1.Cho X là không gian metric compact khác rỗng . Giả sử f : X --> X là ánh xạ liên tục . Chưng minh rằng tồn tại một tập compact khác rỗng A của X sao cho f(A)=A . Nếu X liên thông thì có thể chọn sao cho A liên thông .
2.Xây dựng một hàm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\infty của f trùng với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}
Bài tập không gian metric
Bắt đầu bởi RobertoCarlos, 12-12-2006 - 17:52
#1
Đã gửi 12-12-2006 - 17:52
#2
Đã gửi 13-12-2006 - 00:23
hehe , nghịch chơi mấy bài này thì thấy
1) Bài này chứng minh "tương tự" như chứng minh định lý ánh xạ co . Liên tục xét f trên f(X) rồi f.f(X) .... và sử dụng đ/l Cantor ( giao của một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau là không rỗng ) là xong .
2) Bài này mới chỉ nghĩ được trong trường hợp hàm f không bị chặn địa phương . Đó là f(x)=cosx với x [2k ; 2(k+1) ] và f(x)=1/cosx với x ( (2k+1) ; (2k+3) ) .
Mấy bài này thú vị thật .
1) Bài này chứng minh "tương tự" như chứng minh định lý ánh xạ co . Liên tục xét f trên f(X) rồi f.f(X) .... và sử dụng đ/l Cantor ( giao của một dãy các tập đóng không rỗng lồng nhau là không rỗng ) là xong .
2) Bài này mới chỉ nghĩ được trong trường hợp hàm f không bị chặn địa phương . Đó là f(x)=cosx với x [2k ; 2(k+1) ] và f(x)=1/cosx với x ( (2k+1) ; (2k+3) ) .
Mấy bài này thú vị thật .
The world is what it is; men who are nothing , who allow themselves to become nothing , have no place in it !
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
#3
Đã gửi 13-12-2006 - 00:26
hehe , đọc lại thấy câu 2 sai rồi . Quên đ/k a)
The world is what it is; men who are nothing , who allow themselves to become nothing , have no place in it !
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
#4
Đã gửi 13-12-2006 - 09:57
Nhân pizza đang có vẻ hớn hở với mấy bài này, đố chú mày giải được bài này: Cho S là tập không bị chặn trên R, xây dựng ánh xạ liên tục từ R vào R bị chặn mà không có cả maximum và minimum trên S.
#5
Đã gửi 13-12-2006 - 12:43
hehe , nằm ngả lưng nghĩ bài hàm số của hậu vệ Carlos thì nghĩ được hàng trăm hàm thoả mãn đ/k 2 nhưng ko thoa mãn đ/k 1 . Nói chung bài này mà dùng các hàm quasi-periodic thì đ/k 2 sẽ được thoả mãn ngay nhưng đ/k 1 lại bị vi phạm . Thôi , bó tay rồi .
Bài chú wavelet đố nên dành cho mấy em học năm thứ 1 là vừa vì chúng nó chưa học k/g metric nên chưa biết (a,b) đồng phôi với R . Chứ chị vừa mới biết điều này nên trả lời thì hơi ngượng ( vì có phải mình nghĩ ra đâu ) . Mà nói chung chị ghét trò thách đố. Giỏi thì ra ăn thua với thiên hạ , chứ thách đố để làm giề !?
Bài chú wavelet đố nên dành cho mấy em học năm thứ 1 là vừa vì chúng nó chưa học k/g metric nên chưa biết (a,b) đồng phôi với R . Chứ chị vừa mới biết điều này nên trả lời thì hơi ngượng ( vì có phải mình nghĩ ra đâu ) . Mà nói chung chị ghét trò thách đố. Giỏi thì ra ăn thua với thiên hạ , chứ thách đố để làm giề !?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pizza: 13-12-2006 - 12:55
The world is what it is; men who are nothing , who allow themselves to become nothing , have no place in it !
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
(Naipaul)
Khi mê tiền chỉ là tiền
Ngộ ra mới biết trong tiền có tâm
Khi mê dâm chỉ là dâm
Ngộ ra mới biết trong dâm có tình
(NBS)
#6
Đã gửi 13-12-2006 - 13:30
Bài của bác wavelet thì chắc chỉ cần xét hàm .
Cách của bác pizza thì sẽ không đúng khi mà S bị chặn một đầu . Bài 1 thì OK rồi , cám ơn bác nhé . Kiểu bài 2 thì mẹo mực rồi, không hiểu cái hàm f sẽ được xây dựng thế nào >_<
Cách của bác pizza thì sẽ không đúng khi mà S bị chặn một đầu . Bài 1 thì OK rồi , cám ơn bác nhé . Kiểu bài 2 thì mẹo mực rồi, không hiểu cái hàm f sẽ được xây dựng thế nào >_<
#7
Đã gửi 13-12-2006 - 13:46
He he, em có thêm bài này , bác nào giải quyết dùm
Bài 3.Cho X là không gian metric thỏa mãn với mọi f: X --> R liên tục thì bị chặn , khi đó X là không gian metric compact .
Bài 4: Xây dựng hàm f:(0,1)---> R thỏa mãn 2 điều kiện sau
i) f bi chặn trên (0,1)
ii) trên mọi khoảng mở , hàm f có một số không đếm được các điểm gián đoạn và một số không đếm được các điểm liên tục
Bài 5: Cho X là không gian metric đầy, và hàm f: X---> R thỏa mãn
đóng trong X x R .Chứng minh tồn tại tập V mở trù mật trong X sao cho f liên tục trên V .
Bài 3.Cho X là không gian metric thỏa mãn với mọi f: X --> R liên tục thì bị chặn , khi đó X là không gian metric compact .
Bài 4: Xây dựng hàm f:(0,1)---> R thỏa mãn 2 điều kiện sau
i) f bi chặn trên (0,1)
ii) trên mọi khoảng mở , hàm f có một số không đếm được các điểm gián đoạn và một số không đếm được các điểm liên tục
Bài 5: Cho X là không gian metric đầy, và hàm f: X---> R thỏa mãn
đóng trong X x R .Chứng minh tồn tại tập V mở trù mật trong X sao cho f liên tục trên V .
#8
Đã gửi 15-12-2006 - 00:24
1.Cho X là không gian metric compact khác rỗng . Giả sử f : X --> X là ánh xạ liên tục . Chưng minh rằng tồn tại một tập compact khác rỗng A của X sao cho f(A)=A . Nếu X liên thông thì có thể chọn sao cho A liên thông .
2.Xây dựng một hàm http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\infty của f trùng với http://dientuvietnam.net/cgi-bin/mimetex.cgi?\mathbb{R}
Bài 2 thì đầu tiên cần chọn ra một dãy tăng , không có điểm tụ, sao cho không tồn tại điểm x sao cho nx thuộc vào dãy với vô hạn giá trị n ( để không mâu thuẫn với f(nx) tiến đến 0 ). Chọn cái này thì đơn giản.
Bây giờ lấy bất kì một hàm f liên tục tiến tới 0 tại vô cùng. Bây giờ chỉ cần chỉnh lại giá trị của f tại dãy ,là xong. Gán giá trị của f trên dãy này sao cho khi n đi từ 1 đến vô cùng, dãy liệt kê tập các số hữu tỉ ( đảm bảo điều kiện 2 )
#9
Đã gửi 15-12-2006 - 17:28
Cám ơn bác dickchimney . Vậy thì chọn luôn f bằng 0 hết, trừ trên x_n .
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh