Tớ xin Post lên đây 1 số suy nghĩ của tớ về Steenrod squares, mình vừa có 1 buổi nói chuyện với thầy giáo, mặc dù những gì tớ suy nghĩ ra thì cũng không có gì đặc biệt nhưng muốn trao đổi thêm với mọi người để xem có ai nghĩ tiếp được không.
Cách đặt vấn đề của tớ rất đơn giản:
Như đã biết Sq: H*(X;Z2)--->H*(X;Z2) là 1 cohomology autormorphism, với Sq =
Sq^i , chuỗi này là hữu hạn. Bây giờ ta xét 1 fỉber bundle F-->E--->X. Vì Sq là Cohomology automorphism nên ta lấy tích tensor với H*(F;Z2) over Z2, lưu ý rằng ta giả thiết H*F luôn là free modul, tức là cái inclusion i : F-->E cảm sinh i* : H*(E;Z2)---> H*(F;Z2) : cj ---> i*(cj) trong đó i*(cj) là 1 basis của H*F.
Vậy nên ta có 1 ismorphism Sq tensor id over Z2 : H*(X;Z2) tensor H*(F;Z2) --> H*(X;Z2) tensor H*(F;Z2).
Bây giờ áp dụng định lý Leray-Hirsch thu được 1 ánh xạ f: H*(E;Z2)--->H*(E;Z2):
p*(b_i)
c_j --->
Sq(p*(b_i)
c_j.
Ta thấy cái cohomology classes c_j là invariant đối với ánh xạ f. Lưu ý rằng mặc dù ta có biểu đồ giao hoán f
=
(Sq tensor id over Z2) , nhưng theo như tớ tính toán cụ thể thì f không bằng Sq.
Với
: H*(X;Z2) tensor H*(F;Z2) ---> H*(E;Z2) là ismorphism được cho bởi
b_i tensor i*(c_j) ---->
p*(b_i)
c_j .
Vậy ta có 1 groups homorphism f , cái này bằng id nếu ta hạn chế nó trên 1 free modul mà cụ thể là H*(F;Z2).
Tiếp theo nếu ta tác động f liên tục thì sau n lần ta thu được
Sq^n (p*(b_i)
c_j. Chú ý là Sq^n muốn nói tới số mũ n của Sq, chứ không phải là steenrod operation thứ n.
rõ ràng f cảm sinh 1 cohomology operation trên vành cohomology của Total space. f: H^k ( E; Z2) ---> H^ (k+n) (E; Z2), tính natural của f có thể chỉ ra dễ dàng. Ánh xạ f có phần nào giống 1 cohomology automorphism , nhưng lại không giống, ai có idea gì tiếp không.
Theo như trao đổi của tớ với thầy giáo thì việc dùng H* là rất tồi, H* có thể tốt cho trường hợp Mayer-Vietoric, nhưng trong trường hợp fibre bundle thì người ta luôn có 1 exact sequence của homotopy:
...--->
_n ( F) -->
_n ( E) -->
_n( X) --->.....
Xin mời Bupbebe cho tiếp ý kiến.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi quantum-cohomology: 21-02-2005 - 20:59