Đến nội dung

Hình ảnh

Tập Compact trong l^p

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 2 trả lời

#1
cuonglan

cuonglan

    Lính mới

  • Thành viên
  • 3 Bài viết
Chứng minh tiêu chuẩn compact trong không gian các dãy lũy thừa p (p > 1) khả tổng $l^{p}$ : Tiêu chuẩn như sau:
" Một tập con K của $l^{p}$ là tập compact khi và chỉ khi với mọi số $\epsilon > 0$ cho trước, tìm được số tự nhiên N để với mọi $n > N$, với mọi $x = ( x_{i} )$thuộc K đều có đánh giá sau:
$\sum\limits_{i=n+1}^{\infty}| x_{i}|^{p} < \epsilon^{p}$ "
Xin hay giup toi. Cam on nhieu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Doraemon: 15-01-2007 - 15:04
Không gõ tex


#2
Ronaldo

Ronaldo

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 422 Bài viết
Bài này dùng định lý của Hausdorff : Trong không gian metric đầy, mọi tập đóng và hoàn toàn bị chặn là tập compact .
Lời giải bài này cũng dài , chủ yếu là ước lượng . Bác đọc trong Giải tích Toán học tập 1 của tác giả Nguyễn Văn Khuê và Lê Mậu Hải xem.

----
PS: diễn đàn có quy định là viết tiêu đề phù hợp với nội dung bài viết , bác lưu ý một chút. Còn cách gõ Latex thì vào mục hướng dẫn gõ Latex ở trong box đầu tiên của diễn đàn .
  • MIM yêu thích

#3
pnt

pnt

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 208 Bài viết
Chiều đảo của bài toán không đúng. Chiều thuận có thể tổng quát như thế này:
Cho $\mu$ là một độ đo $\sigma$-hữu hạn trên $\Omega$, và $p\in[1,\infty]$. $A$ là tập con tiền compact của $L^p(\Omega)$. Khi đó với mỗi $\epsilon>0$, tồn tại tập đo được $K_\epsilon $ với độ đo hữu hạn sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f|^pd\mu<\epsilon ~~\forall f\in A$.
Bài toán của cuonglan là trường hợp đặc biệt với $\Omega=\mathbb{N}$ và $\mu$ là độ đo đếm.

Chứng minh:

Ở đây ta chỉ chứng minh với $p=1$. Trường hợp $p$ bất kỳ là gần như y hệt.
Giả sử ngược lại, rằng tồn tại $\epsilon>0$ sao cho với mọi tập đo được $K$ với độ đo hữu hạn trong $\Omega$, tồn tại $f_K\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K}|f_{K}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $\mu$ là độ đo $\sigma$-hữu hạn nên có một dãy tăng các tập đo được $(K_n)$ trong $\Omega$ sao cho $\mu(K_n)<\infty$ và
$\bigcup_{n=1}^{\infty}K_n=\Omega$
Với mỗi $n\in\mathbb{N}$, tồn tại $f_n\in A$ sao cho
$\int_{\Omega\backslash K_n}|f_{n}|d\mu\ge\epsilon $
Vì $A$ tiền compact nên $(f_n)$ có một dãy con hội tụ trong $L^p(\Omega)$. Không mất tính tổng quát ta ký hiệu dãy con này là chính dãy $(f_n)$
$f_n\to f\in L^1(\Omega)$
Ta có
$||f_n-f||=\int_{\Omega}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n-f|d\mu\ge\int_{\Omega\backslash K_n}|f_n|d\mu-\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\ge\epsilon -\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu$ (*)
Hơn nữa, theo định lý hội tụ bị chặn thì
$\int_{K_n}|f|d\mu\to\int_{\Omega}|f|d\mu$, tức là $\int_{\Omega\backslash K_n}|f|d\mu\to 0$.

Do đó (*) vô lý vì $||f_n-f||\to 0$.
  • MIM yêu thích
độc lập ,tự do muôn năm!!!!!!!!!!!!!




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh