Đến nội dung


Hình ảnh
* * * * * 1 Bình chọn

Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 3 trả lời

#1 exe007

exe007

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết

Đã gửi 16-12-2006 - 11:51

Cho hàm số $y=f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}, \left ( C \right )$.
Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.

#2 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 11-11-2012 - 10:55

Cho hàm số $y=f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}, \left ( C \right )$.
Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.

Dễ thấy: Tiệm cận đứng $x=1$
Tiệm cận xiên: $x+1=y$
Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận ta có $I(1;2)$
$f'(x)=1+\frac{-2}{(x-1)^2}\Rightarrow f'(m)=1+\frac{-2}{(m-1)^2}$
Với M$(m; m+1+\frac{1}{m-1}) \in (C )$
Tiếp tuyến tại $M$ có phương trình là
$(t):y=f'(m)(x-m)+y(m)\Leftrightarrow y=(1-\frac{2}{(m-1)^2})(x-m)+m+1+\frac{1}{m-1}$
$(t)$ cắt TCĐ: $x=1$ tại điểm $A(1;2+\frac{3}{m-1})$
$(t)$ cắt TCX: $x+1=y$ tại điểm $B(\frac{3m-1}{2};\frac{3m+1}{2})$
Gọi góc giữa hai đường tiệm cận là $\alpha$, góc giữa đường tiệm cận xiên với chiều dương $Ox$ là $\varphi$ ta có $\alpha +\varphi=\frac{\pi}{2}$.
TCX: $y=x+1$ có hệ số góc là $1$ nên $tg\varphi =1$
$\Rightarrow \frac{\sin x}{\cos x}=1\Leftrightarrow \sin x=\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
Trong tam giác $ABI$ gọi $H$ là đường cao kẻ từ B xuống $AI$.
Ta sẽ chứng minh diện tích tam giác $IAB = const$
Ta có $$S_{\Delta AIB}=\frac{1}{2}IA.BH=\frac{1}{2}.|y_A-y_I|.|x_B-x_H|=\frac{3}{2}.|\frac{3}{m-1}|.|\frac{m-1}{2}|=\frac{9}{4}=const$$
Ta có chu vi tam giác $IAB$ là $P=IA+IB+AB$. Áp đụng định lý hàm cos và bất đẳng thức AM-GM ta có: $$P=IA+IB+\sqrt{IA^2+IB^2-2IA.IB\cos \alpha}\geq \sqrt{IA.BI}+\sqrt{2IA.IB-2IA.IB.\sin \varphi}=\sqrt{2IA.IB}(\sqrt{2}+\sqrt{1-\sin \varphi})$$
$=\sqrt{\frac{2IA.BH}{\sin \alpha}}.(\sqrt{2}+\sqrt{1-\sin \alpha})=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\left(\sqrt{2}+\sqrt{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}\right)$
Dấu "="xảy ra $ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
IA = IB\\
IA.IB.\cos \alpha = \frac{9}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow IA = IB = \frac{3}{{\sqrt[4]{2}}}$
$\Leftrightarrow \frac{3}{|m-1|}=\frac{3}{\sqrt[4]{2}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 1 + \sqrt[4]{2}\\
m = 1 - \sqrt[4]{2}
\end{array} \right.$
Từ đây thay vô dễ dàng tìm được M.

Spoiler

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 11-11-2012 - 11:47

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#3 robin997

robin997

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 206 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Khánh Hòa / HCM / Auckland :")
  • Sở thích:Gender stuffs (">~<)//

Đã gửi 11-11-2012 - 20:36

Cho hàm số $y=f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}, \left ( C \right )$.
Xác định $M(x,y) \in \left ( C \right ), (x>1)$ sao cho chu vi của tam giác hợp bởi tiếp tuyến tại $M$ và 2 tiệm cận nhỏ nhất.

Làm cách khác vậy ^_^
-Trước hết ta đổi trục theo công thức:
$\begin{cases}
& \ x=X+1 \\
& \ y=Y+2
\end{cases}$
Có đồ thị $($$C$$)$ khi này: $Y=X+\frac{1}{X}$
Và tọa độ $M$ là $(u;u+\frac{1}{u})$ (Với $u>0$)
-Hai đường tiệm cận của $($$C$$)$ là:
Tiệm cận đứng: $(1):X=0$
Tiệm cận xiên: $(2):Y=X$
-Tiếp tuyến tại $M$ của $($$C$$)$ là:
$(3):Y-u-\frac{1}{u}=(1-\frac{1}{u^2})(X-u)$ Hay $Y=(1-\frac{1}{u^2})X+\frac{2}{u}$
-Giao điểm $A$ của $(1)$ và $(3)$ có tọa độ: $(0;\frac{2}{u})$
-Giao điểm $B$ của $(2)$ và $(3)$ có tọa độ: $(2u;2u)$
-Và rõ ràng gốc $O$ của trục tọa dộ mới là giao điểm 2 đường tiệm cận :')
-Chu vi của tam giác được đề cập:
$P=AO+BO+AB=2(\frac{1}{u}+u\sqrt{2}+\sqrt{2u^2+\frac{1}{u^2}-2})$
-Theo $BĐT$ $Cauchy$, ta có:
$\frac{1}{u}+u\sqrt{2}\geq 2\sqrt[4]{2}$
$2u^2+\frac{1}{u^2}\geq 2\sqrt{2}$
$(u>0)$
Nên: $P\geq 4\sqrt[4]{2}+2\sqrt{2\sqrt{2}-2}$
$P$ đạt min tại $u=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}$ $(u>0)$
-Tọa điểm $M$ khi này (ở trục tọa độ mới): $(\frac{1}{\sqrt[4]{2}};\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}})$
Và tọa độ này ở trục tọa độ ban đầu là: $(\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+1;\sqrt[4]{2}+\frac{1}{\sqrt[4]{2}}+2)$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi robin997: 11-11-2012 - 20:59

^^~

#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 15-11-2012 - 11:01

Chấm điểm:
Ispectorgadget: 5 điểm

robin997: 10 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi PSW: 15-11-2012 - 11:04

1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh