Đến nội dung


Hình ảnh

$4\sum \frac{a}{x} = \prod \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right)$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1 NPKhánh

NPKhánh

    Tiến sĩ toán

  • Thành viên
  • 1115 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:maths.vn
  • Sở thích:Nghiên cứu Toán học

Đã gửi 20-11-2006 - 20:47

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

$$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 30-07-2014 - 19:17

http://mathsvn.violet.vn trang ebooks tổng hợp miễn phí , nhiều tài liệu ôn thi Đại học



http://www.maths.vn Diễn đàn tổng hợp toán -lý - hóa ... dành cho học sinh THCS ;THPT và Sinh viên


#2 Viet Hoang 99

Viet Hoang 99

    $\textbf{Trương Việt Hoàng}$

  • Điều hành viên THPT
  • 2291 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Đại học Bách Khoa Hà Nội
  • Sở thích:...

Đã gửi 02-08-2014 - 21:13

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

$$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$

Ý tưởng $1/$

Ta đã biết đẳng thức quen thuộc sau:
$$(a^2+b^2+c^2)^2-4b^2c^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$$

Ta có:

 

$$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$$
$$\Leftrightarrow 4\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right)^2=\left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right)\left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)=\left ( \frac{a^2}{x^2}+\frac{b^2}{y^2}+\frac{c^2}{z^2} \right )^2-4.\frac{b^2c^2}{y^2z^2}$$
 
Ý tưởng $2/$
Ta có:
  • $$\tan (A+B) =(\tan A+\tan B)/(1- \tan A. \tan B)$$

$$\Rightarrow tan A+tan B+ tan C=tan A.tan B.tan C$$

 

  • $$\sum \frac{a}{x}=2\sum \tan A$$

$$\Rightarrow VT=8\sum \tan A=8\prod \tan A=VP$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Viet Hoang 99: 02-08-2014 - 21:14


#3 Kool LL

Kool LL

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 370 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Tp.HCM

Đã gửi 02-08-2014 - 23:28

Cho tam giác $ABC$ có trực tâm $H$ và các cạnh $a,b,c$. Gọi $x,y,z$ lần lượt là khoảng cách từ $H$ đến các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng:

$4 \left(\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) = \left(-\dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z}\right) \left( \dfrac{a}{x}-\dfrac{b}{y}+\dfrac{c}{z} \right) \left( \dfrac{a}{x}+\dfrac{b}{y}-\dfrac{c}{z} \right)$    (1)

Ve hinh hoc.png

$\Delta BHM\sim\Delta ACM\Rightarrow \frac{HM}{BM}=\frac{CM}{AM}\Rightarrow MB.MC=MH.MA\Rightarrow a_B.a_C=x.h_A$

$\Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{a.h_A}{a_B.a_C}=\frac{(a_B+a_C).h_A}{a_B.a_C}=\frac{h_A}{a_B}+\frac{h_A}{a_C}=\tan B+\tan C$

CMTT ta có : $\frac{b}{y}=\tan C+\tan A$   và   $\frac{c}{z}=\tan A+\tan B$

Suy ra : VT(1)$=8.(\tan A+\tan B+\tan C)$   và   VP(1)$=8.\tan A.\tan B.\tan C$

Mà $\tan A=\tan (B+C)=\frac{\tan B+\tan C}{1-\tan B.\tan C}\Rightarrow \tan A+\tan B+\tan C=\tan A.\tan B.\tan C$

Vậy VT(1) = VP(1) (đpcm) $\boxed{}$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kool LL: 02-08-2014 - 23:30





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh