Đến nội dung


Hình ảnh

$\cos [(k-1)x], \cos (kx) \in \mathbb{Q}$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 QUANVU

QUANVU

    B&S-D

  • Hiệp sỹ
  • 4378 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 13-11-2006 - 16:36

Giả sử $k>2$ là số nguyên dương và $x$ là số thực sao cho $\cos [(k-1)x]$ và $\cos (kx)$ là số hữu tỉ. Chứng minh rằng có số nguyên dương $n>k$ sao cho $cos[(n-1)x]$ và $cos(nx)$ là số hữu tỉ.


1728

#2 maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Quy Nhơn

Đã gửi 06-06-2014 - 11:25

Ta có nhận xét rằng nếu $\cos x$ là số hữu tỉ thì $\cos (kx)$ cũng là số hữu tỉ, với $k$ là số nguyên dương (do $\cos (kx)=P_k(\cos x)$, với $P_k(x)$ là đa thức Chebyshev loại I với bậc k, là một đa thức hệ số nguyên).

Vì vậy yêu cầu của đề bài tương đương với việc chứng minh hệ đồng dư sau có nghiệm

$\left\{\begin{matrix} n \equiv 0 &(mod k) \\ n \equiv 1 &(mod (k-1)) \end{matrix}\right.$

Nhưng hệ này luôn có nghiệm theo định lý thặng dư trung hoa ( chẳng hạn lấy $n=k^2$ ). Ta có đpcm.






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh