Chủ đề này có 84 trả lời

[Yagami Raito]

Bài 12
Tìm số chính phương có bốn chữ số , biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuôí giống nhau

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrunghieua: 08-08-2011 - 21:52

[Crystal]

Bài 12
Tìm số chính phương có bốn chữ số , biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau và hai chữ số cuôí giống nhau

Số phải tìm có dạng: $\overline {aabb} $ với $a,b \in N,1 \le a,b \le 9$.
Ta có: $\overline {aabb} = k^2 ,\,k \in N,31 < k < 100$. (1)
Ta có: (1) $\Leftrightarrow 1100a + 11b = k^2 \Leftrightarrow 11\left( {100a + b} \right) = k^2 \,\,\,(2)$.
Từ (2) $\Rightarrow k^2 \vdots 11$, 11 nguyên tố $\Rightarrow k \vdots 11 \Rightarrow k^2 = 121m^2 $.
Do đó: $100a + b = 11m^2 \,\,\,\,(3) \Rightarrow a + b \vdots 11$
Vì $2 \le a + b \le 18 \Rightarrow a + b = 11$
Thay vào (3), ta có:
$9a + 1 = m^2 \Leftrightarrow m^2 - 1 = 9a \Rightarrow m^2 - 1 \vdots 3$
Vì (m+1)-(m-1)=2 nên m+1 và m-1 không đồng thời chia hết cho 3 và do đó cũng không đồng thời chia hết cho 9.
$m + 1 \vdots 9\,$ thì m-1 không chia hết cho 3.
$m - 1 \vdots 9\,$ thì m+1 không chia hết cho 3.
Mặt khác: 31< k <100 $\Rightarrow 3 \le m \le 9 \Rightarrow 2 \le m - 1 \le 8,\,\,\,4 \le m + 1 \le 10$
Do đó: $m + 1 = 9 \Leftrightarrow m = 8 \Leftrightarrow k = 88 \Rightarrow \overline {aabb} = 88^2 = 7744$.
Vậy số cần tìm là 7744.

[Zaraki]

Xin lỗi về việc nhầm đề bài 11, xin chữa lại như sau:
Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{11p}-2$ chia hết cho $11p$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 09-08-2011 - 09:56

[Yagami Raito]

Bạn gợi ý đi chứ bài này khó ghê
MÌnh xin đưa ra bài này mong mọi ng giúp
Cho $k$ N $k$ 0 và A là số có $2k$ chữ số 1, B là số có $k$ chữ số 2
C/m A-B là một số chính phương

[Crystal]

Bạn gợi ý đi chứ bài này khó ghê
MÌnh xin đưa ra bài này mong mọi ng giúp
Cho $k$ N $k$ 0 và A là số có $2k$ chữ số 1, B là số có $k$ chữ số 2
C/m A-B là một số chính phương

Giải:

$A = \underbrace {111...11}_{2k} = \dfrac{{10^{2k} - 1}}{9};\,\,\,\,\,\,B = \underbrace {222...22}_k = 2.\dfrac{{10^k - 1}}{9} = \dfrac{{2.10^k - 2}}{9}$

$\Rightarrow A - B = \dfrac{{10^{2k} - 1}}{9} - \dfrac{{2.10^k - 2}}{9} = \dfrac{{10^{2k} - 2.10^k + 1}}{9} = \left( {\dfrac{{10^k - 1}}{3}} \right)^2 $

Mặt khác:

$10^k - 1 = \underbrace {999...99}_k \vdots 3$

Vậy A - B là số chính phương (đpcm)

[Zaraki]

Xin lỗi về việc nhầm đề bài 11, xin chữa lại như sau:
Bài 11: Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2^{11p}-2$ chia hết cho $11p$.

Gợi ý nhé! Bài này sao ta không thử áp dụng định lý Fermat nhỏ xem nào!

[Crystal]

Bài 12: Ta định nghĩa một cách rút gọn phân số như sau:

$\dfrac{{\overline {ab} }}{{\overline {bc} }} = \dfrac{a}{c};\,\,\,\dfrac{{\overline {an} }}{{\overline {bn} }} = \dfrac{a}{b};\,\,....$

Thí dụ: $\dfrac{{26}}{{65}} = \dfrac{2}{5}$
Hãy tìm tất cả các phân số rút gọn là $\dfrac{a}{b},\left( {a,b} \right) = 1$, theo định nghĩa trên, (có thể giả sử a < b). Biết rằng $\dfrac{a}{b}$ chỉ có thể bằng một trong bốn phân số sau:

$\dfrac{{10a + n}}{{10b + n}};\,\,\dfrac{{10n + a}}{{10n + b}};\,\,\dfrac{{10n + a}}{{10b + n}};\,\,\,\dfrac{{10a + n}}{{10n + b}}$.

[Zaraki]

xusinst có thể đưa ra lời giải bài 12 được không, cảm ơn bạn nhiều!

[ongdongheo]

Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{{{5^2}}} + \dfrac{2}{{{5^3}}}... + \dfrac{{11}}{{{5^{12}}}} < \dfrac{1}{{16}}$
Ngoài cách nhân vế trái với 5 sau đó biến đổi còn cách nào khác không các bạn?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ongdongheo: 01-09-2011 - 09:06

[Zaraki]

Bài 13. Cho $f(x)=x^{x^{x^x}}$. Tìm hai chữ số tận cùng của $f(17)+f(18)+f(19)+f(20)$.

[Zaraki]

Bài 14. Tìm tất cả các số nguyên tố $p; q$ sao cho $pq-555p$ và $pq+555q$ đều là số chính phương.

Bài 15. Tìm cặp số $x, y$ nguyên dương thỏa:
$$y = \sqrt[3]{18+\sqrt{x+1}} + \sqrt[3]{18 - \sqrt{x+1}}$$

Bài 16. Tìm số dư của phép chia $ (2n - 1)!! + (2n)!! $ cho $ 2n+1$.

Bài 17. Tìm tất cả các số nguyên $n$ sao cho $A =(n - 2010)(n - 2011)(n - 2012)$ là một số chính phương.

Bài 18. Có tồn tại hay không $x;y;z \in \mathbb{N}$ sao cho
$$2^z=37x^2+1297xy+37y^2$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 26-09-2011 - 18:07

[dark templar]

Tặng Toàn 3 bài này
Bài 19: Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(a;b)$ sao cho $a^2b^2-4(a+b)$ là 1 số chính phương.
Bài 20: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ sao cho $p^2+7pq+q^2$ là 1 số chính phương.
Bài 21: Tìm số dư trong phép chia $2^{1991}$ cho 35.

[hxthanh]

Chém bài 21 trước (có vẻ dễ nhất )
Ta có
$2^{10}=1024 \equiv 9 \pmod {35} \Rightarrow 2^{11} \equiv 18 \pmod {35} \Rightarrow 2^{12} \equiv 1 \pmod {35}$
Từ đó suy ra
$2^{1991}=2^{11}.2^{12 .165}\equiv 2^{11} \equiv 18 \pmod {35}$

[Crystal]

Lời giải cho bài 12.
* Nếu $\dfrac{a}{b}$ bằng hai phân số đầu thì $a=b$.

* Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{10n + a}}{{10b + n}}$ thì $n = \dfrac{{9ab}}{{10b - a}}$ (1)

TH $a < b \Rightarrow 9b < 10b - a,\,\,\,9a > 10a - b$.

Giả sử $n<a$. Ta có: $\left( 1 \right) \Leftrightarrow n\left( {b - a} \right) = 9b\left( {a - n} \right)$. Cả $n$ và $b-a$ không chia hết cho 9 do đó mỗi số phải chia hết cho 3.

Nếu $n=6$ thì $b > a + 3 > n + 3 = 9$, vô lí.

Nếu $b-a=6$ thì $b = a + 6 > n + 6 \ge 9$, vô lí.

Do đó $b - a = 3;n = 3$. $\left( 1 \right) \Rightarrow 3 = \dfrac{{9ab}}{{9b + 3}} \Leftrightarrow ab = 3b + 1$, vô lí.

* Nếu $\dfrac{a}{b} = \dfrac{{10a + n}}{{10n + b}} \Leftrightarrow n = \dfrac{{9ab}}{{10a - b}}$. Vì $b > a \Rightarrow n > \dfrac{{9ab}}{{10a - a}} = b$.

Ta lại có: $a = \dfrac{{bn}}{{9\left( {n - b} \right) + n}} \le \dfrac{b}{2};\,\,\,b = 10a - \dfrac{{9ab}}{n},\,\,0 < a < b < 9$.

Do đó $n \vdots 3$. Ta tìm được các nghiệm: $\left( {a;n} \right) = \left( {1;6} \right);\,\left( {1;9} \right);\,\left( {2;6} \right);\,\left( {4;9} \right)$.

Mặt khác: $b \le 5b - \dfrac{{9ab}}{n} \Leftrightarrow \dfrac{{9a}}{n} \le 4 \Leftrightarrow a \le \dfrac{{4n}}{9}$.

Do đó: $\left( {a,n,b} \right) = \left( {1,6,4} \right);\,\left( {1,9,5} \right);\,\left( {2,6,5} \right);\,\left( {4,9,8} \right)$$\Rightarrow \dfrac{a}{b} = \dfrac{{16}}{{64}};\,\dfrac{{19}}{{95}};\,\dfrac{{26}}{{65}};\,\dfrac{{49}}{{98}}$

Ta phải có $\left( {a,b} \right) = 1$. Do đó có 3 phân số thỏa mãn ycbt là $\dfrac{{16}}{{64}};\,\dfrac{{19}}{{95}};\,\dfrac{{26}}{{65}}$

[Ispectorgadget]

Bài 22: Cho $2$ số $a,b$ sao cho
$\dfrac{a^2-1}{b+1}+\dfrac{b^2-1}{a+1}$ là số nguyên
CM: mỗi số $\dfrac{a^2-1}{b+1};\dfrac{b^2-1}{a+1}$ đều là số nguyên
Bài 23: Cho đa thức bậc 6 $f(x)$
$$f(1) = f(-1); f(2)=f(-2); f(3)=f(-3)$$
Cmr: $f(x) =f(-x)$ với mọi $x$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 17-10-2011 - 19:24

[Crystal]

Bài 23: Cho đa thức bậc 6 $f(x)$
$$f(1) = f(-1); f(2)=f(-2); f(3)=f(-3)$$
Cmr: $f(x) =f(-x)$ với mọi $x$

Bài này đã.

Ta có: $$f\left( x \right) = {a_6}{x^6} + {a_5}{x^5} + {a_4}{x^4} + ... + {a_1}x + {a_0},\,\,\,\,{a_6} \ne 0,{a_i} \in R\,\,\left( {i = \overline {0,6} } \right)$$

Xét đa thức: $g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( { - x} \right)$, ta có:
$$g\left( x \right) = 2{a_5}{x^5} + 2{a_3}{x^3} + 2{a_1}x \Rightarrow \deg g\left( x \right) \le 5$$

Lại có: $$g\left( 1 \right) = 0,\,\,g\left( 2 \right) = 0,\,\,g\left( 3 \right) = 0,\,\,g\left( { - 1} \right) = 0,\,\,g\left( { - 2} \right) = 0,\,\,g\left( { - 3} \right) = 0$$

Đa thức $g\left( x \right)$ có $\deg g\left( x \right) \le 5$ và có 6 nghiệm số. Do đó $g\left( x \right) \equiv 0$

Vậy $f\left( x \right) = f\left( { - x} \right)\,\,\,\,\forall x$ đpcm.

[taitwkj3u]

Bài 24:tìm nghiệm nguyên của hệ
$$x^2+2001y^2=z^2$$
$$2001x^+y^2=t^2$$
Bài 25: Tìm các sốnguyên dương x,y,z tm:
$$3^x+4^y=7^z$$
Mod. Nếu bạn còn viết không có $\LaTeX$ thì đừng trách tôi xóa bài bạn.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 01-01-2012 - 20:10

[ohlalaf]

Nhờ mọi người giải giúp hộ bài toán lớp 6 như sau:
$$3 < 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{61}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63} < 6$$
Xin cám ơn trước.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 13-01-2012 - 17:17

[Zaraki]

Bài 20: Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p;q)$ sao cho $p^2+7pq+q^2$ là 1 số chính phương.

Đặt $p^2+7pq+q^2=m^2 \ (m \in \mathbb{N})$.
$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (p+q)^2+5pq=m^2 \\ \Leftrightarrow (m+p+q)(m-p-q)=5pq \end{array}$$
Vì $p,q$ nguyên tố và $m+p+q > m-p-q$ nên xảy ra các trường hợp

• $\begin{cases}m+p+q=5p\\m-p-q=q\end{cases}$

$\Rightarrow 2(p+q)=5p-q \Rightarrow p=q$

• $\begin{cases}m+p+q=p\\m-p-q=5q\end{cases}$

$\Rightarrow m+q=0$ (vô lí vì $VT>0$).

• $\begin{cases}m+p+q=5pq\\m-p-q=1\end{cases}$

$\Rightarrow 2(p+q)=5pq-1 \Leftrightarrow (5p-2)(5q-2)=9$
Không tồn tại $p,q$ nguyên tố thỏa mãn.

Các trường hợp $\begin{cases}m+p+q=q\\m-p-q=5p\end{cases}$ và $\begin{cases}m+p+q=5q\\m-p-q=p\end{cases}$ làm tương tự, từ đó ta được $\boxed{p=q}$. $\blacksquare$

[Zaraki]

Bài 24:tìm nghiệm nguyên của hệ
$$x^2+2001y^2=z^2$$
$$2001x^2+y^2=t^2$$

Bài này dùng lùi vô hạn, dễ dàng tìm được nghiệm $(x,y,z)=(0,0,0)$.