì?

Hypôcrat. Đó là những nhà sinh vật học.

Xôcrat. Anh có đồng ý là những nhà bác học đó chỉ nghiên cứu những con vật đang tồn tại không?

Hypôcrat. Đồng ý.

Xôcrat. Thế những người quan tâm đến các lớp đất đá, và biết những lớp nào chứa những loại gì, thì anh gọi họ là gì?

Hypôcrat. Các nhà khoáng vât học.

Xôcrat. Họ nghiên cứu những cái đang tồn tại, hay những cái thực ra là không có?

Hypôcrat. Hết sức rõ ràng: những cái đang tồn tại.

Xôcrat. Bây giờ liệu ta có thể khẳng định rằng: mỗi một khoa học đều nghiên cứu những cái đang tồn tại, hay không?

Hypôcrat. Đúng thế!

[ngocson52]

Socrates

Xôcrat. Bây giờ, anh bạn trẻ, anh nói xem, đối tượng nghiên cứu của toán học là gì? Các nhà toán học đang nghiên cứu những gì?

Hypôcrat. Tôi đã hỏi Teatet điều đó. Ông ta trả lời rằng các nhà toán học đang nghiên cứu các số và các hình dạng hình học.

Xôcrat. Câu trả lời rất đúng và không thể tìm được câu khác tốt hơn. Nhưng ta có thể khẳng định rằng các số và các hình đang tồn tại không?

Hypôcrat. Dĩ nhiên, làm sao mà chúng ta lại có thể nói về chúng, nếu chúng không tồn tại?

Xôcrat. Anh nói đúng, nhưng đó chính là điều làm tôi bối rối. Ta lấy các số nguyên tố làm ví dụ. Các số nguyên tố còn tồn tại nữa hay không, nếu không có các nhà toán học?

Hypôcrat. Tôi đã bắt đầu hiểu ngài muốn gì. Có lẽ vấn đề không đơn giản như tôi nghĩ, và tôi phải thú nhận rằng tôi không biết nên trả lời câu hỏi của ngài như thế nào?

Xôcrat. Ta hãy đặt vấn đề khác đi một tí: anh cho rằng những ngôi sao vẫn cứ xuất hiện trên bầu trời, nếu không có ai quan sát chúng, và những con cá vẫn cứ bơi lội, nếu không có ai bắt chúng có phải không?

Hypôcrat. Dĩ nhiên. Làm sao mà chúng ta có thể nói về chúng, nếu chúng không tồn tại?

Xôcrat. Vậy nếu không có các nhà toán học thì có những số nguyên tố không? Nếu có, thì chúng ở đâu?

Hypôcrat. Tôi không biết trả lời ra sao đây. Rõ ràng là nếu các nhà toán học suy nghĩ về số nguyên tố, thì điều đó có nghĩa là chúng tồn tại trong nhận thức của họ, nhưng nếu vậy, không có các nhà toán học thì cũng không thể có các số nguyên tố.

Xôcrat. Như thế có nghĩa là anh cho rằng toán học học nghiên cứu những cái không tồn tại?

Hypôcrat. Chúng ta phải thừa nhận như vậy.

Xôcrat. Nếu nói rằng các nhà toán học nghiên cứu những cái hoặc hoàn toàn không tồn tại, hoặc tồn tại, nhưng không giống như những ngôi sao, con cá tồn tại, thì liệu tôi có đúng không?

Hypôcrat. Hoàn toàn đúng.

Xôcrat. Bây giờ ta xét vấn đề theo một quan điểm khác. Tôi viết nên bảng con số 37. Anh trông có rõ không?

Hypôcrat. Rõ!

Xôcrat. Và anh có thể sờ vào nó được không?

Hypôcrat. Dĩ nhiên!

Xôcrat. Như thế là các số tồn tại?

Hypôcrat. Ngài giễu tôi đấy ư, thưa ngài Xôcrat. Nếu tôi vẽ lên bảng một con rồng bảy đầu, thì lẽ nào điều đó lại chứng tỏ rằng một con rồng như vậy đã tồn tại. Tôi chưa bao giờ được gặp thấy người đã trông thây rồng. Tôi khẳng định con rồng chỉ tồn tại trong các truyện cổ tích. Rất có thể là tôi nhầm, và những con rồng thực tế là đã có ở đâu đó trước khi có trận đại hồng thủy chẳng hạn.

Xôcrat. Anh không nhầm, anh Hypôcrat ạ, và tôi cũng đồng ý với anh. Như vậy, mặc dầu chúng ta nói về các con số và thậm chí còn có thể viết chúng, thực tế là chúng vẫn không tồn tại?

Hypôcrat. Dĩ nhiên!

Xôcrat. Không nên đi đến những kết luận vội vàng. Ta hãy giải quyết thêm một vấn đề nữa. Liệu tôi có đúng không khi tôi nói rằng ta có thể đếm được các con cừu trên đồng cỏ hoặc các tàu bè trên hải cảng?

Hypôcrat. Có!

Xôcrat. Thế các con cừu và tàu bè có tồn tại không?

Hypôcrat. Không nghi ngờ gì nữa.

Xôcrat. Nhưng nếu những con cừu tồn tại, thì số các con cừu cũng phải tồn tại chứ sao?

Hypôcrat. Ngài lại giễu tôi rồi. Các nhà toán học không đếm cừu, đó là việc của những người chăn cừu.

Xôcrat. Anh nghĩ rằng các nhà toán học không nghiên cứu số lượng các con cừu, các con tàu hoặc những đối tượng hiện thực khác, mà chỉ nghiên cứu bản thân các con số thôi ư? Và như vậy họ chỉ quan tâm đến những cái gì chỉ tồn tại trong nhận thức của họ?

[ngocson52]

Xôcrat. Anh nghĩ rằng các nhà toán học không nghiên cứu số lượng các con cừu, các con tàu hoặc những đối tượng hiện thực khác, mà chỉ nghiên cứu bản thân các con số thôi ư? Và như vậy họ chỉ quan tâm đến những cái gì chỉ tồn tại trong nhận thức của họ?

Hypôcrat. Chính tôi nghĩ như vậy.

Xôcrat. Anh nói: Teatet cho rằng toán học nghiên cứu các số và các hình dạng toán học. Thế hình dạng? Hình dạng có tồn tại hay không?

Hypôcrat. Có tồn tại. Chúng ta có thể trông thấy, ví dụ như hình dạng tuyệt đẹp của chiếc lọ, và chúng ta có thể sờ bằng tay.

Xôcrat. vẫn còn một điều không rõ ràng. Nếu anh nhìn vào cái lọ, thì anh trông thấy cái gì? Cái lọ hay hình dáng cái lọ?

Hypôcrat. Cả hai.

Xôcrat. Cũng sẽ xảy ra như vậy khi anh nhìn vào con cừu. Như thế là anh trông thấy cả con cừu và cả bộ lông của nó?

Hypôcrat. Sự so sánh ấy rất đạt.

Xôcrat. Nhưng tôi lại cho rằng nó khập khễnh như thần Hêphaistôt (1). Anh có thể cắt bộ lông cừu ra khỏi con cừu và trông thấy con cừu không có lông cũng như trông thấy bộ lông không có con cừu. Nhưng anh có thể tách hình dáng cái lọ ra khỏi cái lọ không?

Hypôcrat. Tôi cho rằng không ai có thể làm được điều đó.

Xôcrat. Thế mà anh vẫn tin rằng có thể trông thấy hình dạng hình học.

Hypôcrat. Bây giờ tôi đã bắt đầu nghi ngờ.

Xôcrat. Ngoài điều đó ra, nếu các nhà toán học nghiên cứu hình dáng của chiếc lọ, phải gọi họ là thợ đồ gốm chăng?

Hypôcrat. Hẳn như vậy.

Xôcrat. Và do đó, nếu Teôđor là một nhà toán học xuất sắc, thì đồng thời ông ta cũng là một người thợ đồ gốm giỏi. Nhiều người đã ca ngợi ông ta, nhưng chưa có ai lại nói rằng ông ta lại biết tý chút nào về công việc đồ gốm, thậm chí tôi còn ngờ rằng ông ta chẳng làm nổi một cái chậu đơn giản nhất. Hay là các nhà toán học chỉ làm việc với hình dạng của các bức tượng hoặc các tòa lâu đài?

Hypôcrat. Trong trường hợp đó họ lại phải là các nhà người nặn tượng hoặc các kiến trúc sư.

Xôcrat. Vậy đấy, anh bạn của tôi ạ, chúng ta đi đến kết luận rằng: các nhà toán học trong khi nghiên cứu hình học, đã quan tâm, không phải là hình dạng của các đối tượng hiện thực như là cái lọ, mà là những hình dạng chỉ tồn tại trong nhận thức của họ. Anh đồng ý chứ?

Hypôcrat. Tôi buộc phải đồng ý.

Xôcrat. Chúng ta đã khẳng định rằng các nhà toán học nghiên cứu những đối tượng chỉ tồn tại trong ý thức của họ chứ không tồn tại trong thực tế. Bây giờ ta hãy thảo luận điều khẳng định của Teatet - mà anh đã có lần nhắc đến – nói rằng toán học cho ta một niềm tin vững chắc vào tri thức hơn các khoa học khác. Thế ông ta có nêu ra một vài thí dụ nào không?

Hypôcrat. Có, ông ta nói rằng không ai có thể biết được khoảng cách chính xác từ Aphinơ tới Spactac. Dĩ nhiên, những nhà du lịch biết rằng họ đi đoạn đường đó biết bao nhiêu ngày, nhưng không thể biết được số lượng chính xác là bao nhiêu bước chân trên khoảng cách đó. Tuy nhiên bất kỳ ai cũng có thể tính được độ dài đường chéo của một hình vuông, bằng cách áp dụng định lý Pytagor. Teatet còn nói thêm rằng không ai có thể biết được chính xác con số những người dân sống trong Elađa này. Và nếu có ai định làm điếu đó, thì nó không thể đạt được kết quả thực, vì trong khi tính toán, một số người già chết đi, một số trẻ con mới sinh ra. Bởi vậy kết quả thu được chỉ là gần đúng. Nhưng nếu hỏi một số nhà toán học rằng có bao nhiêu cạnh trong một khối 12 mặt đều, thì sẽ được câu trả lời như sau: khối đó có 12 mặt, mỗi mặt có 5 cạnh, như vậy ta được 60 cạnh. Nhưng mỗi cạnh lại chung cho hai mặt và bởi vậy nó đã được tính hai lần. Tóm lại ta chỉ có 30 cạnh. Đó là một lời giải hoàn toàn đúng, không thể nghi ngờ được.

Xôcrat. Ông ta còn nêu ví dụ nào nữa không?

Hypôcrat. Tôi không nhớ hết. Ông ta con nói rằng trong thiên nhiên không thể tìm thấy hai vật hoàn toàn như nhau. Không có hai quá trình nào lại hoàn toàn giống nhau, và thậm chí, ngay cả những cái cột trong đền Pôxâyđôn cũng khác nhau, nhưng có thể tin tường rằng hai đường chéo trong một hình chữ nhật hoàn toàn bằng nhau. Ông ta còn dẫn ra lời của Hêraclít, nói rằng mọi cái tồn tại đều luôn luôn biến đổi, và những hiểu biết chính xác chỉ có thể đối với những khái niệm không thay đổi như chẵn hoặc lẻ, đường thẳng hoặc đường tròn.

Xôcrat. Đủ rồi. Những thí dụ đó làm cho tôi tin rằng trong toán học chúng ta có thể thu được những kiến thức không thể nghi ngờ, còn các khoa học khác cũng như trong đời sống hàng ngày, điều đó không thể có. Tóm tắt những kết quả mà chúng ta đã lập luận từ nãy đến giờ về bản chất toán học là ìToán học nghiên cứu những đối tượng không tồn tại và có thể mô tả chúng một cách chính xác và hoàn thiện”. Có đúng không?

Hypôcrat. Vâng chúng ta đã đi đến kết luận đó.

Xôcrat. Và, Hypôcrat thân mến, lẽ nào anh lại không thấy ngạc nhiên, khi những điều chúng ta biết về các đối tượng không tồn tại lại chính xác hơn nhiều so với những điều ta biết về các đối tượng hiện thực?

Hypôcrat. Điều đó thật là đáng sợ. Tôi nghĩ rằng trong lập luận của chúng ta có chỗ sai lầm.

Xôcrat. Không, chúng ta đã hết sức cẩn thận và kiểm tra mỗi bước lập luận của chúng ta. Ở đây không thể có sai lầm nào. Nhưng hình như tôi đã nhớ lại được một điều, nó có thể giúp giải quyết vấn đề của chúng ta.

Hypôcrat. Ngài nói nhanh lên, tôi hoàn toàn bị rối trí rồi.

------------------*---------------------
Chú thích)
1. Hêphaistôt (Hephaistos): Thần Thợ rèn (một trong 12 vị thần tối cao của thế giới Ôlympia), bị thọt chân, con trai của thần Dớt.

[ngocson52]

Xôcrat. Sáng nay tôi đã có mặt trong phòng xử án. Vợ một người thợ mộc ở làng Pitôx bị kết tội đã phản bội và giết chồng với sự tham gia của tình nhân. Người đàn bà đó đã phản đối, bà ta thề có thần Arlêmiđa và Aphrôđita rằng bà ta không có tội, rằng bà ta không hề yêu ai ngoài người chồng của mình, và rằng chồng bà ta bị bọn kẻ cướp giết chết. Một số người được gọi đến làm chứng. Kẻ thì nói rằng bà ta có tội, kẻ lại nói không. Tòa án cũng không thể tìm ra sự thật được.

Hippocrates

Hypôcrat. Ngài lại định chế giễu tôi lần nữa sao? Ban đầu ngài làm tôi rối trí, và bây giờ thì ngài lại kể những chuyện không đâu vào đâu.

Xôcrat. Đừng giận, anh bạn của tôi ạ! Tôi có những lý do rất nghiêm túc để nói về người đàn bà không biết có tội hay không ấy. Trước hết phải nhận rằng bà ta thực sự đang tồn tại, và những ai hôm nay đã ở đấy, trong số này nhiều người chưa hề nói dối bao giờ, đều có thể nói với anh như vậy.

Hypôcrat. Những chứng cứ của ngài đối với tôi hoàn toàn đầy đủ, thưa ngài Xôcrat. Người đàn bà đó tồn tại, cứ cho là điều đó đã được chứng minh, nhưng có gì liên quan giữa sự kiện ấy và toán học?

Xôcrat. Nhiều hơn là anh nghĩ. Trước hết anh hãy nói xem, anh có biết câu chuyện về nhà vua Agamenông và nàng Clytemnest’r (1) không?

Hypôcrat. Mọi người đều biết câu chuyện lịch sử đó. Năm ngoái tôi đã được xem vở kịch ba màn của Eskhin (2) về đề tài đó.

Xôcrat. Anh hãy kể vắn tắt cho tôi nghe.

Hypôcrat. Trong lúc Agamenông, vua của các chiến sĩ, đang chiến đấu dưới chân thành Troa, vợ ông là nàng Clytemnest’r đã thông đồng với Egist, anh em sinh đôi của chồng. Sau khi thành Troa thất thủ, vua Agemenông chiến thắng trở về, liền bị vợ và tình nhân giết chết.

Xôcrat. Hãy nói cho tôi biết. Hypôcrat, anh có tin rằng nàng Clytemnest’r có tội hay không?

Hypôcrat. Tôi không hiểu ngài nêu ra những câu hỏi như vậy để làm gì. Câu chuyện ấy chẳng có gì đáng ngờ. Theo Hômer (3), khi Ôđixây (4) gặp Agamenông dưới địa ngục thì chính ông này đã kể cho chàng nghe về số phận bi thảm của mình.

Xôcrat. Nhưng anh có tin rằng Agamenông, Clytemnest’r và mọi nhân vật khác của tấn bi kịnh ấy đều đã tồn tại hay không?

Hypôcrat. Rất có thể là người ta sẽ đuổi tôi ra khỏi cộng đồng này, nếu tôi nói ra một cách công khai, những ý kiến của tôi là: đã qua ngần ấy thế kỷ rồi thì khó mà có thể chứng minh hay bác bỏ tính chân thật của trường ca Hômer. Nhưng điều đó đối với chúng ta không quan trọng. Khi tôi nói với ngài rằng nàng Clytemnest’r có tội, tôi không muốn nói về một nàng Clytemnest’r thực, nếu quả thực nàng đã tồn tại trong một thời gian nào đó, mà tôi chỉ muốn nói về nàng Clytemnest’r trong trường ca của Hômer, nàng Clytemnest’r trong vở kịch của Eskhin.

Xôcrat. Liệu tôi có thể nói rằng chúng ta không biết gì về một nàng Clytemnest’r thực hay không? Thậm chí sự tồn tại của nàng cũng thật đáng ngờ. Nhưng khi xem nàng như một nhân vật trong bi kịch của Eskhin, chúng ta tin rằng nàng đã phản bội và đã giết Agamenông, bởi vì chính Eskhin đã kể cho chúng ta như thế.

Hypôcrat. Đồng ý! Nhưng ngài cứ phải đòi cho kỳ được như vậy để làm gì?

Xôcrat. Hãy gượm. Để tôi tóm lại những điều đã nói. Chúng ta không thể khẳng định rằng người đàn bà ở làng Pitôx là có tội, trong lúc đó chúng ta lại biết chắc chắn rằng nàng Clytemnest’r, mà rất có thể là chưa từng sống trên đời, là một người đàn bà có tội. Anh đồng ý không?

Hypôcrat. Tôi đã bắt đầu nhận ra là ngài muốn gì. Tuy vậy tốt hơn là ngài hãy rút ra kết luận.

Xôcrat. Kết luận là thế này: Chúng ta biết rất nhiều về những người chỉ tồn tại trong trí tưởng tượng của chúng ta, ví dụ những nhân vật trong các vở kịch, trong lúc đó ta biết ít hơn về những người hiện đang sống. Nếu chúng ta nói rằng nàng Clytemnest’r có tội, điều ấy có nghĩa là Ekhin đã xây dựng nàng trong vở kịch như thế. Và ở trong toán học tình hình cũng tương tự. Chúng ta tin rằng các đường chéo của hình chữ nhật hoàn toàn bằng nhau, bởi vì rằng điều đó suy ra từ định nghĩa của hình chữ nhật, mà định nghĩa này do các nhà toán học nêu ra.
Hypôcrat. Có phải ngài định nói rằng kết quả dường như nghịch lý của chúng ta vẫn đúng, và đối với những đối tượng không tồn tại, chúng ta lại có những hiểu biết chắc chắn hơn nhiếu so với những đối tượng hiện thực? Dường như bây giờ tôi đã hiểu do đâu mà sự thể lại như vậy. Những khái niệm do chúng ta sáng tạo nên hoàn toàn rõ ràng đối với chúng ta, chúng ta có thể tìm hiểu về chúng, bởi vì chúng không có một cuộc sống nào khác ngoài cuộc sống trong trí tưởng tượng của chúng ta. Còn những đối tượng tồn tại trong thế giới hiện thực thì lại không đồng nhất với những cái biểu diễn cho chúng nằm trong trí tưởng tượng của chúng ta, bởi vì những biểu diễn đó luôn luôn không đầy đủ và chỉ là gần đúng mà thôi. Chính vì thế mà nhận thức của chúng ta về những đối tượng đang tồn tại luôn luôn không cặn kẽ và không triệt để.

Xôcrat. Hoàn toàn đúng, anh bạn thân mến của tôi, anh đã trình bày tốt hơn tôi nhiều.

Hypôcrat. Đó chính là công lao của ngài, thưa ngài Xôcrat, bởi vì ngài đã giúp tôi nhận ra vấn đề. Bây giờ không những tôi đã thấy là Teatet hoàn toàn đúng, khi ông nói rằng tôi phải nghiên cứu toán học nếu tôi muốn có những kiến thức đáng tin cậy, mà tôi còn biết tại sao ông ấy đúng. Tuy nhiên, nếu như ngài đã nhiệt tình giảng giải cho tôi, thì tôi xin ngài hãy khoan bỏ tôi đi ngay bây giờ, vì còn lại một vấn đề quan trọng mà tôi vẫn chưa tìm thấy lời giải đáp.

Xôcrat. Vấn đề gì?

Hypôcrat. Thưa ngài Xôcrat, ngài nhớ rằng tôi đến đây để xin ngài một lời khuyên, xem tôi có cần phải nghiên cứu toán học hay không. Ngài đã giúp tôi hiểu rằng toán học và chỉ có toán học mới có thể cho tôi những tri thức căn bản mà tôi muốn có. Nhưng những tri thức đó có lợi gì? Rõ ràng rằng nếu ta có những hiểu biết nào đó về thế giới hiện thực, cho dù không đầy đủ và không hoàn toàn chắc chắn đi nữa, thì vẫn có lợi rất nhiều cho nhân loại. Chẳng hạn việc nghiên cứu những ngôi sao mang lại nhiều lợi ích cho những người đi biển. Nhưng việc nghiên cứu những đối tượng không tồn tại, như toán học đang làm, thì mang lại những ích lợi gì?

Xôcrat. Anh bạn thân mến của tôi, tôi chắc rằng anh đã biết rõ câu trả lời, nhưng anh muốn kiểm tra tôi đó thôi.

Hypôcrat. Thế có thần Hêrăc, tôi không biết câu trả lời. Mong ngài chỉ giúp cho.
-----------------*------------------
Chú thích)
1. Hai nhân vật trong vở kịch Angamenông của Eskhin. Agamenông là chủ tướng, chỉ huy quân Hy Lạp trong cuộc chiến tranh thành Troa. Sau khi hạ được thành Troa, Agamenông bị vợ là Clytemnest’r và người em sinh đôi Egist, ám hại.

2. Eskhin (Eschyle; 525 - 456 Tr. C.N) nhà viết kịch vĩ đại đầu tiên đồng thời là người mở đầu cho nền sân khấu cổ Hy lạp (Ăng-ghen từng gọi Eskhin là ìcha đẻ của bi kịch). Ông viết cả thảy khoảng 90 vở kịch, nhưng hiện chỉ còn 7 vở (trong đó có vở Agamenông). Các tác phẩm của ông toát lên tinh thần của thời đại mình: tinh thần yêu nước, yêu quê hương, lòng tin vào sức mạnh của con người. Tuy vậy các tác phẩm của Eskhin chẳng dễ đọc chút nào do nó ít nhiều gắn với những nhân vật trong những câu chuyện thần thoại.

3. Homer (khoảng thế kỷ IX, thế kỷ VIII trước C.N), nhà thơ mù của Hy lạp cổ, tác giả của hai thiên anh hùng ca bất hủ Iliát và Ôđixê.

4. Ôđixây (Ôđixê – Odysseus) nhân vật chính trong tác phẩm cùng tên của thi hào Homer. Về Homer và Ôđixê, các bạn có thể xem trong SGK Văn học lớp 10 (phần VHNN và LLVH).

[ngocson52]

Xôcrat. Đồng ý, Chúng ta hãy cố tìm nó vậy. Chúng ta đã nói rằng các khái niệm toán học được sáng tạo ra bởi các nhà toán học. Nhưng liệu các nhà toán học có lựa chọn những khái niệm đó một cách tùy tiện theo ý muốn của họ hay không?

Hypôcrat. Tôi đã nói với ngài, tôi còn biết rất ít về toán học. Nhưng tôi cảm thấy là nhà toán học được tự do trong việc lựa chọn đối tượng nghiên cứu của mình. Nếu nhà thơ có thể xây dựng nhân vật như thế nào là tùy thích của họ, thì các nhà toán học cũng đưa vào các khái niệm những tính chất gì mà họ muốn.

Xôcrat. Nhưng khi đó có bao nhiêu nhà toán học thì có sẽ có bấy nhiêu chân lý toán học. Như vậy thì làm sao anh có thể giải thích được tình trạng là tất cả các nhà toán học đều nghiên cứu cùng một khái niệm và cùng một vấn đề? Và tại sao không hiếm các nhà toán học, sống cách xa nhau, thậm chí không biết nhau, lại phát minh ra cùng một chân lý và nghiên cứu cùng một khái niệm. Nếu như họ nói về số, thì họ muốn nói về một thứ số như nhau; và đường thẳng, đường tròn, hình vuông, hình cầu, các khối đa diện.. ở mọi nhà toán học đều giống nhau?

Hypôcrat. Có nên giải thích rằng đó là do mọi người đều suy nghĩ theo cùng một cách, và bởi vậy một vật nào đó đều được mọi người hình dung một cách giống nhau.

Xôcrat. Anh Hypôcrat thân mến, chúng ta chỉ có một lời giải thích thỏa đáng sau khi chúng ta đã xét vấn đề từ mọi khía cạnh khác nhau. Giải thích như thế nào cái sự kiện vẫn thường xảy ra là có những nhà toán học sống xa nhau, chẳng hạn một người ở Tarentô và người kia ở đảo Xamôt, cùng phát minh ra một chân lý toán học? Trong khi đó tôi chưa hề bao giờ nghe nói rằng hai nhà thơ có thể viết ra hai bài thơ giống hệt như nhau.

Hypôcrat. Và tôi cũng chưa hề nghe nói điều đó. Nhưng tôi bỗng nhớ rằng Teatet có kể cho tôi nghe về định lý không thông ước của các đại lượng (1), do ông tìm ra. Khi ông ta trình bày định lý đó với thầy học của mình là Teôđor, thì ông này vội rút ra bức thư của Arhytat, trong đó trình bày một chứng minh như vậy, hầu như giống nhau từng chữ.

Xôcrat. Trong thi ca điều đó không thể xảy ra. Anh thấy đấy, lại nảy ra một vấn đề mới. Nhưng ta hãy tiếp tục nhé. Anh giải thích như thế nào khi các nhà toán học ở các nước khác nhau thường cùng thừa nhận một chân lý toán học, trong lúc đó về các vấn đề nhà nước thì người Ba tư và người nước Spactaquýt có những ý kiến hoàn toàn trái ngược nhau, và hơn thế, giữa chúng ta, chúng ta cũng thường không đồng ý với nhau.

Hypôcrat. Tôi trả lời câu hỏi cuối cùng của ngài, trong các vấn đề có liên quan đến nhà nước, mỗi một người đều có quyền lợi riêng, và những quyền lợi đó có khi rất mâu thuẫn với nhau. Bởi thế, dễ hiểu là tại sao lại khó đi đến thống nhất như vậy. Còn các nhà toán học thì đều được hướng dẫn bởi lòng mong muốn tìm thấy chân lý.

Xôcrat. Theo anh thì các nhà toán học định đi tìm cái chân lý hoàn toàn không phụ thuộc vào quyền lợi riêng của họ?

Hypôcrat. Vâng!

Xôcrat. Nếu vậy chúng ta đã lầm khi cho rằng các nhà toán học đã lựa chọn đối tượng nghiên cứu của mình hoàn toàn dựa trên sở thích cá nhân. Hóa ra là đối tượng nghiên cứu của họ có một số dạng thức tồn tại, không phụ thuộc vào bản thân của họ. Chúng ta phải giải quyết vấn đề mới này.

Hypôcrat. Thậm chí tôi không biết nên bắt đầu từ đâu.

Xôcrat. Nếu anh có đủ kiên nhẫn, ta thử cùng nhau suy xét. Theo anh thì giữa những người vượt biển để đi tìm những hòn đảo không người ở và những nhà họa sĩ đi tìm một màu sắc mới chưa hề được sử dụng, có cái gì chung?

Hypôcrat. Tôi nghĩ rằng họ làm giàu cho nhân loại bằng những phát minh.

Xôcrat. Còn sự khác nhau của họ là ở chỗ nào?

Hypôcrat. Theo tôi, có thể gọi những người vượt biển là những nhà phát minh, còn những họa sĩ là những nhà sáng chế. Những người vượt biển phát hiện ra những hòn đảo vốn có từ trước, chỉ có điều là chưa ai biết đến, còn nhà họa sĩ thì sáng tạo ra một màu sắc mới mà trước đó chưa hề có.

Xôcrat. Không ai có thể trả lời tốt hơn. Nhưng theo anh thì nhà toán học tìm ra những chân lý mới thì họ phát minh ra nó hay sáng chế ra? Họ là nhà phát minh như những người vượt biển hay là nhà sáng chế như những người họa sĩ?

Hypôcrat. Tôi không thể trả lời câu hỏi đó vì tôi không có một kinh nghiệm bản thân nào. Nhưng Teatet có kể cho tôi nghe về những nghiên cứu chung của ông ấy và Teôđor, và bởi vậy tôi nghĩ rằng nhà toán học cần phải được xem là nhà phát minh, tuy rằng họ cũng có những điều giống với nhà sáng chế.

Xôcrat. Trả lời rất hay. Tôi cảm thấy rằng nhà toán học, trong một mức độ như nhau, vừa là nhà phát minh vừa là nhà sáng chế. Nhưng tại sao anh lại trả lời ngay như vậy? Có phải anh muốn nói rằng nhà toán học, trong ý nghĩa thông thường, cũng là nhà sáng chế?

Hypôcrat. Nhà toán học tự mình sáng tạo ra những khái niệm cho mình nghiên cứu. Khi đó họ hành động như một nhà sáng chế. Còn khi họ nghiên cứu những khái niệm do chính họ hay do người khác đưa ra, hoặc họ phát biểu định lý và chứng minh nó, thì họ hành động như một nhà phát minh. Teatet còn nói với tôi rằng trong công việc của nhà toán học , việc ìphát minh” các định lý đóng vai trò quan trọng hơn nhiều so với việc ìsáng tạo” ra những khái niệm mới, bởi vì ngay những khái niệm đơn giản nhất, như là khái niệm về số và tính chia hết, cũng đã đưa đến một số rất nhiều vấn đề sâu sắc, đến nỗi cho đến nay các nhà toán học cũng chỉ mới giải quyết được một phần nhỏ.

Xôcrat. Rõ ràng là ông bạn Teatet của anh đã nghiên cứu rất nhiều và, như tôi thấy, đã nghiên cứu rất thành công. Tôi cảm thấy nhà toán học giống với nhà phát minh nhiều hơn. Họ là những nhà vượt biển dũng cảm, bơi trên những đại dương chưa hề biết đến và nghiên cứu những bến bờ, những hòn đảo, những dòng nước xoáy của đại dương đó. Tôi chỉ muốn nói thêm rằng nhà toán học trong một mức độ nào đó cũng là người sáng chế, và nhất là khi họ đưa ra những khái niệm mới. Bởi vì mỗi một người phát minh, trong một mức độ nào đó, phải là một người sáng chế. Ví dụ nếu có một người vượt biển muốn đến một nơi nào trước đó chưa ai đặt chân tới, thì anh ta phải xây dựng một con tàu tốt hơn những con tàu đã có. Những khái niệm mới mà các nhà toán học đưa ra cũng giống như những con tàu mới, chúng giúp đỡ nhà nghiên cứu trong đại dương mênh mông của suy nghĩ. Nhà toán học trước hết là một nhà phát minh, và bởi vì họ là nhà phát minh nên họ phải là nhà sáng chế.

Hypôcrat. Thưa ngài Xôcrat thân mến, tôi tin rằng trong Aphinô này, thậm chí ngay trong toàn bộ Elanđa này, không một người nào am hiểu nghệ thuật nói chuyện bằng ngài. Trong khi thảo luận, ngài đã nói lên những điều tôi đã ngờ vực, mà chính tôi không thể nói ra một cách rõ ràng. Từ những kết luận của ngài, ta suy ra rằng mục đích của toán học là nghiên cứu những bí mật và những câu đố trong đại dương suy nghĩ của mọi người. Những suy nghĩ đó tồn tại độc lập đối với cá nhân nhà toán học, nhưng không độc lập với toàn nhân loại nói chung. Theo nhận xét của tôi, nhà toán học có thể đưa ra những khái niệm mới với tính chất là công cụ để làm việc. Tuy vậy họ không hoàn toàn tự do, vì khái niệm mới phải có lợi cho công việc của họ. Người đi biển cũng có thể xây dựng bất kỳ con tàu nào, nhưng chúng ta sẽ xem họ là kẻ điên rồ, nếu như trong trận bão biển đầu tiên con tàu của họ đã tan vụn thành từng mảnh. Bây giờ tôi nghĩ là tất cả đều rõ ràng.

Xôcrat. Nếu quả thật anh đã hiểu rõ ràng như vậy, thì anh thử trả lời lần nữa câu hỏi: toán học nghiên cứu những gì?

Hypôcrat. Tôi cũng định thế, nhưng hình như tôi sẽ không trả lời được đầy đủ. Có lẽ tôi chỉ mới hiểu được một phần sự thật chăng?

Xôcrat. Nếu vậy thì hãy mạnh dạn đi lên, giống như những người vượt biển dũng cảm.

Hypôcrat. Bây giờ tôi đã thấy: trước đây chúng ta đã sai khi khẳng định rằng toán học nghiên cứu những cái không tồn tại trong thực tế. Những cái đó vẫn tồn tại, nhưng không tồn tại như hòn đá hay khúc gỗ. Chúng ta không thể trông thấy chúng, sờ mó vào chúng, chúng ta chỉ có thể nắm được chúng bằng những ý nghĩ của mình. Có một thế giới – thế gới toán học – khác hẳn với thế giới thông thường mà ta đang sống. Còn nhà toán học là một người đi biển dũng cảm, không lùi bước trước những khó khăn, nguy hiểm và rủi ro đang chờ đón họ.

Xôcrat. Anh bạn ơi, cái nghị lực tuổi trẻ của anh hầu như làm tôi phát ghen lên, nhưng tôi e rằng cái nhiệt tình đã làm cho anh không nhận thấy một vài vấn đề.

Hypôcrat. Những vấn đề gì? Ngài đã phí rất nhiều thời gian vì tôi, nhưng tôi cầu mong ngài không bỏ tôi giữa đường, và hãy nói cho tôi những điều mà tôi không để ý.

Xôcrat. Tôi cảm thấy rằng chúng ta chưa tìm ra lời giải cho câu hỏi của anh. Cả hai chúng ta bây giờ đã hiểu rất rõ ràng rằng toán học là gì. Nhưng chúng ta chưa trả lời cho câu hỏi về ý nghĩa và mục đích của toán học, cái đại dương những suy nghĩ của nhân loại ấy!

Hypôcrat. Ngài nói đúng. Tôi đã tin rằng trong khi nghiên cứu toán học, chúng ta sẽ thu được những tri thức căn bản và đáng tin cậy. Khi mà tôi được bước vào cái thế giới huyền diệu ấy, thì một cảm giác đẹp đẽ cho đến nay tôi chưa hề thấy sẽ đến với tôi: có những sự thật không thể nghi ngờ được. Tôi hiểu rằng thế giới toán học là có thật và không phụ thuộc vào tôi, nó không tồn tại như hòn đá hay khúc gỗ, nhưng dầu sao vẫn tồn tại. Tuy vậy, nghiên cứu thế giới ấy để làm gì? Phải chăng lần này ngài sẽ không áp dụng phương pháp nói chuyện của ngài, và sẽ trả lời ngay vào câu hỏi của tôi. Tôi sợ rằng tự mình, tôi không có khả năng tìm được câu trả lời đúng đắn.

Xôcrat. Không, anh bạn ạ, thậm chí nếu có thể, tôi cũng không làm như vậy. Những hiểu biết mà ta thu được một cách không khó khăn thì sẽ không lâu bền. Chúng ta chỉ hiểu (có thể là do sự giúp đỡ từ bên ngoài) những gì mà chúng ta tìm hiểu được, cũng giống như cây cối chỉ sử dụng được thứ nước do rễ của chúng hút được từ trong đất.

Hypôcrat. Vâng. Chúng ta sẽ tiếp tục bằng phương pháp như cũ. Vậy ngài hãy đặt câu hỏi đi.
---------------*-----------------
Chú thích)
1. Định lý không thông ước của các đại lượng: Định lý do Teatet (Theaetetus) tìm ra, nó được phát phiểu như sau: ìNếu diện tích hình vuông không phải là số chính phương, thì cạnh của nó không thông ước (commensurable) với cạnh của hình vuông đơn vị”.

[ngocson52]

Xôcrat. Anh Hypôcrat thân mến, tôi cảm thấy rằng chúng ta cần phải lùi lại nếu muốn tiến lên.

Hypôcrat. Chúng ta phải lùi lại xa lắm không?

Xôcrat. Tôi nghĩ rằng chúng ta trở lại đến chỗ mà chúng ta khẳng định rằng nhà toán học không làm việc với số con cừu, số chiếc tàu hay là các đối tượng hiện thực khác, mà chỉ với các con số thuần túy thôi. Nhưng anh có nghĩ rằng một phát minh toán học về các số nguyên tố cũng sẽ đúng đối với số các đối tượng hiện thực không? Ví dụ nhà toán học khẳng định rằng 17 là số nguyên tố. Thế lẽ nào anh có thể chia 17 con cừu thành những phần bằng nhau cho một số không phải là 17 người?

Hypôcrat. Nhất định là không rồi.

Xôcrat. Như vậy có nghĩa là những cái gì mà nhà toán học biết về các con số, đều có thể ứng dụng vào những đối tượng đang tồn tại, phải thế không?

Hypôcrat. Vâng, đúng như thế.

Xôcrat. Thế còn hình học? Các nhà kiến trúc có dựa vào các định lý hình học khi họ xây dựng đồ án thiết kế không? Họ có dùng định lý Pytagor nổi tiếng để vẽ các góc vuông không?

Hypôcrat. Có!

Xôcrat. Còn các nhà trắc địa? Họ có dùng hình học không?

Hypôcrat. Điều đó thì ai cũng biết là có.

Xôcrat. Thế còn thợ mộc, thợ nề?

Hypôcrat. Họ cũng thế.

Xôcrat. Khi người thợ đồ gốm làm một cái bình, hoặc người đi biển đếm xem có bao nhiêu bao mì trong hầm tàu, lẽ nào họ không cần đến toán học?

Hypôcrat. Dĩ nhiên là cần, nhưng tôi cảm thấy rằng trong những ngành tiểu thủ công thì không cần đến toán học quá nhiều. Đối với đa số vấn đề tương tự, chỉ cần biết những qui luật đơn giản mà ai cũng biết, còn những phát minh lớn kiểu như Teatet đã nói với tôi, thì hoàn toàn không cần và không dùng trong thực tiễn.

Xôcrat. Anh chỉ đúng một phần thôi, anh Hypôcrat ạ, còn phần kia thì sai đấy. Rất có thể đến một lúc nào đó con người sẽ áp dụng tất cả phát minh toán học để làm lợi cho hoạt động thực tiễn của mình. Những gì hôm nay chỉ mới là lý thuyết, đến một ngày nào đó sẽ trở nên hết sức cần thiết cho cuộc sống. Không phải như vậy ư?

Hypôcrat. Tôi chỉ quan tâm tới hiện tại.

Xôcrat. Như thế không ổn đâu, Hypôcrat ạ. Nếu anh muốn trở thành một nhà toán học thì anh phải làm việc chủ yếu cho tương lai. Còn bây giờ ta hãy trở lại vấn đề chính. Chúng ta đã thấy rằng những tri thức của thế giới tư tưởng (có nghĩa là những cái không tồn tại theo ý nghĩa thông thường của từ đó) rất có ích lợi cho cuộc sống hằng ngày, nó giúp ta tìm thấy lời giải đáp cho những vấn đề về thế giới hiện thực. Điều đó không đáng ngạc nhiên hay sao?

Hypôcrat. Còn hơn thế. Thậm chí không thể hình dung nổi. Điều đó rất kỳ lạ.

Xôcrat. Rất có thể là như vậy, nhưng đó không phải là một bí mật, và nếu chúng ta khám phá ra bản chất của vấn đề, thì chúng ta sẽ tìm được những hạt ngọc quý.

Hypôcrat. Cầu mong ngài, thưa ngài Xôcrat, đừng nêu ra những câu đố như câu đố của con Nhân Sư (1).

Xôcrat. Nếu vậy anh hãy nói xem có đáng ngạc nhiên hay không, khi có một người nào đó đã từng sống ở nhiều đất nước xa xôi, trông thấy nhiều, làm việc nhiều, nay trở về nước nhà dùng những kinh nghiệm của mình để giúp đỡ đồng bào mình?

Hypôcrat. Hoàn toàn không có gì đáng ngạc nhiên cả.

Xôcrat. Thậm chí nếu những đất nước mà người ấy đã từng sống ở rất xa xôi và dân chúng là những dân tộc hoàn toàn khác lạ, nói những thứ tiếng khác lạ và thờ những thánh thần khác lạ?

Hypôcrat. Cũng không, bởi vì giữa các dân tộc khác nhau vẫn có nhiều nét chung.

Xôcrat. Nếu thế giới toán học, mặc dầu có nhiều khác biệt, trong một chừng mực nào đó vẫn giống với thế giới hiện thực của chúng ta, thì anh còn lấy làm ngạc nhiên khi thấy toán học có thể ứng dụng để nghiên cứu thế giới hiện thực hay không?

Hypôcrat. Trong trường hợp đó tôi không thấy có gì đáng ngạc nhiên, nhưng tôi không rõ có một sự tương tự nào giữa thế giới hiện thực và thế giới trừu tượng của các nhà toán học?

