Chủ đề này có 2 trả lời

[NPKhánh]

Tính các góc cuả tam giác biết $\Large tan^4{\dfrac{C}{2} -6tan{\dfrac{C}{2} + cotA + cotB + 3 = 0 $

[sherlock_holmes]

Hi vọng mình không nhầm
$tan^4{\dfrac{C}{2}-6tan{\dfrac{C}{2}+cotA+cotB+3=$
$tan^4\dfrac{C}{2}-6.tan\dfrac{C}{2}+\dfrac{sinC}{sinA.sinB}+3$
$=tan^4\dfrac{C}{2}-6.tan\dfrac{C}{2} + \dfrac{4sinC/2.cosC/2}{cos(A-B)+cosC}+3$
$\geq tan^4\dfrac{C}{2}-6.tan\dfrac{C}{2} + \dfrac{4sinC/2.cosC/2}{2.cos^2\dfrac{C}{2}}+3$
$=tan^4\dfrac{C}{2}-6.tan\dfrac{C}{2} + 2tan\dfrac{C}{2}+3$
$=tan^4\dfrac{C}{2}-2tan^2\dfrac{C}{2} +1 +2tan^2\dfrac{C}{2}-4.tan\dfrac{C}{2}+2$
$=(tan^2C/2-1)^2+2.(tanC/2-1)^2=0$
Suy ra $VT \geq 0$. Dâú bàng khi C=90, A=B=45

[NPKhánh]

Gợi ý thêm một cách khá đẹp cho học sinh cuối lớp 11 & 12 .
Trước hết chứng minh $\Large cotA + cotB \ge 2tan{\dfrac{C}{2}}. $Dâú "=" khi A =B
$\Large tan^4{\dfrac{C}{2} -6tan{\dfrac{C}{2} + cotA + cotB + 3 \ge tan^4{\dfrac{C}{2}} - 4tan{\dfrac{C}{2} + 3= t^4 -4t + 3 = f(t) ; t = tan{\dfrac{C}{2}}; t>0 $
Đến đây ta đaọ hàm là giải quyết được . Dâú " = " khi tam giác ABC vuông cân tại C