Chủ đề này có 21 trả lời

[namdung]

Chào các bạn

Không phải chỉ trên DDTH mới đặt ra câu hỏi "Tại sao có nhiều toán BDT". Cả trên mathlinks.ro, một diễn đàn nổi tiếng của dân Olympic toán, câu hỏi tương tự cũng được đặt ra.

Tôi không có ý định trả lời câu hỏi này, vì đây quả thực là một câu hỏi khó. Hồi cuối cấp 2, tôi cũng rất đam mê BDT vì chúng hấp dẫn và khá dễ hiểu (không cần trang bị kiến thức cao siêu gì). Đến nay, tôi vẫn thích BDT vì đây vẫn là lĩnh vực dễ sáng tạo ra bài toán mới nhất (trong khi đó với 1 bài toán hình học, tổ hợp hay thậm chí phương trình, việc nghĩ ra bài toán mới khó hơn nhiều).

Ở đây, tôi muốn đặt vấn đề liên quan đến tính thực tế của BDT, nói cách khác, đến ứng dụng của BDT trong toán học và trong cuộc sống.

Đành rằng, có nhiều bài toán đặt ra mà gần như không có ý nghĩa thực tế gì cả (ví dụ nổi tiếng: phương trình x^n + y^n = z^n) nhưng vẫn có những ý nghĩa khoa học lớn lao. Nhưng, theo tôi, thực tế vẫn là thước đo quan trọng nhất để đánh giá ý nghĩa của một bài toán. Vì vậy, những bài toán xuất phát từ thực tế luôn là những bài toán đáng được quan tâm, và, rất may mắn, chúng thường là những bài toán đẹp.

Với những suy nghĩ như vậy, tôi muốn mở diễn đàn dành cho tất cả chúng ta để nói về những ứng dụng của BDT trong toán học và trong cuộc sống. Và để bắt đầu, tôi đưa ra một số bài toán kinh điển:

1. Có ba làng A, B, C, D trên đỉnh một hình vuông cạnh 1km. Hãy thiết lập mạng lưới giao thông nối liền 3 làng tốn ít chi phí nhất.

2. Có một miếng tôn hình vuông kích thước 1m x 1m. Hãy sử dụng miếng tôn này để hàn thành 1 hình hộp chữ nhật (không cần đáy) có dung tích lớn nhất.

3. Hai làng A, B nằm hai bên 1 dòng sông. Hỏi phải xây cầu ở vị trí nào để đường đi từ A đến B ngắn nhất (cầu phải xây vuông góc với bờ sông)

4. Từ A đến B, người ta phải đi qua 1 cách đồng và 1 con sông. Tốc độ chạy trên cách đồng là v1, tốc độ bơi trên sông là v2. Hỏi phải bố trí cách di chuyển thế nào để thời gian di chuyển là ngắn nhất?

5. Một gia đình cần 900g chất protit và 400g chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Ta biết rằng thịt bọ chứa 80% protit và 20% lipit, thịt heo chứa 60% protit và 40% lipit. Người ta chỉ mua nhiều nhất 1600g thịt bò, 1100 g thịt heo. Giá tiền 1kg thịt bò là 60.000 đồng, thịt heo là 48.000 đồng. Hỏi gia đình này phải mua mỗi loại thịt bao nhiêu để chi phí ít nhất?

Rất mong muốn được nhận thêm sự đóng góp của các bạn về những ứng dụng đa dạng của BDT.

Chúng ta sẽ không giới hạn ở các bài toán phổ thông.

[NAPOLE]

Tôi đồng ý là Bdt thì cũng có nhiều ứng dụng như thầy Namdung đã nói như dùng để tìm PP tối ưu chẳng hạn nhưng thật sự là những Bdt của chúng ta nhiều khi thuộc loại "cao siêu" quá đến nỗii nó chẳng có ứng dụng gì trong cuộc sống.Tui nghĩ rằng chúng ta nên hướng đến các Bdt Hình học thay vì các Bdt đại số quá nhiều như hiện nay.Bdt Hình Học nói cho cùng cũng có nhìu ứng dụng hơn Bdt đại số (thứ mà đang chiếm đại đại đa số)
PS:Tất cả các BDT thầy NamDung post chẳng phải đều chỉ ứng dụng các Bdt đại số một ít hay sao ?

[Lim]

Mình không biết gì về BDT nên chắc cũng không hiểu nhiều về ứng dụng của nó. Chỉ xin liệt kê một vài đầu sách, các bạn quan tâm nên tìm đọc.

[1]
Inequalities and applications / editor, R.P. Agarwal.
by Agarwal, R. P. (Ratan Prakash), 1925-

[2]
Inequalities and optimal problems in mathematics and the sciences [by] G. Stephenson. -by Stephenson, G. (Geoffrey), 1927-

[3]
Inequalities / by Edwin F. Beckenbach and Richard Bellman. --
by Beckenbach, Edwin F., Bellman, Richard Ernest, 1920-

[4]
Inequalities, by G.H. Hardy, J.E. Littlewood [and] G. Pólya.
by Hardy, G. H. (Godfrey Harold), 1877-1947., Littlewood, John E. (John Edensor), 1885-1977., Polya, George, 1887-

[5]
Inequalities for differential and integral equations / B.G. Pachpatte.
by Pachpatte, B. G.

[6]
Inequalities for stochastic processes : how to gamble if you must / Lester E. Dubins, Leonard J. Savage.
by Dubins, Lester E., 1920-, Savage, Leonard J. joint author.

[7]
Inequalities from complex analysis / John P. D'Angelo.
by D'Angelo, John P.

[8]
Inequalities in mechanics and physics / G. Duvaut, J. L. Lions ; translated from the French by C. W. John. --
by Duvaut, G., Lions, Jacques Louis.

[9]
Inequalities on distribution functions/ H. J. Godwin. --
by Godwin, H. J. (Herbert James)

[10]
Inequalities : proceedings. --
by Symposium on Inequalitites., Shisha, Oved., Aerospace Research Laboratories (U.S.)

[11]
Inequalities : theory of majorization and its applications / Albert W. Marshall, Ingram Olkin. --by Marshall, Albert W., Olkin, Ingram.

[12]
Inequalities / translated from the Russian by Halina Moss ; translation editor: Ian N. Sneddon. --by Korovkin, P P

[13]
Geometric inequalities. By O. Bottema

[14]
Recent progress in inequalities / edited by G.V. Milovanović.

... Có khoảng 146 đầu sách liên quan đến bất đẳng thức. Tiếc rằng mình chả bao giờ đọc cả. Dốt toán mà

[zaizai]

hì kể thêm vào đó 2 quyển kinh điển và hiện đại nữa là:
[15]
Secret inequalities\ author Pham Kim Hung
[16]
Algebraic inequalities\ author Vasile Cirtoaje
2 quyển này chắc thú vị hơn mấy quyển của anh Lim nhiều

Về bất đẳng thức và ứng dụng của nó thì em chưa ứng dụng lần nào cả Nhưng nếu nói về thực tế tất nhiên là sẽ có ứng dụng (mà em chưa biết )
Em thích BDT ... từ nhỏ nên đã mất khá nhiều thời gian cho nó, tuy nhiên theo quan điểm của em thì đó là 1 niềm vui nhưng mà lao vào thì ... ko quá nên
Thực ra trong topic nổi tiếng: "Tại sao có nhiều Bất Đẳng Thức thế?" của anh Lim mở ra hồi trước cũng đã nêu nhiều ý kiến khác nhau về vấn đề nan giải này, hình như trong topic đó vẫn chưa tìm ra câu trả lời
Còn về bất đẳng thức hình học thì cũng chẳng thú vị mấy (chắc là nhiều người đồng quan điểm như em trừ anh Bùi Việt Anh ). Mà cái gì đẹp đẽ nhất của bất đẳng thức hình học có lẽ cụ Jack đã tìm ra hết cả Mà bất đẳng thức của Jack thì thường đa số đều có thể dùng dồn biến, hoặc một số bất đẳng thức như Fagnono, Ptolemy đều có thể dùng công cụ hình giải tích, tư tưởng đều là đại số hóa cả. Vì vậy dù bất đẳng thức có ứng dụng thế nào thì cũng ít người thích nó

[Lim]

Mọi người đều truy cập được vào
http://jipam.vu.edu.au/
chứ ?

Thích BDT thì vào đó mà tìm hiểu, chứ quay đi quẩn lại mấy dạng BDT ở báo nhà thì sao đủ.

[zaizai]

cái này chỉ dành cho dân chuyên nghiệp Trò trẻ con ai dùng đồ người lớn làm gì hả anh Mấy bài báo trong đó đa số đều liên quan đến hàm cả
Chắc cũng ít người đọc tạp chí này (dù nó rất rộng)

[red_river]

Ơ các tóan thì người ta nói đến toán cao cấp chứ toán sơ cấp thì nói nhiều làm gì ! BĐT đâu chỉ là mấy cái vớ vẩn như zaizai biết ! Mấy cái zaizai biết chỉ là quá nhỏ sao có thể quy rằng BĐT chỉ là trò trẻ con ! Nó có nhiều ứng dụng lắm !

zaizai: Ơ hơ trò trẻ con là đối với em bác ạ, vì em toàn làm bài dễ thôi Em có nói nó là đơn giản và dễ đâu
Còn về ý kiến

Chúng ta đã bỏ quá nhiều thời gian vào các BDT khó, từ tổng quát hóa, rồi tổng quát hơn, cứ như thế chúng ta ngày càng đi xa chính đạo rồi chẳng đi tới đâu. Đúng là chúng ta luyện tập về BDT là để chúng ta học toán được tốt hơn, chứ không phải là miệt mài sưu tầm BDT khó, đạt đến thành tích hiểu được tất cả các dạng mà nếu hệ thống lại cũng viết thành cuốn sách ngàn trang. Thật là vô ích.Tôi đoán rằng các BDT đó đem đố các nhà toán học tên tuổi, học cũng xin thua

thì em cũng có chút ít ko đồng tình vì viết sách cũng tốt chứ ạ Tại sao lão Vasile lại viết 1 quyển sách loại này, chắc nó cũng có ít mâu thuẫn với những gì anh nói^_^

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zaizai: 01-11-2006 - 01:00

[redline]

BDT quan trọng trong khoa học lý thuyết và cả trong khoa học ứng dụng điều này bất cứ ai học khoa học tự nhiên cũng hiểu. Những bí ẩn của vũ trụ không chỉ được ẩn dấu trong các phương trình đối xứng và gọn đẹp, mà cả qua các bất đẳng thức, nó quy định những ràng buộc không được phép vi phạm . Khoa học hiện đại đã chứng minh: đơn giản không còn là tiêu chuẩn của chân lý. Thế giới chúng ta đang sống phức tạp hơn chúng ta tưởng nhiều. Khoa học đã chia ra thành muôn vàn chuyên ngành, nhiều cũng như muôn vì tinh tú. Toán học cũng vậy. Điều quan trọng trong học toán, không phải là các phương pháp tính toán, mà BDT là một trong số này. Một trong những tư tưởng chính của toán học là các đối tượng đều được đo lường bởi các con số, mà các con số này phải đảm bảo yêu cầu là bất biến với các đối tượng tương tự, mà trong toán học gọi là đẳng cấu, ngừoi ta gọi đó là các bất biến. Để tính ra cụ thể các bất biến đó là điều khó. Thường thì người ta yêu cầu chặn trên hoặc chặn dưới đủ tốt các bất biến này thông qua các bất biến khác. BDT chỉ quan trọng trong công việc khi mà chúng ta biết khá rõ ràng các đối tượng có quan hệ với nhau như thế nào, và từ đó chúng ta có cảm nhận được các ràng buộc đó chi tiết ra sao. Như vậy sự hiểu biết của chúng ta về các đối tượng môn học, cũng như chúng liên hệ thế nào với nhau và với các khoa học khác mới là quan trọng. Chứ không phải làm việc trên các BDT rất tổng quát và được cho là rất khó mà chẳng xuất phát từ yêu cầu gì cụ thể cả. Chúng ta đã bỏ quá nhiều thời gian vào các BDT khó, từ tổng quát hóa, rồi tổng quát hơn, cứ như thế chúng ta ngày càng đi xa chính đạo rồi chẳng đi tới đâu. Đúng là chúng ta luyện tập về BDT là để chúng ta học toán được tốt hơn, chứ không phải là miệt mài sưu tầm BDT khó, đạt đến thành tích hiểu được tất cả các dạng mà nếu hệ thống lại cũng viết thành cuốn sách ngàn trang. Thật là vô ích. Tôi đoán rằng các BDT đó đem đố các nhà toán học tên tuổi, học cũng xin thua. Vì sao vậy? Tại sao họ lại sáng tạo ra lý thuyết toán học mà không làm được các bài toán đó. Bởi vì, họ nghiên cứu toán học, họ tìm ra được các quan hệ sâu sắc. Từ đó họ đưa ra được các đánh giá xuất phát từ bản thân các quan hệ họ cảm nhận và do đó xuất phát từ tâm hồn. Như vậy dù có miệt mài lao vào sưu tầm các BDT cũng chỉ mất thời gian, nếu các BDT đó không xuất phát từ các quan hệ toán học mà ta cảm nhận. Quy luật của tự nhiên cũng như xã hội là tự nhiên. Các BDT cũng được khám khá một cách tự nhiên và có lý, nhưng khi ra để, chúng đã bị cắt đi các lý do dẫn đến kỹ thuật chứng minh BDT rồi thì bài BDT thành ra đánh đố. Các bài toán BDT vẫn đang được mọi người sáng tạo từ những biến đổi lắt léo rồi tuyên truyền BDT hay và đẹp. Cũng như một công cụ vô ích, trao vào tay các bạn trẻ không có chỗ sử dụng. Cho đến khi các bạn đó nhận ra sự vô ích đó thì thời gian quý giá giành cho những vấn đề thiết yếu của cuộc sống đã vô tình bị lấy đi mất rồi.

[namdung]

Tôi chia sẻ quan điểm của redline. Vì thế tôi không thích thú lắm với những bài toán chứa những biểu thức không thực tế, như



Ở đây tôi chưa bàn đến những ứng dụng của BDT ở bậc đại học (vì dù sao, đây cũng là hộp thư Toán phổ thông), vì vậy các ví dụ mà tôi đưa ra còn khá đơn điệu (chủ yếu mới chỉ dùng đến các tính chất hình học, một ít về đại số và giải tích). Tuy nhiên, chúng ta cứ hãy bắt đầu bằng những ví dụ đơn giản.

Các bạn hãy đi vào thực chất vấn đề: hãy nêu ra các ví dụ áp dụng của BDT.

Tôi xin bình luận thêm về các bài toán:

1. Bài toán 1 khá thú vị, là một kết quả kinh điển trong hình học tổ hợp (mà trên báo THTT vừa đăng lời giải)
2. Bài này thì đại số hóa và dùng Cauchy thôi (Lấy từ cuốn sách của Korovin mà Lim có đề cập)
3. Ý tưởng kinh điển: phép tịnh tiến.
4. Bài này chính là định lý Fermat về đường đi của ánh sáng. Từ định lý này dẫn tới phương trình vi phân cho đường đoản thời.
5. Một ví dụ đơn giản của quy hoạch tuyến tính (lấy từ sách BT Đại số 10)

Namdung

[karakov]

Em thì làm bất đảng thức ko giỏi nhưng em hỏi các anh và các thầy 1 câu :Đứng trướca 1 bài toán bất đẳng thức đẹp thì ý nghĩ đầu tiên mà mọi người nghĩ tới là gì chả lẽ lại là nó đẹp thì kệ nó còn mình thì làm việc khác.Mấy bài của thầy Namdung cũng khá hay thầy có thích bdt hình không ạ nếu thầy thích thì vào đây giúp em với Jack Garfulkel

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi karakov: 01-11-2006 - 16:04

[ghét_hình_học]

Em thích Bdt thức! (Lý do thì thầy Namdung nói hết rồi )
Nhưng em cũng cảm thấy lao đầu vào sáng tạo bdt kiểu như "...từ những biến đổi lắt léo rồi tuyên truyền BDT hay và đẹp" thì thật phí phạm thời gian!
Theo em:
Một bài toán hay thì đề toán phải có trước lời giải
(Em nghĩ đây là đk cần, còn có đk đủ hay chưa thì xin mọi người cho ý kiến)
Trong cuốn sáng tạo bdt của anh hungkhtn phần các phương pháp sáng tạo bdt, em không đồng ý với cách dùng SOS và việc tìm hằng số k để tạo thành bdt ở nhiều bài toán (không phải là tất cả).

[BlnGcc]

Chào các bạn. Tôi cũng thích nghiên cứu BDT. Quan điểm của tôi về 1 bài BĐT đẹp là đơn giản, có nhiều cách giải, qua đó, ta có thể xây dựng phương pháp giải hoặc sáng tạo các bđt mới bằng tổng quát hóa hay tương tự. Dạo này thấy các bạn trên diễn đàn có gởi các bài bđt (đại số) quá cồng kềnh, lời giải cũng dài không kém, nhưng thấy sự đánh đố nhiều quá. Phải chăng ta phải làm điều đó mới gọi là giỏi Bđt!

[namdung]

Các bạn có vẻ đi xa chủ đề ban đầu quá. Có vẻ mọi người không thích các vấn đề ứng dụng lắm.

Đó là lỗi của cách dạy và cách ra đề thi ở VN. Ở cấp 2 còn thấy những bài toán đố (như bài toán chuyển động, vòi nước). Lên cấp 3 tuyệt nhiên biến mất. Học sinh giải phương trình, chứng minh BDT, tìm cực trị ... mà chẳng biết để làm gì.

Đề thi HSG của ta những năm đầu thường luôn có những bài toán thực tế. Đề của Nga cũng thường phát biểu rất thú vị.

Tôi lấy ví dụ một bài của năm 1978:

Một con sông đào khúc đầu bề rộng a mét đến một chỗ rẽ theo góc vuông bề rộng khúc sau là b mét. Tìm chiều dài lớn nhất của một bè gỗ hình chữ nhật mà bề ngang là c mét để khi bè trôi từ khúc đầu sang khúc sau đến chỗ rẽ không bị tắc.

Tôi rất muốn các bạn sẽ đóng góp thêm những bài toán kiểu như vậy (cùng các lời giải các bài toán đề nghị)

[pvthuan]

Ngay cả đến việc viết thơ, làm thơ, hay đến thế, đời thường và thánh thiện đến thế, đôi khi cũng bị phê phán mà. Nhưng ta hãy xem khi nào thì việc đó lại bị .... Chắc chắn là không phải vì lý do tự thân, lý do bên trong, mà lý do con ngươì, cách làm.

Phần nhiêù ngươì làm bất đẳng thức lấy làm vui, và hài lòng với vẻ đẹp hình thức, và các ý nghĩa đối lập, bất ngờ của bài toán.

Khi đã liên hệ được với những vẻ đẹp, những sự kiện đời thường thì BDT càng lung linh còn gì. Nhưng thú thực là học sinh thì không nên học quá nhiêù nó đến mức bỏ các môn học khác.

[kyoshiro_hp]

Thầy lập ra topic hay như vậy mà giờ em mới biết.Em xin giải một số bài đầu:
Bài 1: Bài này thì em nghĩ là điểm Toricelli của ba làng.
Bài 2: Gọi một cạnh của hình hộp là a, cạnh kia là b. Thế thì :
http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?a+b=\dfrac{1}{2}
=> http://dientuvietnam...mimetex.cgi?f(x)=l^{2}
C/m được hàm f(x) đạt GTNN <=> http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?(a^{\dfrac{2}{3}}+b^{\dfrac{2}{3}})^{\dfrac{3}{2}}
Bài tổng quát em nghĩ không khác.
Sau đây em xin đưa ra 1 bài toán cũng khá hay:
Bài 1: Một người A không biết bơi, đứng trên bờ của 1 bể bơi hình tròn.Ở tâm của bể bơi có một người B khác, người này bơi chậm hơn 4 lần so với A chạy, nhưng lại chạy nhanh hơn A.Hỏi B có thể bơi vào bờ rồi chạy đi mà không bị A bắt được không?
b, Khảo sát kết quả khi tỉ số vận tốc bơi của B và chạy của A là số k>0 .tùy ý

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi kyoshiro_hp: 13-11-2006 - 17:50

[namdung]

Bài 4: Bắt đầu từ đây thì không dùng vô chiêu được nữa
Bài này phát biểu tương đương:
Cho 2 điểm A,B ở hai nửa mặt phẳng bờ là d. Tìm vị trí M trên d sao cho MA+kMB nhỏ nhất.(k > 0).Em chưa có thời gian làm thử nên chỉ tìm được một cách khá xấu xí là phải giải 1 phương trình bậc 4 dạng tổng quát.Mong có bạn khác đưa ra 1 lời giải hình học đẹp mắt.