Xôcrat. Anh có trông thấy khối đá ở bờ sông bên kia không? Ở đó dòng sông mở rộng và trông như một tấm gương.

Hypôcrat. Tôi trông thấy.

Xôcrat. Anh có trông thấy bóng của khối đá in hình trong nước không?

Hypôcrat. Dĩ nhiên là thấy.

Xôcrat. Anh thấy có gì khác nhau giữa khối đá và bóng của nó?

Hypôcrat. Khối đá là một mẩu của chất rắn. Nó nóng lên dưới ánh măt trời. Còn bóng của nó không thể sờ thấy được. Nếu ta đặt tay vào đó ta chỉ sờ được nước lạnh mà thôi. Thực tế là cái bóng không tồn tại. Nó chỉ là một ảo giác, không hơn.

Xôcrat. Có nghĩa là không có một cái gì chung giữa khối đá và bóng của nó?

Hypôcrat. Trong một ý nghĩa xác định thì cái bóng là một bản sao chính xác của khối đá. Đường viền quanh của khối đá, thậm chí cả những mẩu đá bé nhất cũng có thể trông thấy rõ ràng trong bóng của nó. Nhưng từ đó rút ra cái gì? Có lẽ nào ngài lại định nói rằng thế giới toán học là cái bóng của thế giới hiện thực qua tấm gương suy tưởng của chúng ta?

Xôcrat. Anh nói rất đúng.

Hypôcrat. Nhưng tại sao lại có thể như thế được?

Xôcrat. Anh hãy nhớ lại, các khái niệm toán học được phát sinh như thế nào? Chúng ta đã nói rằng các nhà toán học làm việc với những con số thuần túy chứ không phải là với số lượng các đối tượng hiện thực. Nhưng anh có nghĩ rằng một người nào đó không bao giờ đếm các đối tượng hiện thực lại có thể hiểu được khái niệm trừu tượng về số không? Trong hình học cũng vậy. Một đứa trẻ có được khái niệm hình cầu là nhờ sự tiếp xúc với những đối tựợng có dạng cầu như quả bóng chẳng hạn. Mọi khái niệm cơ bản của toán học đều được đưa ra bằng cách như vậy. Những khái niệm đó đều đưa được đề xuất ra từ những hiểu biết về thế giới hiện thực, và hoàn toàn dĩ nhiên là chúng còn giữ được dấu vết của những xuất xứ của chúng, giống như trẻ con còn giữ được những nét của bố mẹ. Và cũng giống như trẻ con, một khi đã khôn lớn sẽ giúp đỡ bố mẹ mình, một số ngành toán học nếu nó đã phát triển khá đầy đủ sẽ trở thành công cụ có lợi cho việc nghiên cứu hiện thực.

Hypôcrat. Bây giờ tôi đã hoàn toàn rõ là tại sao những hiểu biết về những khái niệm không tồn tại của thế giới toán học lại có thể có lợi trong cuộc sống hàng ngày. Làm cho tôi hiểu được điều đó, ngài đã giúp đỡ tôi rất nhiều.

Xôcrat. Có lẽ anh lại càng hiểu rõ vấn đề hơn, nếu anh thử tóm tắt các kết quả của cuộc nói chuyện này.

Hypôcrat. Vâng. Khi mà chúng ta đã rõ rằng tại sao toán học lại có thể cho những tri thức chắc chắn về cái thế giới khác với thế giới của chúng ta đang sống, tức là thế giới những suy nghĩ của loài người, thì còn lại một vấn đề là những tri thức ấy mang lại lợi ích gì. Bây giờ chúng ta rõ rằng thế giới toán học không phải cái gì khác mà chính là cái bóng của thế giới hiện thực trong nhận thức của chúng ta. Và chúng ta cũng hiểu rõ là mỗi một phát minh trong thế giới toán học sẽ cung cấp cho ta một thông tin nào đó về thế giới hiện thực. Tôi hoàn toàn thỏa mãn với câu trả lời.

Xôcrat. Nếu tôi nói rằng câu trả lời chưa hoàn toàn triệt để, thì không phải là tôi định giễu cợt anh đâu, mà bởi tôi tin rằng sớm hay muộn anh cũng sẽ nêu ra những thắc mắc tương tự, và khi đó anh sẽ trách tôi đã không lưu ý anh tới điều đó. Anh sẽ hỏi: ìThưa ngài Xôcrat, nếu chúng ta có thể nghiên cứu chính bản thân đối tượng, thì việc gì mà ta phải đi nghiên cứu cái bóng của nó?”.

Hypôcrat. Ngài hoàn toàn đúng, thưa ngài Xôrat, câu hỏi đó tất nhiên sẽ nảy ra. Ngài thật là một người kỳ diệu. Ngài có thể làm tôi bối rối bằng một vài lời nói, và chỉ bằng một vài câu hỏi ngài đã phá vỡ những kiến thức mà khó khăn lắm tôi mới thu luợm được. Dĩ nhiên, tôi có thể trả lời rằng, nếu ta có thể nghiên cứu cái nguyên bản, thì việc khảo sát cái bóng của nó sẽ trở thành vô nghĩa. Nhưng tôi tin rằng điều đó chỉ chứng tỏ rằng sự so sánh của chúng ta không đạt lắm. Cố nhiên, câu trả lời đang nằm ở đâu đấy, nhưng tôi không biết làm thế nào để tìm ra nó.

Xôcrat. Sự phỏng đoán của anh rất đúng, nghịch lý xuất hiện do chỗ chúng ta xem rằng sự tương tự giữa vật và bóng của nó là một sự tương tự gần như trùng hẳn. Sự tương tự cũng giống như một chiếc cung, nếu ta kéo quá mạnh, nó sẽ gãy. Ta hãy để laị thí dụ đó và chọn một thí dụ khác. Tất nhiên anh phải biết rằng những người đi biển và các nhà du lịch thường dùng bản đồ.

Hypôcrat. Tôi biết điều đó do kinh nghiệm bản thân. Ngài cho rằng các nhà toán học đang xây dựng bản đồ của thế giới hiện thực à?

Xôcrat. Đúng. Bây giờ anh có thể trả lời câu hỏi sau đây không: nhìn vào bản đồ có gì lợi hơn so với việc nhìn vào thực địa?

Hypôcrat. Rất rõ ràng: bằng cách dùng bản đồ, ta nghiên cứu được những khoảng cách rất lớn, mà nếu quan sát trực tiếp thì ta phải mất nhiều tuần lễ hoặc nhiều tháng. Trên bản đồ không chỉ rõ những chi tiết, mà chỉ có những đối tượng quan trọng nhất. Bởi vậy bản đồ rất có lợi cho những người đi du lịch dài ngày.

Xôcrat. Hoàn toàn đúng. Nhưng tôi vừa nghĩ ra một điều.

Hypôcrat. Điều gì vậy?