Bài này không có lời giải hình học đâu. Kết quả bài này chính là nguyên lý Fermat về truyền sáng: Ánh sáng sẽ đi theo con đường ngắn nhất (về thời gian). Và điều kiện là sin(Phi1)/sin(Phi2) = v1/v2 trong đó Phi1, Phi2 là góc tạo giữa véc tơ pháp tuyến với quỹ đạo đường đi. Điều này các bạn có thể dùng đạo hàm chứng minh.

Và để giải cái phương trình trên, đúng là ta sẽ dẫn đến 1 pt bậc 4.

Rất cảm ơn kyoshiro đã có những đóng góp rất thiết thực và đúng chủ đề. Mong các bạn tiếp tục tham gia.

[1001001]

Bài của bạn kyoshiro_hp mình nghĩ cho B bơi trên đường nối đoạn AB theo hướng ra xa A là lợi nhất cho B rồi so sánh tỉ số giữa 1/2 chu vi đường tròn và bán kính r chắc là ra.
Lời của pv_thuan giống suy nghĩ của mình; hình như trong toán học có 3 kiểu là: giải những bài toán đẹp với lời giải đẹp, giải những bài toán có thể giải, giải những bài toán cần phải giải. Hai loại sau thì không có tiêu chuẩn nào rõ ràng về lời giải ngoại trừ là đúng về mặt logic. Nói chung 3 loại này đều đề có trước lời giải có sau.
Kiểu toán mà lời giải trước đề có sau như anh Hùng nói chắc chỉ có trong thi.
Em xin nêu 1 bài toán gắn với thực tế (có đề nhưng chưa có lời giải ):1 viên bida lăn trên mặt bàn theo qui tắc sau :
_Lăn không trượt theo đường thẳng.
_không được phép xoáy ngang trên mặt bàn , các hướng xoáy nghiêng đều làm viên bi di chuyển và cũng đều không trượt.
Trên viên bi có 1 dấu chấm .
Liệu từ 1 chỗ ban đầu viên bida có thể đi đến mọi điểm bất kì trong mặt bàn mà khi đã đến thì điểm chấm trên viên bi trùng lên điểm cần đến không ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi 1001001: 15-11-2006 - 06:22

[namdung]

Tôi xin nêu ra một quan điểm của GS Tikhomirov về nguyên nhân tại sao người ta giải các bài toán cực trị (rất gần với BDT)

"Có ít nhất ba nguyên nhân thúc đẩy người ta giải các bài toán cực trị. Thứ nhất là tính thực tế: con người luôn luôn hướng đến việc sử dụng tốt nhất các nguồn lực của mình, vì vậy hàng loạt các bài toán về maximum và minimum nảy sinh trong kinh tế, trong việc giải quyết các vấn đề kỹ thuật, trong điều khiển các quá trình khác nhau.

Nguyên nhân thứ hai là một tính chất của thế giới xung quanh ta mà cho đến nay chúng hoàn toàn hiểu hết được: rất nhiều quy luật của tự nhiên được mô tả bằng các nguyên lý tối ưu.

Nguyên nhân thứ ba - sự tò mò của con người, mong muốn của họ luôn tìm hiểu vấn đề đến tận cùng. Điều này cũng thường dẫn đến các bài toán về maximum và minimum"

(Lý thuyết tối ưu trước đây và bây giờ - V.Tikhomirov, Kvant, số 2/2004)

[kyoshiro_hp]

Bài của bạn kyoshiro_hp mình nghĩ cho B bơi trên đường nối đoạn AB theo hướng ra xa A là lợi nhất cho B rồi so sánh tỉ số giữa 1/2 chu vi đường tròn và bán kính r chắc là ra.

Mình ko nghĩ nó chỉ có vậy. Đang bơi thì A có thể chuyển hướng, kết quả có thể sẽ khác.

[thanhhuylekhiet]

Các bạn có thể cho mình day du lời giải cac bài toan(cua NAMDUNG) trên được khong ,minh cần gấp.cảm ơn nhiều nha