Xôcrat. Có một nguyên nhân khác giải thích tại sao lại có lợi khi ta nghiên cứu hình ảnh toán học của thế giới hiện thực. Nếu các nhà toán học tìm thấy một tính chất nào đấy của hình tròn, thì điều đó sẽ cung cấp cho chúng ta một lượng thông tin nào đó về bất kỳ một vật thể có dạng tròn nào. Như vậy phương pháp toán học cho phép ta làm việc cùng một lúc với nhiều đối tượng khác nhau.

Hypôcrat. Ta xét thêm những thí dụ sau đây. Nếu một người nào đó ngắm nhìn thành phố từ đỉnh ngọn núi gần nhất, thì anh ta sẽ có một ấn tượng đầy đủ về thành phố hơn là khi anh ta đi dạo trên những đường phố quanh co. Hay là, khi một người chỉ huy quan sát sự di chuyển của quân địch từ một ngọn đồi, thì hẳn là ông ta sẽ hiểu được tình hình một cách rõ ràng hơn so với người lính đang ở vị trí tiền tiêu, chỉ thấy những gì trước mặt.

Xôcrat. Rất tốt, anh đã nghĩ ra những so sánh mới hay hơn nhiều. Để khỏi bị thua kém, tôi cũng xin kể thêm một chuyện khác. Cách đây không lâu tôi đứng nhìn Aristôphan, con của Aclasphôn, đang vẽ. Nhà họa sĩ đã bảo với tôi rằng ìNếu ngài, thưa ngài Xôcrat, đứng gần bức tranh quá thì ngài chỉ thấy những mảng màu sắc chứ không nhìn thấy toàn bộ bức tranh đâu”.

Hypôcrat. Dĩ nhiên là ông ta nói đúng. Còn ngài cũng đúng khi ngài không kết thúc cuộc nói chuyện của chúng ta trước lúc tôi nắm chắc được vấn đề. Nhưng có lẽ đã đến lúc chúng ta trở về thành phố, trời đã tối rồi và tôi cũng đã đói rồi. Nếu ngài còn có nhiệt tình, tôi xin hỏi ngài một câu trong lúc chúng ta đi đường vậy.

Xôcrat. Vậy thì đi, và anh có thể nêu câu hỏi.

Hypôcrat. Cuộc nói chuyện này đã làm tôi tin chắc rằng tôi phải nghiên cứu toán học, và tôi rất cám ơn ngài đã giúp tôi hiểu ra điều đó. Nhưng xin ngài hãy nói, tại sao chính ngài lại không trở thành một nhà toán học? Căn cứ vào sự hiểu biết sâu sắc của ngài về thế giới chung quanh, và sự đánh giá của ngài về vai trò toán học, tôi tin chắc rằng nếu ngài nghiên cứu toán học, thì ngài sẽ vượt xa tất cả các toán học xứ Elanđa này. Lúc đó tôi sẽ rất sung sướng được học toán với ngài, nếu ngài đồng ý.

Xôcrat. Không, Hypôcrat ạ, đó không phải là việc của tôi. Têodor hiểu biết toán học hơn tôi nhiều, và anh không thể tìm được ông thầy nào tốt hơn. Còn về câu hỏi tại sao tôi không phải là một nhà toán học, bây giờ tôi sẽ nói cho anh rõ nguyên nhân. Tôi không giấu giếm những ý nghĩ của mình về toán học. Theo tôi, không có một lĩnh vực nghệ thuật nào mà chúng ta, những người Elanđa, lại tiến được xa như trong toán học, mà đó chỉ mới là những bước đầu. Nếu chúng ta không tiêu diệt lẫn nhau trong những cuộc chiến tranh điên rồ thì chúng ta sẽ đạt được những kết quả rực rỡ. Anh đã hỏi tôi rằng tại sao tôi không cộng tác với những người đang làm cho môn khoa học vĩ đại đó phát triển. Tôi xin trả lời ngắn gọn: tôi là một trong những nhà toán học, chỉ có điều là nhà toán học thuộc một loại khác. Nhiều năm trước đây, một tiếng nói bên trong – anh có thể gọi nó là tiếng nói nội tâm – mà tôi thường rất hay lắng nghe, đã hỏi tôi ìCái nguồn thành công rất lớn của các nhà toán học trong môn khoa học cao quý của họ là ở chỗ nào?”. Tôi đã trả lời ìTôi nghĩ rằng, chìa khóa của những thành công của các nhà toán học nằm trong phương pháp của họ, trong những tiêu chuẩn rất cao về những yêu cầu lôgic của họ, trong sự mong mỏi muốn đạt tới chân lý mà không có một chút nhân nhượng nào, trong cái thói quen luôn luôn bắt đầu từ những nguyên tắc ít ỏi, từ những định nghĩa của mỗi khái niệm, được dùng một cách chính xác và không có mâu thuẫn nội tại”. Tiếng nói nội tâm lại tiếp tục: ìRất tốt, nhưng Xôcrat, tại sao anh lại nghĩ rằng những phương pháp đó của suy nghĩ và chứng minh chỉ có lợi đối với việc nghiên cứu số và hình? Tại sao anh không thể thuyết phục đồng bào mình áp dung những tiêu chuẩn lôgic nghiêm ngặt đó và những lĩnh vực khác, ví dụ như trong chính trị và trong triết học, trong khi thảo luận những vấn đề thuộc về cuộc sống hàng ngày của cá nhân hay xã hội?”. Từ bấy đến nay, chính điều đó đã trở nên mục đích cuộc sống của tôi. Tôi đã chứng minh (dĩ nhiên là anh còn nhớ cuộc tranh luận của chúng ta với Prôtagor) ]rằng những người được xem là thông minh thì phần lớn lại là những kẻ ngu độn và dốt nát. Những lập luận của họ hoàn toàn không có cơ sở, bởi vì - khác với các nhà toán học – họ sử dụng những khái niệm không định nghĩa và chưa được thừa nhận. Bởi vậy tôi đã tự mua thù chuốc oán. Và cũng chẳng đáng ngạc nhiên, vì rằng đối với những người dùng những ngôn từ tối tăm để che giấu một nội dung không rõ ràng, tôi đã trở nên một kẻ đáng trách. Người ta thường không ưa những ai luôn luôn nhắc cho họ biết những thiếu sót của họ, những thiếu sót mà họ không có khả năng hay không muốn sửa chữa. Sẽ có một ngày những kẻ thù của tôi sẽ tấn công và tiêu diệt tôi. Nhưng khi cái ngày ấy chưa đến, tôi vẫn sẽ đi theo con đường đã chọn... Còn bây giờ thì anh hãy đến với Teôdor đi...
---------------------*-----------------------
Chú thích)
1. Câu đố của con Nhân Sư (Sphinx): trong thần thoại Hy Lạp, là con quái vật mình sư tử, cánh chim, đầu và ngực của đàn bà. Đây là câu đố của con Nhân Sư dành cho tất cả những ai bước vào thành phố Thebes (không trả lời được là giết ngay): ìCái gì có 4 chân vào buổi sáng, ba tại buổi trưa và hai vào buổi tối?”. Câu đố này sau được vua xứ Thebes là Oedipus trả lời.

HẾT PHẦN I